Та›ырып. Орташа арифметикалы› жЩне орташа квадратты› ауыт›улардыЈ ›осынды ›атарын есептеу

Мысал. Айлы› жаста“ы торайлардыЈ(шош›а сЇттілігі) орташа тірі массасыныЈ кйрсеткіштері. , σ жЩне n бірнеше шаруашылы› тресті:

Осы шаруашылы›та“ы жануарлардыЈ жалпы берілген белгілері бойынша мына мЩліметтерден орташа арифметикалы› жЩне орташа квадратты› ауыт›уын тймендегі формуламен есептеу ›ажет:

м±нда элементарлы ›атар орташасы;

σ - сигмасы;

n - элементарлы ›атар сигмасы

БіздіЈ мысалда“ы ›осынды ›атарын жЩне σ есептеу мына кестеде кйрсетілген 2.3.1.
БелгіленуіШаруашылы› 123 605370-σ 546-n 120200140460 n 720010600980027600σ 251636-σ n 30003200504011240 - 0-7+10-( - ) 049100-( - ) n 09800140023800

= 60 кг, σ = ± 8,73 кг.

Тапсырма 4. Фермада“ы жаЈа туыл“ан б±заулардыЈ тірі салма“ыныЈ ›осынды ›атарын мына мЩліметтер бойынша есептеу и σ.

Ферма реті σ n 137215023925034031004363100

2.4 Та›ырып. Вариация коэффициенті

Ма›саты. Санды› белгілердіЈ негізгі биометриялы› кйрсеткіштерін есептеу Щдістерімен танысу.
Орташа квадратты› ауыт›у – абсолютті шама, ол осы бірлікпен аны›талып жЩне осы белгімен сипатталады. Сонды›танда, белгініЈ йзгергіштігін ЩртЇрлі бірліктермен салыстыру ›ажеттілігі туса, вариация кйрсеткіштерін пайдалану“а тура келеді. Осындай кйрсеткіштердіЈ бірін К. Пирсон ±сынып, коэффициент вариациасын С Щрпімен белгіледі.Б±л кйрсеткіш орташа квадратты› ауыт›удыЈ орташа арифметика“а ›атынасыныЈ пайызын кйрсетеді, я“ни:

С = . (10)

Мысал. Орташа квадратты› ауыт›уда бйліну ›атары ›ояндар салма“ы бойынша 0,574 кг теЈ. Ал осындай кйрсеткіш, 64 шош›аныЈ торайлар саныныЈ йзгеруін сипаттай отырып 1,855 теЈ бол“ан. Осыдан екінші белгініЈ бірінші белгіге ›ара“анда йзгеруі басым екендігін бай›ау“а болады ма? Жо›, себебі белгілер ЩртЇрлі йлшем бірліктерімен ай›ындал“ан. Оларды вариация коэффициентініЈ шамасы бойынша салыстыра отырып, бірінші белгініЈ екінші белгіге ›ара“анда Щлде›айда йзгеретіндігін кйреміз: : С = 100 0,574/2,1=27,3% и С = 100 1,855/8,25=22,5%.

ШртЇрлі белгілер бірдей емес вариация коэффициентімен сипатталады. Біра› бір немесе бас›а белгініЈ ›атынас шамасыныЈ кйрсеткіші т±ра›ты тЇрде кйп немесе аз болып жЩне 5% жо“арыламайды (симметриялы таратуында). Біра›, ассиметриялы› таралуда вариация коэффициенті 100 % жетіп немесе одан асып кетуі де мЇмкін.

Мысал. ШртЇрлі белгілердіЈ алуан тЇрлілігін тймендегі кйрсеткіштер бойынша салыстыру ›ажет:
Кйрсеткіш σСиырлардыЈ тірі салма“ы, кг

ТЩуліктік сауылым, л

Шо›ты›та“ы биіктігі, см500

12

38046

8,5

СиырлардыЈ тірі салма“ы – 9,2%;

СиырлардыЈ тЩуліктік сауылымы -25,0%;

Сиырлар шо›ты“ыныЈ биіктігі- 6,5%.

ТЩуліктік сауылымныЈ йзгергіштігі шо›ты› биіктігінен жо“ары.

Вариация коэффициентін ЩртЇрлі топта“ы біркелкі белгілердіЈ дЩрежесін салыстыру“а ыЈ“айлы, егерде осы белгілердіЈ арасында“ы орташа айырмашылы“ы тым Їлкен болса.

Сонымен, табындарды салыстыр“анда, орташа сауылымы 2000 кг (σ=500 кг) теЈ, орташа табын сауылымы 4000 кг(σ=800 кг), бірінші табын Їшін С теЈ 25 %, екінші табын Їшін С = 20 % табамыз.

Вариация коэффициентініЈ кйптігі бірінші табында“ы сиырлардыЈ Щртектілігін н±с›айды, дегенмен бірінші сауылым табыныныЈ орташа квадратты› ауыт›уы керісінше екінші табын“а ›ара“анда аз бол“ан.

Тапсырма 1. Жаз“ы экскурсияда о›ушылар 100 цикорий гЇлініЈ кездейсо› тЩсілмен таЈдал“ан кЇлтесін санауды ±сынды. Сана› ›орытындысы келесідей болды:

20. 
    21 19 17 22 18 19 18 15 20 18 19 18
    
21. 
    20 17 19 18 20 19 14 17 19 21 20 19
    
22. 
    18 17 20 21 16 19 16 19 17 20 20 24
    
23. 
    18 20 19 17 20 19 21 20 18 20 19 19
    
24. 
    18 20 19 20 18 18 19 18 19 21 17 20
    
25. 
    19 16 20 19 16 20 16 15 18 19 20 19
    
26. 
    16 18 16 20 16 21 17 19 20 19 21 20
    
27. 
    17 21 17 16 21 18 21 19
    

Тапсырма 2. Шаруашылы›та 10 йндіруші – ›ош›арлар тірі салма›тары (кг): 125, 95, 10, 14, 158, 100, 125, 160, 140, 145. Осы йндіруші-›ош›арлардыЈ орташа тірі салма“ын жЩне тірі салма“ыныЈ йзгергіштік кйрсеткіштерін аны›таЈыз.

Тапсырма 3. 36 ересек ›ояндарды йлшегенде (кг) келесі нЩтижелерді берді:

3,0 2,7 2,1 1,6 1,2 1,6 2,2 2,1 2,3 1,5 1,3 2,2

2,5 2,4 1,9 2,1 2,3 1,1 1,0 1,8 1,9 1,8 3,2 2,1

2,9 3,0 1,3 1,9 2,6 2,5 2,4 2,7 1,9 2,0 2,6 2,8

Орташа арифметикалы› йзгергіштік кйрсеткішін есептеЈіз.

Ба›ылау с±ра›тары.

1. Вариация коэффициентін ›андай жа“дайда есептейді?

2. БелгілердіЈ ЩртЇрлілігн ›андай кйрсеткіштер сипаттайды?

Б±л кйрсеткіш ›аншалы›ты «сигманыЈ» берілген жиынты›та“ы жеке мЇшелерініЈ белгілерін ескере отырып орташа мйлшерініЈ ауыт›уын т±ра›тандыру“а мЇмкіндік береді. Шрбір варианта арнайы t ма“ынасымен сипатталады. Егер ›алыпты ауыт›у вариантасыныЈ кйрсеткіші +1-ге теЈ болса, я“ни б±л варианта бір сигма“а арты›. Егер бас›а варианта -2 теЈ болса, онда б±л екі сигма“а аз екендігін білдіреді.

љалыпты ауыт›у мына ›атарда“ы с±ра›тарды шешуде ›олданылады (йндірушімен ±рпа› сапасын ба“алауда, емдеудіЈ тиімділігін ба“алауда жЩне т.б.).

љалыпты ауыт›у кйрсеткіші жеке варианталар“а ба“а беруде, сондай-а› салыстырмалы топтарды сипаттауда ыЈ“айлы.

Мысал. Мектеп о›ушыларына тексеру жЇргізгенде 15-16 жаста“ы жасйспірімдердіЈ орташа бой ±зынды›тары 164,8 см теЈ, σ=5,8 см бол“анда, ал негізінен орташа ›алыпты ауыт›у жасйспірімдердіЈ бой ±зынды“ыныЈ кйрсеткіші 171,2 см ? Осы шаманы ›алыптандырып, t=(171,2-164,8)/5,8=+1,1 табамыз. Б±ндай жа“дайда орташа шамадан ауыт›уы плюс 1,1 сигма“а теЈ.

Тапсырма 1. Орлов т±›ымыныЈ екі ай“ырын 1600 м дистанцияда“ы жылдамды“ын салыстырып, ›алыпты ауыт›уда кйрсету. Савар есімді бес жасар ай“ырдыЈ жылдамды“ы 2,13 мин, екі жасарлы› Мираждікі-2,19 мин. Орташа арифметикалы› жЩне сигма жылдамды“ы 1600 м дистанцияда“ы бес жасар ай“ырлардікі 2,20 мин; 0,04 мин; сонда екі жасарлардікі ›алайша - 2,27 мин; 0,04 мин болады.

Тапсырма 2. ШртЇрлі жаста“ы сиырлардыЈ емізу кезіндегі сауылымын салыстырыЈыз. Бірінші отельдегі сиырлардан 3500 кг( ) алынды, сонда бесінші отельдегі екінші сиырдан ›алай 4500 кг( ) алын“ан.СЇтті Їйірдегі біржасарлы›тардыЈ сауылымы 2430 кг( ) ›±райды, ал бесінші отельдегі сауылым-3520 кг( ).Шрине 495 кг, 600 кг болады.
Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   љалыпты ауыт›у дегеніміз не жЩне б±л кйрсеткіш не Їшін ›олданылады ?
   
2. 
   љалыпты ауыт›у кйрсеткіші ›алай аны›талады?
   

1. 
   2.6 Та›ырып. Бас›а дЩрежедегі ауыт›улар
   

йлшенген орташа гармониялы› мына формуламен аны›талады:

м±нда - белгі вариантасы;

n –варианта саны;

-жиіліктер.

Орташа гармониялы› - белгініЈ орташа шамасын есептеуде ›олданылады, ол ›андай да бір ЇрдістіЈ жылдамды“ымен (жЇгірістіЈ орташа жылдамды“ы, сауу кезіндегі сЇт беру жылдамды“ы), сонымен ›атар белгініЈ индекспен аны›тал“ан жа“дайында (тері бетіндегі талшы›тарыныЈ саны 1 мм ) сипатталады.

Н шамасы Щр›ашан шамасынан кіші.

Мысал. Бес сауыншы бір са“аттыЈ ішінде ›олмен мынадай мйлшерде сЇт сауды: біріншісі -10 л, екіншісі – 20 л, Їшіншісі – 25 л, тйртіншісі – 30 жЩне бесіншісі -20 л, барлы“ы 105 л. 1 л сЇт сауу Їшін бір сауыншы ›анша уа›ыт ж±мсайды ?

Осы есепті орташа арифметикалы› кймегімен шешіп, =105/5=21 литр аламыз.

Олай болса, 1 л сЇтті саууда орташа 60:21=2,86 мин.ж±мсалады. Біра›та б±л есептеу жеткілікті аны› емес, себебі на›ты 5 л сЇтті саууда орташа 60/10+60/20+60/25+60/30+60/20=16,4 мин. ж±мсалды. Ендеше 1 л сЇтті сауарда сауыншы орташа мйлшермен 16,4:5=3,28 мин ж±мсайды (жо“арыда алын“андай 2,86 мин емес).

Сонды›тан, 1 с сауыншы орташа мйлшермен 21 л сЇт емес, тек ›ана 18,31л сЇт сауады, я“ни оны мына есептеулерден кйруге болады: Н=5/(1/10+1/20+1/25+1/30+1/20)=5/0,273=18,31 л. 1 л сЇтті саууда сауыншы орташа есеппен 60/18,31=3,23 мин. ж±мсайды. Берілген о›и“ада осы кйрсеткіш орташа арифметикалы››а ›ара“анда на›ты дЩл келетін болып табылады.

Аудан йлшемдері белгілерініЈ айтылуында (мысалы, кЇнба“ыс себеттерініЈ диаметрі, осы йсімдіктіЈ йнімімен байланысты; жапыра› таба›шаларыныЈ шамасы, фотосинтез йнімділігіне байланысты, немесе колония микроа“залардыЈ йлшемдерімен, сол жЩне бас›ада белсенді заттардыЈ йндірілуімен байланысады)еЈ на›тысы болып S символомен белгіленетін орташа квадратты› сипатталады. Б±л шама варианта квадраты ›осындысынан, осы іріктеулердегі олардыЈ жалпы санына лайы›ты тЇбір асты квадратына теЈ болады, я“ни:

немесе жеке варианталардыЈ ›айталануында:

Мысал. 10 кЇнба“ыс себеттерініЈ диаметрін йлшегенде (см) алын“ан нЩтижелелер келесідей жа“дайда болды:

Себеттер диаметрі (х ) … 8 11 13 15 16 17

О›и“а саны (р ) ………1 1 2 3 2 1

Осы белгілердіЈ орташа йлшемін аны›тайы›. Алдынала есептесек 1999, я“ни S=14,1 см. Егерде орташа арифметикалы›ты есептесек, онда ол орташа квадратты›тан аз болып шы“ады: =13,9 см.

Орташа кубты› – салма›ты белгілердіЈ на›ты сипаттамасы. Ол К символомен белгіленіп жЩне варианта кубыныЈ ›осындысынан, олардыЈ санына бйлінген куб тЇбіріне теЈ болады, я“ни:

немесе жеке варианталардыЈ ›айталануын есепке ала отырып:

Мысал. Кездейсо› таЈдал“ан 18 тауы› ж±мырт›асыныЈ диаметрін (см) йлшегенде (ж±мырт›аныЈ Їлкен жЩне кіші диаметрініЈ жартылай ›осындысы алынды) тймендегідей нЩтижелер алынды:

Ж±мырт›а диаметрі (х ) ……..4,7 4,8 5,0 5,4 5,6 6,0

О›и“а саны (р )……... 2 4 6 3 2 1

Ж±мырт›аныЈ орташа йлшемін (кйлемін) олардыЈ диаметрі бойынша аны›таймыз. Алдынала 2439,7, табамыз, я“ни К=5,1 см.

Орташа геометриялы› – дене йлшемініЈ сызы›ты› йсуініЈ артуын немесе ›осудыЈ орташасын, белгілі уа›ыт аралы“ында“ы популяция саныныЈ йсуін аны›тауда еЈ на›ты сипаттама болып табылады.

Ол G символымен белгіленіп жЩне n-дЩрежесіндегі ›атар мЇшелерініЈ туындыларыныЈ тЇбіріне теЈ болады:

. (18)

Мысалы, орташа геометриялы› сандар 5, 8, 25 теЈ

Шдетте орташа геометриялы›ты онды› логарифм формуласыныЈ кймегімен есептейді:

, (19)

я“ни орташа геометриялы› логарифмі орташа арифметикалы›тыЈ барлы› ›атарында“ы логарифм мЇшелеріне теЈ. Осыдан орташа геометриялы› логарифмініЈ ›осындысынан жеке варианталар логарифмдерініЈ ауыт›уы нольге теЈ болады(орташа шаманыЈ негізгі ›асиеті).

Мысал. Дональдсон мЩліметтері бойынша, тЩжірибеге алынатын тыш›андардыЈ тірі салма“ы жас ерекшелігіне байланысты йзгеріп отырады (кесте 2.6.1).

Кесте 2.6.1

Тыш›ан жасы, апталарТірі салма“ы, г ( )Абсолютті апталы› салма› йсімі, гТыш›ан салма“ыныЈ логарифмдік йсімі 1

2

3

5

6

8

910

20

27

46

58

87-

5

7

11

12

15-

0,69897

0,90309

1,07918

1,17609љосынды - 77 7,58892

Белгілі шамаларды формула“а ›оя отырып, тыш›андар ймірініЈ ал“аш›ы то“ыз аптасында“ы абсолютті апталы› салма› йсімініЈ орташа геометриялы“ын аны›таймыз: lgG=7,58892/8=0,94861, м±нда“ы G=8,9 г. Орташа арифметикалы› абсолютті салма› йсімінен орташа геометриялы››а ›ара“анда кйп: =77/8=9,6 г.

Орташа геометриялы› – уа›ыт ішіндегі белгілердіЈ йзгеруін сипаттауда орташа арифметикалы››а ›ара“анда на›ты кйрсеткіш.

Б±“ан сену ›иын емес, сол фактыны ескере отырып (G) белгісініЈ йсу шамасыныЈ айтарлы›тый біртіндеп кйбеюі ал“аш›ы ( ) шамасынан бастап оныЈ ( ) соЈ“ы шамасына теЈ. Б±л тЩсілді берілген уа›ыт аралы“ында“ы белгілер шамсыныЈ айтарлы›тай йсіндісініЈ орташа геометриялы› есебініЈ на›ты дЩлелін тексеруде ›олданылады.

ља“ида бойынша, орташа арифметикалы›тыЈ орташа геометриялы›тан айырмашылы“ы кйп емес жЩне орташа арифметикалы› динамикалы› темптіЈ жуы›тау сипаты ретінде ›олданылып, есептеудіЈ аз еЈбек ж±мсалуымен байланысты.

Орташа геометриялы›ты д±рыс ›олдану ережелерініЈ еЈ маЈызды шарттарыныЈ бірі динамиканыЈ йзінде ›алан“ан геометриялы› прогрессияныЈ бар болуы. Б±л ерекшелік осы ба“алы кйрсеткішті ›олдану айма“ын біраз шектейді.

Тапсырма 1. Бес зиготаныЈ бйлінуі бастал“ан“а дейінгі орташа диаметрін аны›таЈыз, егер де олардыЈ ЩрбіреуініЈ диаметрі белгілі болса (мкм): 60, 70, 58, 65, 75.

Тапсырма 2. љара бидай маса“ыныЈ ты“ызды“ын аны›тауда 20 йсімдік таЈдап алынып, маса“ында“ы дЩнніЈ саны саналып жЩне Щрбір маса› ±зынды“ы сантиметрмен йлшенді. Сосын дЩнніЈ санын маса› ±зынды“ына ара›атысты ты“ыздылы“ы аны›талды. НЩтижелері келесідей болып шы›ты:

Маса› ±зынды“ы (жуы› шамада)….8 9 10 11 12

Маса›та“ы дЩн саны …………....36 38 40 41 42

О›и“а саны (жиілік) ……….... 2 5 10 2 1

Маса› ты“ызды“ы ………….... 4,5 4,2 4,0 3,7 3,5

Осы іріктеудегі маса›тыЈ орташа ты“ызды“ын аны›таЈыз.

Тапсырма 3. СиырдыЈ сЇт беру жылдамды“ыныЈ орташасын аны›таЈыз, егерде 3 мин 6 кг сЇт сауылса, соныЈ ішінде бірінші минутында – 2 кг, екінші минутында – 3 кг, Їшіншіде – 1 кг.

Тапсырма 4. Микроа“залардыЈ 19 колониясыныЈ диаметрі олардыЈ шамасына ›арай келесідей болды:

Колония диаметрі ( ) ….. 10 15 20 25 30

Колония саны ( ) ……. 2 4 5 5 3

КолонияныЈ орташа диаметрін жЩне вариация кйрсеткішін аны›таЈыз.

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   Орташа шамаларды атап, олар“а ›ыс›аша сипаттама беріЈіз.
   
2. 
   Орташа геометриялы› ›алай есептелінеді?
   
3. 
   Орташа квадратты› ›алай есептелінеді?
   
4. 
   Оташа кубты› ›алай есептелінеді?
   

®лкен емес іріктеулерде медиананы аны›тау едЩуір оЈай. Б±л Їшін ба›ылау жиынты“ы белгілер ма“ынасыныЈ йсуімен реттеледі жЩне егер ›атар мЇшелерініЈ саны та› болса, онда орталы› варианта оныЈ медианасы болып табылады. љатарда“ы мЇшелердіЈ саны ж±п бол“ан жа“дайда ›атардыЈ орталы“ында орналас›ан екі кйршілес вариантасыныЈ жартылай ›осындысы бойынша медиана аны›талады.

Мысал. БелгініЈ санды› ма“ынасыныЈ келесідей ›атары бар: 12 14 16 18 20 22 24 26 28. Орталы› вариантасы б±л ›атардыЈ медианасы болып табылады, я“ни Ме=20; екі жа“ы одан тйрт варианталы ›ашы›ты›та т±р, ал 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 –›атарлары Їшін оныЈ орталы› мЇшелерініЈ жартылай ›осындысы медианасы болып табылады, я“ни Ме=(14+16)/2=15.

®лкен іріктеулердегі варианталардыЈ класс бойынша тегіс емес жіктелулерінде медиананыесептеу мына формуламен шы“арылады:

м±нда Х_Ме –медиана орналас›ан интервалдыЈ тйменгі шекарасы немесе медиана болу“а тиіс кйршілес класс варианта аралы“ыныЈ жартылай ›осындысы, егер соЈ“ысы интервалсыз вариациялы› ›атарда Їлестірілген іріктеу Їшін аны›талатын болады; n – топта“ы вариантаныЈ жалпы саны; P_s – медиана классыныЈ алдында“ы жина›тал“ан жиіліктер саны; P_Me – медианасы бар класс жиілігі; к – класс аралы› шама.

Медиананы аны›тау вариациялы› ›атардыЈ барлы› варианталарыныЈ жартылай ›осындысынан аспайтындай минимальді шамадан шама“а дейінгі жиіліктердіЈ жина›талу жолымен жЇреді. Осы шама бойынша медианасы бар класс бектіледі.

Мысал. Павиан гамадрилдерініЈ ›ан сарысуында“ы кальцидіЈ (мг%) таралуыныЈ медианалы› ›атарын есептейік (кесте 2.7.1).

Кесте 2.7.1

љан сарысуында“ы кальций бойынша класстарКластыЈ ортаЈ“ы ма“ынасыЖиіліктер (р_i)Жинал“ан жиіліктер (р_s)8,6-9,3

9,4-10,1

10,2-10,9

11,0-11,7

11,8-12,5

12,6-13,3

13,4-14,1

14,2-14,99,0

9,8

11,4

13,0

14,62

15

23

17

7

8

23

71 љосынды 100

Шама n/2=100/2=50 аралы“ында“ы р_s=46 жЩне р_s=71. р_s=71 бойынша медианасы бар интервал шекарасын табамыз: 11,8 ден 12,5 дейінгі жиілігімен р_Ме=25; к=0,8. белгілі шамаларды (20) формула“а ›оя отырып Ме=11,8+0,8(50-46)/25=11,8+0,128=11,93 табамыз. Егер интервалдыЈ тйменгі шекарасыныЈ орнына, медианасы бар сЩйкес класс варианталарыныЈ жартылай ›осындысы алынса осындай нЩтиже алынады: Ме=(11,4+12,2)/2+0,8х(50-46)/25=11,8+0,128=11,93.

Мода (Мо) – берілген жиынты›та еЈ жиі кездесетін шама. ЕЈ кйп жиілігі бар класс модальдды деп аталады. Моданы аны›тауда мына формуланы ›олданамыз:

Мо= , (21)

м±нда х_н – модальды кластыЈ тйменгі шекарасы, я“ни жиілігі кйп класс (р₂); р₁ – класс жиілігі, модальдыны туындататын; р₃ – класс жиілігі, модальдыдан кейінгі; к – класс аралы› ені.

Мысал. Павиан гамадрилдерініЈ ›ан сарысуында“ы кальцидіЈ (мг%) таралуыныЈ модалы› ›атарын аны›таЈыз. 2.7.1 кестесіндегі мЩліметтер бойынша еЈ кйп жиіліктегі (р₂=25) тйменгі шекара х_н=11,8 теЈ; туында“ан класс жиілігі р₁=23, ал келесі модальды кластан кейінгі р₃=17; к=0,8. Осы шамаларды (21) формуласына ›ойып табамыз

Мо=11,8+0,8( )=11,8+0,16=11,96.

Медиана жЩне модамен ›атар вариациялы› ›атардыЈ ›±рылымды› сипаттамасына квантили жатады жЩне ›атар кйлеміндегі оныЈ мЇшелерініЈ арнайы бйліктерін (вариантасын) бйліп йтеді. О“ан квартили, децили и перцентили (процентили) жатады. Квартиль – ›атардыЈ ј мЇшесін бйлетін шама. ®ш квартилдер – d₁, d₂ жЩне d₃ – бЇкіл вариациялы› ›атардыЈ тйрт теЈ санды бйліктеріне бйледі(кварталар). Дециль – мЇшелердіЈ барлы› ›атарын 1/10 бйлетін шама. То“ыз дециль вариациялы› ›атарды он теЈ бйлікке бйледі. Егерде вариантаныЈ жЇз Їлесіндегі жалпы ›атарда“ы таралу жайында болса, Р_i символомен белгіленген ондай шаманы перцентилий немесе процентилий деп атайды. 99 перцентилиді барлы› ба›ылау жиынты“ыныЈ 100 теЈ санды бйлігіне бйлеміз.

ТЩжірибеде Щдетте: Р₃ , Р₁₀, Р₂₅, Р₅₀, Р₇₅, Р₉₀, Р₉₇ перцентилилер ›олданылады, б±нда“ы 50-ші перцентиль медиана“а теЈ, я“ни Р₅₀=Ме; ол сонымен ›атар осы таралымдарда“ы екінші квартильге (d₂) жЩне бесінші децильге сЩйкес келеді. Р₂₅ жЩне Р₇₅ ортасында, d₁ жЩне d₃ сЩйкес аралы›та барлы› мЇшелердіЈ 50% жиынты“ы бар.

Кез-келген перцентиль бір ізді іс-Щрекет ›атарымен аны›талады, оны келесі формула тЇрінде білдіруге болады:

, (22)

м±нда“ы Х_н = Р_i перцентиль бар, кластыЈ тйменгі шекарасы; ол К= Р_in/100 шамасы бойынша p_s санынан асатын (немесе теЈ) жинал“ан жиіліктер ›атарымен аны›талады. Б±л жерде Р_i – таЈдап алын“ан перцентиль; р – Р_i перцентиль бар класс жиілігі; к – класс интервалыныЈ шамасы; n – ба›ылаудыЈ жалпы саны немесе іріктеу кйлемі. Сол себепті, медиананы есептегендей, перцентилиді аны›тау вариациялы› ›атардыЈ кумуляция жиілігіне сЇйене отырып, белгі ма“ынасыныЈ минимальдыдан бастап максимальды“а дейінгі ба“ытта жЇргізіледі.

Тапсырма 1. 94 ›ара“айдыЈ диаметрін йлшегенде (см) келесідей болып шы›ты:

Х……………………16 20 24 28 32 36 40

Р…………………… 4 7 8 28 20 18 9

Р_i………………… 4 11 19 47 67 85 94

Осы таралымныЈ медианасын аны›таЈыз.

Тапсырма 2. 64 аналы› шош›аныЈ туыл“ан торайлар саныныЈ таралу ›атарыныЈ медианасын табыЈыз.

Туыл“ан торайлар саны (w)О›и“а саны (р)Жинал“ан жиіліктер (р_i)Туыл“ан торайлар саны (w)О›и“а саны (р)Жинал“ан жиіліктер (р_i)5

6

7

94

7

15

74

24

3910

12

Жиынты›9

3

64

Тапсырма 3. 64 аналы› шош›аныЈ туыл“ан торайлар саныныЈ таралуы Їшін 50-ші перцентильді табыЈыз.

Х……………………… 5 6 7 8 9 10 11 12

Р_i….................................4 7 13 15 7 9 6 3

Р_s………………………4 11 24 39 46 55 61 64

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   љ±рылымды› орташалар“а сипаттама беріЈіз.
   
2. 
   Медиана мен моданыЈ айырмашылы“ы неде?
   
3. 
   Перцентильді ›алай есептейді?
   

Статистикалы› ›ателер йзіндік статистикалы› Щдістермен ерешеленеді, я“ни басты жиынты›тан объектініЈ бйлігін алып ›арастырады. Басты жиынты› кйрсеткіштерініЈ сипатталуынан іріктеуді зерттеуде пайда бол“ан ›ателерді репрезентативті ›ате деп атайды. Статистикалы› ›атеніЈ шамасы іріктеуге кіретін санды› мЇшелерге жЩне белгініЈ йзгеру дЩрежесіне байланысты. Не“±рлым белгініЈ йзгеруі кЇшті болса, со“±рлым статистикалы› ›атесі де кйп болады; іріктеу кйлемі кйп болса, ›атесі де аз болады.

Осы ›ателер басты жиынты›та“ы сенімділік шекараларын, іріктеу жЩне айырма кйрсеткіштерініЈ сенімділігін, “ылыми-зерттеу ж±мыстарында іріктеу кйлемін аны›тауда ›олданылады. Сатистикалы› ›атені m Щріпімен белгілеп, параметр жазуыныЈ астыЈ“ы жолына жазады.

Сенімді интервалдар деп соЈ“ы ма“ынаны, я“ни оныЈ шегінде басты жиынты› параметрініЈ болуын айтады.

Вариациялы› статистиканыЈ пайымдауынша, басты жиынты›тыЈ орташа арифметикалы“ы ±3m шекарасында жатады, орташа арифметикалы›тан (бірге(σ жЩне С) іріктеу зерттеулерінде; кйп жа“дайда б±л жа›ын келеді.

Орташа арифметикалы›тыЈ ›атесін ( ) мына формула бойынша есептейді:

Мысал. 100 сиырдыЈ орташа тЩуліктік сауылымы =21,26 кг, ал σ =±3,65 ›±райды. Осы жа“дайдыЈ орташа арифметикалы› ›атесі кг ›±рады. Б±л дегеніміз, 100 бастыЈ орташа ›атесі 0,368 кг. Ендеше, ›арастыратын іріктеудіЈ орташа тЩуліктік сауылымы =21,26±0,368 сипатталады.

Орташа квадратты› ауыт›удыЈ ›атесі мына формула бойынша есептеледі:

. (24)

Вариация коэффициентініЈ ›атесі мына формула бойынша есептеледі:

Биометриялы› зерттеулерде айырманыЈ йзгеше ма“ынасы бар – бір шамадан екіншіні азайту нЩтижесі. Барлы› зерттеулердіЈ немесе ба›ылаулардыЈ соЈында айырманыЈ на› йзі жЇргізілген зерттеулердіЈ с±ра›тарына жауап береді.

Айырма бойынша жеке жануарларды (йсімдіктерді) немесе жануарлар топтарына (йсімдіктер) йзара салыстыру жЇргізіліп жЩне онан Щрі оларды ›олдану ±й“арылады. Айырма бойынша ±рпа›тардыЈ белгілері арасында жЩне аналы›тарыныЈ белгілері бойынша (немесе бас›а топ жануарлары) йндірушініЈ сапасын аны›тайды. Айырма бойынша тЩжірибелік жЩне ба›ылау топтарында“ы тЩжірибеніЈ тиімділігін айту“а болады жЩне т.б. Сонды›тан айырма сенімділігініЈ ма“ынасы тЇсінікті, негізгі шама ретінде, осыныЈ негізінде зерттеу жйнінде а›ыр“ы ›орытындылар шы“арылады.

Басты екі жиынты›ты салыстыру барысында айырма сенімділігі туралы с±ра› туындамайды.

Мысал. Бір жылдарда“ы екі шаруашылы›та“ы сиырлар табыныЈ орташа сауылымы салыстырылады: біреуінде ол 3525 кг бол“ан, екіншісінде 3500 кг, айырмасы (d) = 3500-3525=25 кг. Б±л жа“дайда бірінші шаруашылы›та“ысиырлардыЈ орташа сауылымы, екіншіге ›ара“анда 25 кг жо“ары бол“анды“ы еш›андай кЇмЩн келтірмейді, я“ни б±л жылдары біреуінде жЩне бас›асында ›андайлары болды, соныЈ барлы› сауылым сиырлары бойынша санал“ан.

Екі іріктеу арасында“ы айырма йзіне мЇлде бас›а ›атынас ту“ызуда.

Мысал. СиырлардыЈ екі т±›ымыныЈ сауылым айырмасын аны›тауда т±›ымныЈ орташа сауылымы іріктеу Щдісімен аны›талады: жануарлардыЈ ›андайда - бір т±›ымыныЈ бір бйлігі жЩне ›андайда – бір белгілі уа›ыт зерттеледі.

ЖануарлардыЈ барлы› т±›ымына байланысты, б±л жерде Щрбір орташа белгілі бір ›атемен, олай болса, олардыЈ арасында“ы айырма ›ате болуы мЇмкін, жЩне егер б±л ›атені ескермесе, онда ›ортынды да ›ате болады.

Іріктеу айырмасныЈ ›атесі келесі формула бойынша шы“арылады:

, (26)

м±нда m_d – іріктеу айырмасныЈ ›атесі;

m₁ – бір топ белгісініЈ орташа арифметикалы› ›атесі;

m₂ – екінші топ белгісініЈ орташа арифметикалы› ›атесі;

Салыстыру белгілерініЈ арасында йзара байланыс бол“ан жа“дайда, іріктеу айырмасыныЈ ›атесі мына формула бойынша есептелінеді:

,

м±нда r – корреляция коэффициенті ( йзара байланыс жЩне корреляция коэффициентін есептеу жйнінде тйменірек беріледі).

Тапсырма 1. игіздіЈ бір жаста“ы ±р“ашы ±рпа›тарыныЈ орташа тірі салма“ы: =320±4 кг. ОлардыЈ аналы›тарыныЈ бір жаста“ы орташа тірі салма“ы =300±3 кг. Барлы› ±р“ашылары (дЩл осы уа›ытта зертелгендері “ана емес) йздерініЈ енелерінен арты› тірі салма›та болады ма?

Тапсырма 2. Кездейсо› тЩсілмен таЈдал“ан екі ›атарлы арпаныЈ 50 маса“ыныЈ, Щрбір маса›та“ы дЩні саналды.

НЩтижесі келесідей болып шы›ты:

21. 
    17 27 20 22 12 24 13 20 19 22 16 22
    
22. 
    21 16 23 16 21 24 18 11 22 15 23 21
    
23. 
    15 18 15 21 14 15 18 22 15 17 19 17
    
24. 
    17 24 18 19 16 17 15 17 25 16
    

Тапсырма 3. изгергіштіктіЈ орташа арифметикалы› кйрсеткіштерін жЩне аналы› шош›аныЈ йнімділігі бойынша орташа арифметикалы› ›атесін есептеЈіз: 10, 11, 13, 10, 9, 14, 12, 12, 13.

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   љандай ›ателер іріктеу ЩдісініЈ ›ателері деп аталады?
   
2. 
   Орташа арифметикалы›тыЈ, орташа квадратты›тыЈ жЩне вариация коэффициентініЈ ›ателері ›алай есептеледі?
   
3. 
   ›атесін есептеу формуласын келтіріЈіз.
   
4. 
   Іріктеу кйлемі жЩне сигма шамасы йзгергенде шамасы ›алай йзгереді?