Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1
| 2-мысал.
17 ғасырда В.Г. Лейбниц n 3 - n түріндегі кез келген натурал n сандар үшін 3-ке еселік, n 5 - n 5-ке еселік, n 7 - n 7-ге еселік болатынын дәлелдеді. Осы негізде ол әрбір тақ k және табиғи n саны nk - n k еселігі, бірақ көп ұзамай өзі 2 9 –2 = 510 екенін байқады, бұл анық, 9-ға бөлінбейді. Қарастырылған мысалдар маңызды қорытынды жасауға мүмкіндік береді: мәлімдеме бірқатар ерекше жағдайларда шынайы болуы мүмкін және сонымен бірге жалпы алғанда әділетсіз. Сұрақ табиғи түрде туындайды: бірнеше ерекше жағдайларда жарамды мәлімдеме бар; барлық ерекше жағдайларды қарастыру мүмкін емес; бұл мәлімдеменің шын екенін қалай білуге болады? Бұл сұрақты кейде математикалық индукция әдісі деп аталатын арнайы пайымдау әдісін қолдану арқылы шешуге болады. Бұл әдіс негізделген математикалық индукция принципі, төмендегідей тұжырымдалған: мәлімдеме кез келген табиғи n үшін дұрыс, егер: ол n = 1 үшін жарамды; кейбір ерікті натурал n = k үшін тұжырымның дұрыстығынан оның n = k +1 үшін жарамды екендігі шығады. Дәлелдеу. Қарама-қарсы делік, яғни әрбір натурал n үшін мәлімдеме ақиқат болсын. Сонда m натурал саны бар n = m мәлімдемесі дұрыс емес, барлығы үшін Н Әлбетте, m> 1, өйткені n = 1 үшін мәлімдеме ақиқат (1-шарт). Демек, m -1 натурал сан. m -1 натурал саны үшін тұжырым ақиқат, ал келесі m натурал саны үшін бұл дұрыс емес. Бұл 2-шартқа қайшы келеді. Пайда болған қайшылық болжамның дұрыс емес екенін көрсетеді. Демек, бекіту кез келген натурал n, p.a саны үшін ақиқат. Математикалық индукция принципіне негізделген дәлелдеуді математикалық индукция әдісі бойынша дәлелдеу деп атайды. Мұндай дәлелдеу екі тәуелсіз теореманы дәлелдеуден екі бөліктен тұруы керек. Теорема 1... Мәлімдеме n = 1 үшін жарамды. 2-теорема... Бұл тұжырым n = k +1 үшін дұрыс, егер ол n = k үшін дұрыс болса, мұндағы k - ерікті натурал сан. Егер осы теоремалардың екеуі де дәлелденсе, онда математикалық индукция принципіне сүйене отырып, мәлімдеме кез келген табиғи n. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу, әрине, 1 және 2 теоремаларды дәлелдеуді қажет ететінін атап өткен жөн. 2-теореманы елемеу дұрыс емес қорытындыларға әкеледі (1-2 мысалдар). 1-теореманы дәлелдеу қаншалықты қажет екенін мысалмен көрсетейік. 3-мысал... «Теорема»: әрбір натурал сан келесі натурал санға тең. Дәлелдеуді математикалық индукция әдісімен орындаймыз. Айталық k = k +1 (1). k + 1 = k +2 (2) екенін дәлелдейік. Ол үшін «теңдіктің» (1) әрбір бөлігіне 1 қосыңыз.«Теңдік» (2) аламыз. Егер бекіту n = k үшін ақиқат болса, n = k +1 үшін де дұрыс болады., т.б. «Теореманың» айқын «салдары»: барлық натурал сандар тең. Қателік мынада: математикалық индукция принципін қолдану үшін қажетті 1-теорема дәлелденбеген және ақиқат емес, тек екінші теорема ғана дәлелденген. 1 және 2 теоремалар ерекше маңызға ие. 1-теорема индукцияның негізін береді. 2-теорема осы негізді шектеусіз автоматты түрде кеңейту құқығын, берілген нақты жағдайдан келесіге, n-ден n +1-ге өту құқығын береді. Егер 1-теорема дәлелденбесе, бірақ 2-теорема дәлелденсе, демек, индукцияны жүзеге асыру үшін негіз жасалмаған, содан кейін 2-теореманы қолданудың мағынасы жоқ, өйткені іс жүзінде кеңейтетін ештеңе жоқ. Егер 2-теорема дәлелденбесе, тек 1-теорема дәлелденсе, индукцияны жүзеге асыру үшін негіз жасалғанымен, бұл негізді кеңейтуге құқығы жоқ. жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|