Биссектрисы треугольника 1



Дата12.07.2016
өлшемі103.3 Kb.
#193210
түріРешение
08-06-04. Биссектрисы треугольника
1. Теорема о биссектрисе треугольника.

Биссектриса угла треугольника обладает следующим важным свойством.



Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.
Доказательство.

Первый случай. Пусть в треугольнике стороны и равны. Тогда треугольник равнобедренный. Поэтому его биссектриса , проведенная к основанию, является медианой (рисунок 2). Следовательно, , , откуда


Второй случай. Пусть в треугольнике стороны и не равны. Тогда биссектриса не является высотой. Поэтому, если проведем перпендикуляры и , то получим прямоугольные треугольники и (рисунок 3). Треугольники и подобны, потому что их углы с вершиной равны, как вертикальные. Из подобия этих треугольников следует, что


Прямоугольные треугольники и также подобны, так как их углы с вершиной равны половине угла . Из подобия этих треугольников следует, что


Сравнивая полученные пропорции, получаем , откуда .
Пример. Найдем длины биссектрис острых углов прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Решение. Пусть , , . Проведем биссектрису (рисунок 4). По теореме о биссектрисе угла треугольника

Поэтому . По теореме Пифагора



откуда .

Проведем биссектрису (рисунок 5). Аналогично, по теореме о биссектрисе . Поэтому . По теореме Пифагора

откуда .



2.** Теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника.

Справедлива теорема, обратная теореме о биссектрисе угла‘ треугольника.


Если в треугольнике точка расположена на стороне так, что



то отрезок  — биссектриса угла .
Доказательство. Проведем в треугольнике биссектрису . В предыдущем пункте доказано, что . Если предположим, что , то тогда , откуда и .

Откуда следует, что , а это противоречит условию. Значит, предположение неверно.

Аналогично приводит к противоречию и предположение .

Остается единственная возможность , а значит, точки и совпадают и  — биссектриса.

Теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника может служить признаком биссектрисы в треугольнике.
Пример 2. Точка расположена на отрезке так, что . Построим треугольник , у которого  — биссектриса.

Решение. Возьмем любой отрезок, длина которого больше и меньше . Проведем окружности с центром и радиусом и с центром и радиусом . Эти окружности пересекутся в точке (рисунок 6). Тогда в треугольнике выполняется соотношение

то есть


По теореме, обратной к теореме о биссектрисе, получаем, что  –биссектриса в треугольнике .



3.* Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника.

*Рассмотрим биссектрису внешнего угла треугольника.

Возьмем треугольник , его внешний угол при вершине и проведем биссектрису этого угла.

Когда , биссектриса внешнего угла параллельна (рисунок 7).

Пусть . Тогда биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны в некоторой точке (рисунок 8). Для установления свойств этой биссектрисы проанализируем доказательство свойства биссектрисы внутреннего угла и по аналогии проведем , . Тогда треугольники ABE и BCF подобны как прямоугольные, у которых . Отсюда . Кроме этого и треугольники AEK и CFK подобны как прямоугольные с общим острым углом. Отсюда . Поэтому или .

В результате получаем следующее свойство.


Если биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны треугольника в точке , то .

4.** Окружность Аполлония.

Представим, что с аэродрома в некотором направлении по прямой вылетел бомбардировщик. В каком направлении по прямой должен вылететь истребитель с аэродрома , если его скорость в 1,5 раза больше скорости бомбардировщика?

Обозначим через место встречи истребителя с бомбардировщиком. Тогда . Поэтому для ответа на поставленный вопрос можно найти множество всех точек плоскости для которых . Найдя множество и зная луч , вдоль которого летит бомбардировщик, мы сможем определить точку пересечения и , и тем самым определить направление, в котором нужно лететь истребителю.

В следующем пункте мы докажем, что множество является окружностью, которая симметрична относительно прямой . Эта окружность называется окружностью Аполлония.



5. Множество всех точек, расстояния от которых до двух данных точек находится в заданном отношении.

В этом пункте рассмотрим доказательство следующей теоремы.



Теорема. Множество всех точек , расстояния от которых до двух заданных точек и находятся в данном отношении , при есть окружность.
Доказательство.

Разберем доказательство на примере, когда .



Первая часть.

Пусть точка , не лежащая на прямой , принадлежит искомому геометрическому месту точек, то есть . Соединим ее отрезками с точками и и построим биссектрисы смежных углов и (рисунок 9). Поскольку не равно , то биссектриса угла не перпендикулярна прямой , то перпендикулярная ей биссектриса смежного угла не параллельна прямой . Таким образом, биссектрисы пересекут прямую а некоторых точках и . По свойству биссектрис внутреннего угла треугольника получаем . Следовательно, положение точки на отрезке одно и то же для любой точки , для которой .

