Бифуркация



жүктеу 67.29 Kb.
Дата12.07.2016
өлшемі67.29 Kb.
Бифуркация (от лат. bi-furcum [bis+furca] – точка раздвоения) – термин, употребляемый в точном естествознании применительно к ситуации, связанной с приобретением нового качественного состояния объекта при малом изменении его параметров. Исторически первой бифуркационной задачей явилась космологическая проблема Ньютона о форме равновесия вращающейся жидкости. Как было установлено Маклореном, пока частоты вращения не превосходят некоторые критические значения , жидкость принимает форму осесимметричного эллипсоида. После перехода через такой эллипсоид бифурцирует в трехосный – эллипсоид Якоби. Пуанкаре обратил внимание на то, что к примыкает также ветка грушевидных форм равновесия. На основании этого утверждения Дарвин (младший) высказал гипотезу о происхождении лун. Однако Ляпуновым было показано, что грушевидные формы неустойчивы. Бифуркационной задачей является также двумерная задача Эйлера о выпучивании вертикально нагруженного стержня при превышении критической нагрузки. Стержень принимает (случайно) одну из двух форм, изображенных на рис. пунктиром. Особо следует отметить задачу о возбуждении колебаний лампового генератора. По существу, анализ этого явления и выявил насущную необходимость построения теории Б. нелинейных колебательных систем неконсервативного происхождения.

Основы теории Б. были заложены А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым на рубеже XIX-XX веков. Важнейший вклад в ее развитие был сделан в 1937 году А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным, введением понятия грубой системы. Для такой системы характерно сохранение структуры разбиения фазового пространства при малых гладких возмущениях. Под одинаковостью фазовых портретов понимается существование взаимно однозначного непрерывного отображения траекторий одной системы в траектории другой.

Общая задача теории Б. динамических систем состоит в изучении негрубых систем и всех к ним близких. Однако модели нелинейной динамики чаще всего имеют вид конечно-параметрических систем уравнений и цель их исследования состоит в построении разбиения пространства параметров на множества с одинаковым поведением траекторий. Поэтому в ряде случаев задачу можно ограничить рассмотрением конечно-параметрических возмущений, а число параметров выбирать равным степени вырождения негрубой системы, которая носит название коразмерности. Негрубость же системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия (с.р.) и периодические движения (п.д.), поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

С.р. n-мерной системы точка , где - решение системы . Оно негрубое, если среди - корней характеристического уравнения имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если , с.р. является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то с.р. носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при , так и при , в совокупности образуя устойчивое и неустойчивое многообразия. Периодическое решение этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов имеются равные по модулю 1. Если же , периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные Б. таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое с.р. может:



  1. исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент Б. у с.р., называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.

  2. потерять устойчивость. При этом из с.р. будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) п.д., если в момент Б. с.р. устойчиво (неустойчиво). Эта Б., объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое п.д. может:

  1. исчезнуть, слившись с неустойчивым в момент Б. Для негрубое п.д. носит название седло-узлового.

  2. потерять устойчивость с рождением устойчивого

а) п.д. удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),

в) двумерного инвариантного тора, если , где .

Устойчивые п.д. могут также рождаться в результате следующих глобальных Б.:


  1. из траектории, идущей из седла с с характеристическими корнями , i=1,…,n-1, и седловой величиной в то же седло,

  2. из траектории, идущей из седло-узла в него при исчезновении с.р.,

  3. при исчезновении седло-узлового п.д., все траектории неустойчивого многообразия которого, образуют в совокупности сильно сжимающуюся трубку, навивающуюся на п.д. Эта Б. называется «катастрофой голубого неба» и ее особенность состоит в том, что при стремлении параметра к Б. значению длина п.д. стремится к бесконечности.

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое с.р. образуется при слияния двух грубых седел.)

Все перечисленные Б. не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

Основным признаком системы со сложным поведением траекторий является существование грубого предельного множества, состоящего из траекторий седлового типа, в котором всюду плотны п.д. и есть всюду плотная траектория. Такие множества называются гиперболическими. Наиболее универсальный критерий существования таких множеств связан с гомоклинической орбитой Пуанкаре – двоякоасимптотической траекторией к седловому п.д., по которой его устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются без касания. Наличие такой структуры гарантирует существование в любой ее малой окрестности одномерного гиперболического множества, но неустойчивого. По этой причине Б., связанные с появлением или исчезновением гиперболического множества, получили общее название гомоклинических. Другим типичным случаем систем со сложным поведением траекторий являются системы с гомоклиническими петлями седло-фокуса с положительной седловой величиной. Гомоклинические Б. подразделяются на два типа: граничные, объясняющие переходы от простой динамики к сложной, и внутренние. Характерным примером Б. 1-го типа, показывающим, что системы с простой и сложной динамикой могут быть разделены Б. поверхностью, является Б. исчезновения с.р. типа седло-седло с не менее, чем двумя двоякоасимптотическими траекториями, а также ряд Б. систем с негрубой гомоклинической траекторией Пуанкаре. Однако такому переходу может предшествовать бесконечный каскад Б. удвоения периода Шарковского-Фейгенбаума. Отметим также задачу о разрушении тора в связи с проблемой синхронизации.

В случае внутренних Б. одной из основных задач является выделение в пространстве динамических систем областей негрубых систем. Впервые на это необычное явление было указано Смейлом в начале 60-х годов. Но наибольшую известность получили области Ньюхауса, в которых всюду плотны системы с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре, имеющие п.д. любого порядка вырождения. Из этого следует вывод - для нелинейной динамики: полный качественный анализ моделей, допускающих негрубую гомоклиническую траекторию Пуанкаре, не реалистичен.



С открытием динамического хаоса в теории Б. открылась новая глава, связанная с теорией странных аттракторов – притягивающих предельных множеств с неустойчивым поведением траекторий. В отличие, например, от п.д., странные аттракторы не имеют унифицированной природы: они могут быть как многообразием (гладким или негладким), так и множествами с весьма сложной теоретико-множественной структурой. Исходя из интересов нелинейной динамики, от странных аттракторов требуется, чтобы они сохраняли свои свойства при малых возмущениях системы. Естественно, это так для гиперболических аттракторов. Но анализ ряда моделей показал, что таковыми могут быть и негрубые аттракторы. Характерным примером является странный аттрактор модели Лоренца , негрубость которого обусловлена тем, что с.р. типа седло принадлежит странному аттрактору. В размерности n>3 могут быть негрубые аттракторы, содержащие седло-фокус. Поскольку последние допускают гомоклинические касания, их (по выше приведенным причинам) принято называть «дикими». Понятно, что изучение Б., приводящих к возникновению странных аттракторов, стало одной из актуальных задач. Исторически эта проблема возникла в гидродинамике в связи с объяснением возникновения турбулентности. Именно в этой связи в 40-х годах Ландау и Хопф предложили такое объяснение на примере каскада Б. торов с повышением их размерности. Гидродинамическое происхождение имеет и модель Лоренца. Здесь переход от простой динамики к странному аттрактору происходит в результате двух гомоклинических Б.: граничной Б. гомоклинической восьмерки-бабочки седла, в результате которой рождается неустойчивое одномерное гиперболическое множество, и внутренней Б. гомоклинического контура в момент, когда обе траектории, выходящие из седла, впервые устремятся к седловым п.д., появившимся в результате граничной Б.. Однако такой, сравнительно простой сценарий, обусловлен тем, что модель Лоренца обладает симметрией . Отметим также следующий результат, имеющий пока чисто математическое значение, - ряд гиперболических аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса, аносовский тор), могут рождаться в результате глобальных Б., связанных с исчезновением седло-узловых п.д. и торов. Помимо странных аттракторов во многих прикладных исследованиях встречаются предельные множества, которые можно назвать квазиаттракторами, поскольку в них, кроме гиперболических множеств, содержатся устойчивые п.д., причем даже в счетном множестве. Подобная ситуация возникает, например, в трехмерных системах с отрицательной дивергенцией. В компьютерных исследованиях динамика модели в областях Ньюхауса может вполне ассоциироваться с хаотическим поведением траекторий, поскольку п.д. могут иметь весьма большие периоды и узкие области притяжения.

Заметим, что многое из изложенного справедливо и для распределенных систем, а также гамильтоновых в связи с объяснением сложного поведения траекторий.


Л.П.Шильников


1. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер .-М: Наука,1967.



  1. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники – фундаментальные направления. Т. 5. Современные проблемы математики. Динамические системы 5./ В.И.Арнольд, В.С.Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П.Шильников. – М: ВИНИТИ, 1986, с. 5-218.

  2. Шильников, Л.П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней./ В книге: Математические события ХХ века. Изд.ФАЗИС, Москва, 2003, c.465-489.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет