Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
| Математикалық индукция принципі.
Егер А сөйлемі (n), натурал санға байланыстыn, үшін шынn= 1 және оның шындығынанn = k(қайдак-кез келген натурал сан), одан келесі сан үшін де дұрыс екені шығадыn = k + 1, онда А болжамы (n) кез келген натурал сан үшін дұрысn. Кейбір жағдайларда белгілі бір тұжырымның дұрыстығын барлық натурал сандар үшін емес, тек n>p үшін дәлелдеу қажет, мұндағы p - тұрақты натурал сан. Бұл жағдайда математикалық индукция принципі былай тұжырымдалады. Егер А сөйлемі (n) үшін дұрысn = pжәне егер А (к) Þ A(k + 1)кез келген адам үшінk> p,содан кейін А сөйлемі (n)кез келген адамға шынайыn> б. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу келесі түрде жүзеге асырылады. Біріншіден, дәлелденетін бекіту n = 1 үшін тексеріледі, яғни. А (1) тұжырымының ақиқаттығы анықталады. Дәлелдеудің бұл бөлігі индукциялық негіз деп аталады. Содан кейін дәлелдеудің индукция қадамы деп аталатын бөлігі келеді. Бұл бөлімде n = k + 1 үшін бекітудің дұрыстығын n = k (индукциялық гипотеза) үшін бекіту дұрыс деген болжаммен дәлелдейміз, яғни, A (k) ÞA (k + 1) екенін дәлелдеңдер. МЫСАЛ 1 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2 екенін дәлелдеңдер. Шешуі: 1) Бізде n = 1 = 1 2. Демек, мәлімдеме n = 1 үшін дұрыс, яғни. A (1) дұрыс. 2) А (k) ÞA (k + 1) екенін дәлелдеп көрейік. k кез келген натурал сан болсын және n = k үшін тұжырым ақиқат болсын, яғни. 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2. Дәлелдеп көрейік, онда тұжырым келесі натурал саны n = k + 1 үшін де дұрыс болады, яғни, не 1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2. Әрине, 1 + 3 + 5 +… + (2к-1) + (2к + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, кез келген nÎN үшін A (n) болжамы дұрыс деген қорытындыға келеміз. МЫСАЛ 2 Дәлелдеңіз 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n = (x n + 1 -1) / (x-1), мұндағы x¹1 Шешуі: 1) n = 1 үшін аламыз 1 + x = (x 2 -1) / (x-1) = (x-1) (x + 1) / (x-1) = x + 1 сондықтан n = 1 үшін формула дұрыс; A (1) дұрыс. 2) k кез келген натурал сан болсын және n = k үшін формула ақиқат болсын, яғни. 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k = (x k + 1 -1) / (x-1). Сонда теңдік болатынын дәлелдейміз 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1). Әрине 1 + x + x 2 + x 3 +… + x k + x k + 1 = (1 + x + x 2 + x 3 +… + x k) + x k + 1 = = (x k + 1 -1) / (x-1) + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1). Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, формула кез келген натурал n саны үшін дұрыс деген қорытындыға келеміз. МЫСАЛ 3 Дөңес n-бұрыштың диагональдарының саны n (n-3) / 2 болатынын дәлелдеңдер. Шешуі: 1) n = 3 үшін оператор болады Ал 3 - қулық, өйткені үшбұрышта А 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 диагональ; A 2 A (3) дұрыс. 2) Кез келгенінде делік дөңес к-гон бар- А 1 sy А k = k (k-3) / 2 диагональ. А k Олай болса дөңеспен дәлелдеп көрейік (k + 1) -гон саны диагональдары А k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2. A 1 A 2 A 3… A k A k + 1 -дөңес (k + 1) -бұрыш болсын. Оған A 1 A k диагоналін салыңыз. Осы (k + 1) -gon диагональдарының жалпы санын санау үшін k-гональдағы A 1 A 2… A k диагональдарының санын санау керек, алынған санға k-2 қосыңыз, яғни. А шыңынан шығатын (k + 1) -бұрыштың диагональдарының саны k + 1, сонымен қатар, А 1 А k диагоналы ескерілуі керек. Осылайша, k + 1 = k + (k-2) + 1 = k (k-3) / 2 + k-1 = (k + 1) (k-2) / 2. Сонымен, A (k) ÞA (k + 1). Математикалық индукция принципіне байланысты бұл мәлімдеме кез келген дөңес n-бұрыш үшін дұрыс. МЫСАЛ 4 Кез келген n үшін келесі тұжырымның дұрыс екенін дәлелдеңіз: 1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6. Шешуі: 1) n = 1 болсын, онда X 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1. Демек, n = 1 үшін мәлімдеме дұрыс. 2) n = k болсын делік X k = k 2 = k (k + 1) (2k + 1) / 6. 3) n = k + 1 үшін осы мәлімдемені қарастырыңыз X k + 1 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6. X k + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + k 2 + (k + 1) 2 = k (k + 1) (2k + 1) / 6 + + (k + 1) 2 = (k) (k + 1) (2k + 1) +6 (k + 1) 2) / 6 = (k + 1) (k (2k + 1) + 6 (k + 1)) / 6 = (k + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (k + 1) (2 (k + 3/2) (k +) 2)) / 6 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6. Біз n = k + 1 теңдігінің дұрыстығын дәлелдедік, сондықтан математикалық индукция әдісінің күшімен тұжырым кез келген натурал n үшін ақиқат. МЫСАЛ 5 Кез келген натурал n үшін мына теңдік ақиқат екенін дәлелдеңдер: 1 3 +2 3 +3 3 +… + n 3 = n 2 (n + 1) 2/4. Шешуі: 1) n = 1 болсын. Сонда X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1. Біз n = 1 үшін мәлімдеменің дұрыс екенін көреміз. 2) n = k үшін теңдік ақиқат болсын делік білім министрлігі Саратов облысы Саратов мемлекеттік әлеуметтік экономика университеті Мектеп оқушыларының математикалық және компьютерлік жұмыстарының облыстық байқауы «Болашақ векторы – 2007» жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|