Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Мәселе 1
| Мәселені шешу мысалдары
Алгебрадағы индукция Алгебралық есептердің бірнеше мысалдарын, сондай-ақ математикалық индукция әдісі арқылы шешуге болатын әртүрлі теңсіздіктерді дәлелдеуді қарастырыңыз. Мәселе 1... Қосындының формуласын тап және оны дәлелде. A( n) = 2 1 2 + 3 2 2 +… .. + (n +1) n 2. Шешім. 1. А (n) қосындысы үшін өрнекті түрлендіреміз: A (n) = 2 1 2 + 3 2 2 +….+ (N + 1) n 2 = (1 + 1) 1 2 + (2 + 1) 2 2 +…. + (n + 1) n 2 = = 1 1 2 + 2 2 2 +… + n n 2 + 1 2 + 2 2 +… + n 2 = 1 3 + 2 3 +… + n 3 +1 2 + 2 2 +… + n 2 = B (n) + C (n), мұндағы B (n) = 1 3 + 2 3 +… .. + n 3, C (n) = 1 2 + 2 2 + … + N 2. 2. C (n) және B (n) қосындыларын қарастырыңыз. а) С ( n) = 1 2 + 2 2 +… + n 2. Математикалық индукция әдісі бойынша жиі кездесетін есептердің бірі кез келген табиғи n үшін теңдік болатынын дәлелдеу болып табылады. 1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1) (1) барлық n үшін дұрыс болсын делік Н. б ) B (n) = 1 3 + 2 3 +… .. + n 3. B (n) мәндерінің n-ге байланысты қалай өзгеретінін байқап көрейік. B (1) = 1 3 = 1. B (2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2 B (3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 = Осылайша, бұл деп болжауға болады B (n) = (1 + 2 +…. + N) 2 = (2) в) Нәтижесінде А (n) қосындысы үшін аламыз A( n) = = = (*) 3. Алынған формуланы (*) математикалық индукция әдісімен дәлелдеп көрейік. а) n = 1 үшін (*) теңдігінің дұрыстығын тексеріңіз. A (1) = 2 =2, (*) формуласы n = 1 үшін дұрыс екені анық. б) (*) формуласы n = k үшін дұрыс болсын, мұндағы k N, яғни теңдік A (k) = Болжамға сүйене отырып, n = k +1 формуласының дұрыстығын дәлелдеп көрейік. Шынымен, A (k + 1) = (*) формуласы n = 1 үшін ақиқат болғандықтан, ал кейбір табиғи k үшін ақиқат деген болжамнан математикалық индукция принципіне сүйене отырып, n = k +1 үшін ақиқат деген қорытынды шығады. теңдік кез келген натурал n саны үшін орындалады. жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|