Аналогично, по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника , а поэтому положение точки на продолжении отрезка также не зависит от точки .

Так как угол прямой (рисунок 10), то точка лежит на окружности, имеющей своим диаметром отрезок .



Вторая часть.

Возьмем на окружности с диаметром произвольную точку и покажем, что .

Через точку проведем прямую, параллельную прямой . Пусть она пересечет отрезок в точке , а прямую в точке (рисунок 10). Тогда треугольник ACP подобен BMP, а треугольник ACQ подобен BLQ. Отсюда



Следовательно, , откуда . Это означает, что точка является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника и поэтому равноудалена от его вершин , , .

Таким образом, , откуда получаем .



6. Вывод уравнения окружности Аполлония с помощью координат.

Разберем как можно получить окружность Аполлония координатным методом, на примере множества точек , для которых .

Введем систему координат так, как на рисунке 11. Пусть , . Обозначим координаты произвольной точки искомого множества переменными: .

Тогда , .

Из условия получим

или








Заменяя переменные и на буквы и , получим уравнение

Это уравнение окружности с центром и радиусом .


Контрольные вопросы
1. В каком отношении биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону треугольника?
2. Что можно сказать о прямой , если точка лежит на стороне треугольника и ?
3. Каким свойством обладает биссектриса внешнего угла треугольника?
4. Докажите, что геометрическое место точек, расстояния от которых до двух данных точек и находятся в данном отношении , есть окружность.
5. Как построить окружность Аполлония с помощью циркуля и линейки по данному отрезку и данному отношению ?
Задачи и упражнения
1. Пусть  см. Постройте окружность Аполлония, состоящую из таких точек , что

а) б) ; .


2. Постройте треугольник, зная основание , высоту , опущенную на это основание, и отношение двух других сторон, равное .
3. Построить треугольник по основанию , медиане и отношению двух других сторон, равному . Рассмотрите случай и случай .
4. Рассмотрим треугольник и биссектрису угла . Проведем через точку прямую , параллельную , и пусть продолжение биссектрисы пересекает в точке . Докажите, что

а) треугольник  — равнобедренный;

б) треугольник подобен треугольнику .
5. Пусть биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны в точке , а прямую, параллельную и проходящую через точку в точке . Докажите, что:

а) треугольник  - – равнобедренный;



б) треугольник подобен треугольнику .
6. В треугольнике проведены медианы и биссектриса , которые пересекаются в точке . Прямая, проходящая через вершину и точку , пересекает сторону в точке . Найдите длины отрезков и , если известно, что длина стороны равна , а длина стороны равна .
7. В трапеции с основаниями и биссектриса угла перпендикулярна боковой стороне и пересекает ее в точке . В каком отношении прямая делит площадь трапеции, если известно, что ?
8. Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , причем длина отрезка в три раза больше длины отрезка . Длина медианы равна , длина биссектрисы равна . Найдите площадь треугольника .
9. Через вершину треугольника проведена прямая, параллельная биссектрисе угла и пересекающая продолжение стороны в точке . Пусть  — середина отрезка . Определите в каком отношении прямая делит площадь треугольника , если известно, что длина стороны равна , а сторона равна .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 6. DM || СF (рис.1). Тогда . Из треугольника по свойству биссектрисы имеем . Так как FK || DM, то . Поэтому . Следовательно, , .

Задача 7. Указание. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (рис.2). Тогда в треугольнике отрезок является и биссектрисой, и высотой. Поэтому , а так как , то и . Пусть площадь треугольника . Тогда SABE = SBME. Из подобия треугольников и следует, что SCDM = (1/4)2 ·SABM =S . Тогда .

Задача 8. Указание. Проведем DK || BC (рис.3). Так как , то . В условии задано, что , поэтому . Рассматривая треугольники и , получаем, что они равны. Следовательно, треугольник равнобедренный, так как отрезок является и медианой и биссектрисой. В результате получаем: , SABD = =(1/2) ·a·(3/4) ·b=(3/8)ab , SABC = 2· SABD =(3/4) ab.

Задача 9. Указание. Проведем EM || BC (рис.4). Из условия, что отрезок параллелен биссектрисе угла , следует . Поэтому . Далее из подобия треугольников и получаем , , откуда . В результате SACK : SABC = CK : BK = b : (a+b).

Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет