Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
| Егер А (n) сөйлемі n = p үшін дұрыс болса және кез келген k> p үшін А (k) ÞА (k + 1) болса, А (n) сөйлемі кез келген n> p үшін дұрыс болады.
Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу келесі түрде жүзеге асырылады. Біріншіден, дәлелденетін бекіту n = 1 үшін тексеріледі, яғни. А (1) тұжырымының ақиқаттығы анықталады. Дәлелдеудің бұл бөлігі индукциялық негіз деп аталады. Содан кейін дәлелдеудің индукция қадамы деп аталатын бөлігі келеді. Бұл бөлімде n = k + 1 үшін бекітудің дұрыстығын n = k (индукциялық гипотеза) үшін бекіту дұрыс деген болжаммен дәлелдейміз, яғни, A (k) ÞA (k + 1) екенін дәлелдеңдер. 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2 екенін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) Бізде n = 1 = 1 2. Демек, мәлімдеме n = 1 үшін дұрыс, яғни. A (1) дұрыс. 2) А (k) ÞA (k + 1) екенін дәлелдеп көрейік. k кез келген натурал сан болсын және n = k үшін тұжырым ақиқат болсын, яғни. 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2. Дәлелдеп көрейік, онда тұжырым келесі натурал саны n = k + 1 үшін де дұрыс болады, яғни, не 1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2. Әрине, 1 + 3 + 5 +… + (2к-1) + (2к + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, кез келген nÎN үшін A (n) болжамы дұрыс деген қорытындыға келеміз. Дәлелдеңіз 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n = (x n + 1 -1) / (x-1), мұндағы x¹1 Шешуі: 1) n = 1 үшін аламыз 1 + x = (x 2 -1) / (x-1) = (x-1) (x + 1) / (x-1) = x + 1 сондықтан n = 1 үшін формула дұрыс; A (1) дұрыс. 2) k кез келген натурал сан болсын және n = k үшін формула ақиқат болсын, яғни. 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k = (x k + 1 -1) / (x-1). Сонда теңдік болатынын дәлелдейміз 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1). Әрине 1 + x + x 2 + x 3 +… + x k + x k + 1 = (1 + x + x 2 + x 3 +… + x k) + x k + 1 = = (x k + 1 -1) / (x-1) + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1). Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, формула кез келген натурал n саны үшін дұрыс деген қорытындыға келеміз. Дөңес n-бұрыштың диагональдарының саны n (n-3) / 2 болатынын дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 3 үшін оператор болады Ал 3 - қулық, өйткені үшбұрышта А 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 диагональ; A 2 A (3) дұрыс. 2) Кез келгенінде делік дөңес к-гон бар- А 1 sy А k = k (k-3) / 2 диагональ. А k Олай болса дөңеспен дәлелдеп көрейік (k + 1) -гон саны диагональдары А k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2. A 1 A 2 A 3… A k A k + 1 -дөңес (k + 1) -бұрыш болсын. Оған A 1 A k диагоналін салыңыз. Осы (k + 1) -gon диагональдарының жалпы санын санау үшін k-гональдағы A 1 A 2… A k диагональдарының санын санау керек, алынған санға k-2 қосыңыз, яғни. А шыңынан шығатын (k + 1) -бұрыштың диагональдарының саны k + 1, сонымен қатар, А 1 А k диагоналы ескерілуі керек. Осылайша, k + 1 = k + (k-2) + 1 = k (k-3) / 2 + k-1 = (k + 1) (k-2) / 2. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне байланысты бұл мәлімдеме кез келген дөңес n-бұрыш үшін дұрыс. Кез келген n үшін келесі тұжырымның дұрыс екенін дәлелдеңіз: 1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда X 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1. Демек, n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс. 2) n = k болсын делік X k = k 2 = k (k + 1) (2k + 1) / 6. 3) n = k + 1 үшін осы мәлімдемені қарастырыңыз X k + 1 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6. X k + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + k 2 + (k + 1) 2 = k (k + 1) (2k + 1) / 6 + + (k + 1) 2 = (k) (k + 1) (2k + 1) +6 (k + 1) 2) / 6 = (k + 1) (k (2k + 1) + 6 (k + 1)) / 6 = (k + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (k + 1) (2 (k + 3/2) (k +) 2)) / 6 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6. Біз n = k + 1 теңдігінің дұрыстығын дәлелдедік, сондықтан математикалық индукция әдісінің күшімен тұжырым кез келген натурал n үшін ақиқат. Кез келген натурал n үшін мына теңдік ақиқат екенін дәлелдеңдер: 1 3 +2 3 +3 3 +… + n 3 = n 2 (n + 1) 2/4. Шешуі: 1) n = 1 болсын. Сонда X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1. Біз n = 1 үшін мәлімдеменің дұрыс екенін көреміз. 2) n = k үшін теңдік ақиқат болсын делік X k = k 2 (k + 1) 2/4. 3) n = k + 1 үшін осы тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеп көрейік, яғни. X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k ++ 1) 2 +4 (k + 1) 3) / 4 = (k + 1) 2 (k 2 + 4k + 4) / 4 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. Келтірілген дәлелден n = k + 1 үшін тұжырым ақиқат екені анық, сондықтан кез келген n натурал саны үшін теңдік ақиқат. Дәлелдеңіз ((2 3 +1) / (2 3 -1)) ´ ((3 3 +1) / (3 3 -1)) ´… ´ ((n 3 +1) / (n 3 -1)) = 3n (n + 1) / 2 (n 2 + n + 1), мұндағы n> 2. Шешуі: 1) n = 2 үшін сәйкестік келесідей болады: (2 3 +1) / (2 3 -1) = (3´2´3) / 2 (2 2 + 2 + 1), анау. ол шынында солай. 2) n = k үшін өрнек ақиқат болсын делік (2 3 +1) / (2 3 -1) ´… ´ (k 3 +1) / (k 3 -1) = 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1). 3) n = k + 1 өрнектің дұрыстығын дәлелдеп көрейік. (((2 3 +1) / (2 3 -1)) ´… ´ ((k 3 +1) / (k 3 -1))) ´ (((k + 1) 3 + 1) / ((k + 1) 3 -1)) = (3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)) ´ ((k + 2) ((k +) 1) 2 - (k + 1) +1) / k ((k + 1) 2 + (k + 1) +1)) = 3 (k + 1) (k + 2) / 2´ ´ ((k + 1) 2 + (k + 1) +1). Біз теңдігін дәлелдедік және n = k + 1 үшін, сондықтан математикалық индукция әдісі бойынша, мәлімдеме кез келген n> 2 үшін дұрыс болады. Дәлелдеңіз 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3) кез келген табиғи п үшін. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7. 2) Онда n = k болсын делік 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2к-1) 3 - (2к) 3 = -k 2 (4к + 3). 3) n = k + 1 үшін бұл тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеп көрейік (1 3 -2 3 +… + (2к-1) 3 - (2к) 3) + (2к + 1) 3 - (2к + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) + + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = - (k + 1) 3 (4 (k + 1) +3). n = k + 1 теңдігінің дұрыстығы да дәлелденді, демек, кез келген натурал n саны үшін тұжырым ақиқат. Тұлғаның дұрыстығын дәлелдеңіз (1 2 / 1´3) + (2 2 / 3´5) +… + (n 2 / (2n-1) ´ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1) кез келген табиғи п үшін. 1) n = 1 үшін сәйкестік ақиқат 1 2 / 1´3 = 1 (1 + 1) / 2 (2 + 1). 2) n = k үшін болсын (1 2 / 1´3) +… + (k 2 / (2k-1) ´ (2k + 1)) = k (k + 1) / 2 (2k + 1). 3) n = k + 1 үшін сәйкестік ақиқат екенін дәлелдейміз. (1 2 / 1´3) +… + (k 2 / (2k-1) (2k + 1)) + (k + 1) 2 / (2k + 1) (2k + 3) = (k (k +) 1) / 2 (2к + 1)) + ((k + 1) 2 / (2к + 1) (2к + 3)) = ((k + 1) / (2k + 1)) ´ ((k / 2) ) + ((k + 1) / (2k + 3))) = (k + 1) (k + 2) ´ (2k + 1) / 2 (2k + 1) (2k + 3) = (k + 1) ) (k + 2) / 2 (2 (k + 1) +1). Берілген дәлелден бұл тұжырымның кез келген натурал n саны үшін ақиқат екені анық. (11 n + 2 +12 2n + 1) 133-ке қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда 11 3 +12 3 = (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) = 23´133. Бірақ (23´133) 133-ке қалдықсыз бөлінеді, сондықтан n = 1 үшін тұжырым ақиқат; A (1) дұрыс. 2) (11 k + 2 + 12 2k + 1) 133-ке қалдықсыз бөлінеді делік. 3) Осы жағдайда дәлелдеп көрейік (11 к + 3 +12 2к + 3) 133-ке қалдықсыз бөлінеді. Шынында да, 11 k + 3 +12 2n + 3 = 11´11 k + 2 +12 2´ 12 2k + 1 = 11´11 k + 2 + + (11 + 133) ´12 2к + 1 = 11 (11 к + 2 +12 2к + 1) + 133'12 2к + 1. Алынған қосынды 133-ке қалдықсыз бөлінеді, өйткені оның бірінші мүшесі жорамал бойынша 133-ке қалдықсыз бөлінеді, ал екіншісінде көбейткіштердің бірі 133-ке тең. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция әдісінің күшімен тұжырым дәлелденді. Кез келген n 7 үшін n -1 6-ға қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда X 1 = 7 1 -1 = 6 6-ға қалдықсыз бөлінеді. Бұл n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс екенін білдіреді. 2) n = k үшін болсын 7 k -1 6-ға қалдықсыз бөлінеді. 3) n = k + 1 үшін тұжырымның ақиқат екенін дәлелдеп көрейік. X k + 1 = 7 k + 1 -1 = 7´7 k -7 + 6 = 7 (7 к -1) +6. Бірінші мүше 6-ға бөлінеді, өйткені 7 k -1 болжам бойынша 6-ға бөлінеді, ал екінші мүшесі 6. Демек, 7 n -1 кез келген натурал n үшін 6-ға еселік. Математикалық индукция әдісінің күшімен тұжырым дәлелденді. Ерікті n дөңгелек n үшін 3 3n-1 +2 4n-3 11-ге бөлінетінін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда X 1 = 3 3 - 1 +2 4 - 3 = 3 2 +2 1 = 11 11-ге қалдықсыз бөлінеді. Демек, n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс. 2) n = k үшін болсын X k = 3 3k-1 +2 4k-3 11-ге қалдықсыз бөлінеді. 3) n = k + 1 үшін тұжырымның ақиқат екенін дәлелдеп көрейік. X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 = 27'3 3k-1 + 16'2 4k-3 = (16 + 11) '3 3k-1 + 16'2 4k-3 = 16'3 3k-1 + 11´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) + 11'3 3k-1. Бірінші мүше 11-ге қалдықсыз бөлінеді, өйткені 3 3k-1 +2 4k-3 11-ге бөлінеді, ал екіншісі 11-ге бөлінеді, өйткені оның бір көбейткіші 11. Демек қосынды 11-ге бөлінеді. кез келген табиғи п үшін қалдықсыз. Математикалық индукция әдісінің күшімен тұжырым дәлелденді. Ерікті натурал n үшін 11 2n -1 6-ға қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда 11 2 -1 = 120 6-ға қалдықсыз бөлінеді. Бұл n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс екенін білдіреді. 2) n = k үшін болсын 11 2k -1 6-ға қалдықсыз бөлінеді. 11 2 (k + 1) -1 = 121'11 2k -1 = 120'11 2к + (11 2к -1). Екі мүше де 6-ға қалдықсыз бөлінеді: біріншісінде 120-мен 6-ға еселік бар, ал екіншісі жорамал бойынша 6-ға қалдықсыз бөлінеді. Бұл сома 6-ға қалдықсыз бөлінетінін білдіреді. Мәлімдеме математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. Ерікті натурал n саны үшін 3 3n + 3 -26n-27 26 2-ге (676) қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер. Шешуі: Алдымен 3 3n + 3 -1 саны 26-ға қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеп көрейік. n = 0 үшін 3 3 -1 = 26 26-ға бөлінеді Айталық, n = k үшін 3 3k + 3 -1 саны 26-ға бөлінеді Бұл мәлімдемені дәлелдеп көрейік n = k + 1 үшін дұрыс. 3 3k + 6 -1 = 27´3 3k + 3 -1 = 26´3 3L + 3 + (3 3k + 3 -1) –26-ға бөлінген Енді проблемалық тұжырымда тұжырымдалған тұжырымды дәлелдейміз. 1) n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс екені анық 3 3+3 -26-27=676 2) n = k үшін болсын 3 3k + 3 -26k-27 өрнегі 26 2-ге қалдықсыз бөлінеді. 3) n = k + 1 үшін тұжырымның ақиқат екенін дәлелдеп көрейік 3 3к + 6 -26 (к + 1) -27 = 26 (3 3к + 3 -1) + (3 3к + 3 -26к-27). Екі мүше де 26 2-ге бөлінеді; біріншісі 26 2-ге бөлінеді, өйткені жақшадағы өрнектің 26-ға бөлінетіндігін дәлелдедік, ал екіншісі индукциялық гипотеза арқылы бөлінеді. Мәлімдеме математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. Егер n> 2 және х> 0 болса, онда теңсіздік болатынын дәлелдеңдер (1 + x) n> 1 + n'x. Шешуі: 1) n = 2 үшін теңсіздік дұрыс, өйткені (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x. Демек, A (2) дұрыс. 2) A (k) ÞA (k + 1) болса, k> 2. А (k) ақиқат, яғни теңсіздік деп есептейік. (1 + x) k> 1 + k'x. (3) Сонда А (k + 1) де ақиқат, яғни теңсіздік болатынын дәлелдейік (1 + x) k + 1> 1+ (k + 1) ´x. Шынында да, (3) теңсіздіктің екі жағын 1 + х оң санына көбейтсек, біз мынаны аламыз (1 + x) k + 1> (1 + k´x) (1 + x). Соңғы теңсіздіктің оң жағын қарастырайық жылжымайтын мүліктер; Бізде бар (1 + k´x) (1 + x) = 1 + (k + 1) ´x + k´x 2> 1+ (k + 1) ´x. Нәтижесінде біз мұны аламыз (1 + x) k + 1> 1+ (k + 1) ´x. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, Бернулли теңсіздігі кез келген теңсіздік үшін жарамды деп айтуға болады. теңсіздік екенін дәлелдеңдер (1 + a + a 2) m> 1 + m´a + (m (m + 1) / 2) a> 0 үшін 'a 2. Шешуі: 1) m = 1 үшін (1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ´a 2 екі бөлік те тең. 2) m = k үшін болсын (1 + a + a 2) k> 1 + k´a + (k (k + 1) / 2) 'a 2 3) m = k + 1 үшін теңсіздік ақиқат болатынын дәлелдеп көрейік (1 + a + a 2) k + 1 = (1 + a + a 2) (1 + a + a 2) k> (1 + a + a 2) (1 + k´a + + (k (k + 1) / 2) ´a 2) = 1 + (k + 1) ´a + ((k (k + 1) / 2) + k + 1) ´a 2 + + ((k (k + 1) / 2) + k) ´a 3 + (k (k + 1) / 2) ´a 4> 1+ (k + 1) 'a + + ((k + 1) (k + 2) / 2) ´a 2. Біз m = k + 1 теңсіздігін дәлелдедік, сондықтан математикалық индукция әдісінің күшімен теңсіздік кез келген табиғи m үшін жарамды. n>6 теңсіздікті дәлелдеңдер 3 n> n´2 n + 1. Шешуі: Теңсіздікті келесі түрде қайта жазамыз n = 7 үшін бізде бар 3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2´7 теңсіздік ақиқат. Айталық, n = k үшін 3) n = k + 1 теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеп көрейік. 3 k + 1/2 k + 1 = (3 к / 2 к) ´ (3/2)> 2k´ (3/2) = 3к> 2 (k + 1). k>7 болғандықтан, соңғы теңсіздік анық. Математикалық индукция әдісінің арқасында теңсіздік кез келген натурал n саны үшін жарамды. n>2 теңсіздікті дәлелдеңдер 1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1/n 2)<1,7-(1/n). Шешуі: 1) n = 3 үшін теңсіздік ақиқат 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3). Айталық, n = k үшін 1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / к 2) = 1,7- (1 / к). 3) дұрыстығын дәлелдеп көрейік n = k + 1 үшін теңдік (1+ (1/2 2) +… + (1 / к 2)) + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2). 1,7- (1 / к) + (1 / (к + 1) 2) болатынын дәлелдейміз.<1,7-(1/k+1)Û Û (1 / (k + 1) 2) + (1 / к + 1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ Ûk (k + 2)<(k+1) 2Û k 2 +2k<="" p="" > Соңғысы анық, демек 1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k+1). Теңсіздік математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. Қорытынды Атап айтқанда, математикалық индукция әдісін зерттей отырып, мен математиканың осы саласындағы білімімді жетілдірдім, сонымен қатар бұрын менің қолымнан келмейтін есептерді шығаруды үйрендім. Негізінде бұл логикалық және ойын-сауық тапсырмалары болды, яғни. ғылым ретінде математикаға деген қызығушылықты арттыратындар ғана. Мұндай есептерді шешу қызықты әрекетке айналады және математикалық лабиринттерге барған сайын қызығушылық танытатын адамдарды тарта алады. Менің ойымша, бұл кез келген ғылымның негізі. Математикалық индукция әдісін зерттеуді жалғастыра отырып, мен оны тек математикада ғана емес, физика, химия және өмірдің өзінде есептерді шешуде қолдануды үйренуге тырысамын. жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|