Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
/?(/7 + 1) 1 + 2 + ... + / 7 қосындысын деп белгілейміз S n.Мәндерді табыңыз S nкейбіреулер үшін /7
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
| /?(/7 + 1)
1 + 2 + ... + / 7 қосындысын деп белгілейміз S n.Мәндерді табыңыз S nкейбіреулер үшін /7. Ескерту: S 4 қосындысын табу үшін бұрын есептелген 5 3 мәнін пайдалануға болады, өйткені 5 4 = 5 3 +4. n (n +1) Егер қарастырылған мәндерді ауыстырсақ /? мерзімде --- онда біз сәйкесінше бірдей 1, 3, 6, 10 қосындыларын аламыз. Бұл бақылаулар . _ n (n + 1) формуласын ұсынады С„= --- қашан қолдануға болады кез келген //. Бұл гипотезаны математикалық индукция әдісімен дәлелдеп көрейік. Индукциялық негізтексерілді. Орындайық индуктивті ауысу. Айталықформуланың кейбір натурал сандар үшін дұрыс екенін , k (k + 1) k, онда тор біріншінің қосындысы болады Кімгенатурал сандар ---- тең. Дәлелдейікбірінші (? +1) натурал сандардың қосындысы тең (* + !)(* + 2) * + 1 арқылы көрсетейік С к.Ол үшін S * + i қосындысында біз бірінші топтасамыз Кімгетерминдер, ал соңғы терминді бөлек жазамыз: Индуктивті гипотеза бойынша S k =Табу дегенді білдіреді бірінші (? +1) натурал сандардың қосындысы, ол бұрыннан есептелгенге жеткілікті . „ k (k + 1) _ .. .. біріншісінің қосындысы Кімге----ге тең сандар, бір мүшені қосыңыз (+ 1-ге). Индуктивті ауысу негізделген. Осылайша, басында айтылған гипотеза дәлелденді. Біз формуланың дәлелін келтірдік S n = n ^ n + әдісі математикалық индукция. Әрине, басқа да дәлелдер бар. Мысалы, соманы жазуға болады S,мүшелердің өсу ретімен, содан кейін мүшелердің кему ретімен: Бір бағандағы мүшелердің қосындысы тұрақты (бір қосындыда әрбір келесі мүше 1-ге кемиді, ал екіншісінде 1-ге артады) және (/ r + 1) тең. Сондықтан, алынған сомаларды қосу, біз болады Н.С(және + 1) тең шарттар. Сондықтан соманы екі есе көбейтіңіз S „тең n (n + 1). Дәлелденген формуланы келесідей алуға болады жеке оқиғабіріншісінің қосындысының формулалары Н.Сарифметикалық прогрессияның мүшелері. Математикалық индукция әдісіне қайта оралайық. Математикалық индукция әдісінің бірінші кезеңі (индукциялық негіз) әрқашан қажет екенін ескеріңіз. Бұл қадамның болмауы дұрыс емес қорытындыға әкелуі мүмкін. 5.5.6-мысал. Сөйлемді «дәлелдеп» көрейік: «7» +1 саны кез келген натурал I үшін 3-ке бөлінеді». «Бұл қандай да бір табиғи құндылық үшін делік Кімге 7 * + 1 саны 3-ке бөлінеді. 7 және +1 саны 3-ке бөлінетінін дәлелдеп көрейік. Түрлендірулерді орындайық: 6 саны 3-ке бөлінетіні анық. Сан 1 - +индуктивті гипотеза бойынша 3-ке бөлінеді, яғни 7- (7 * + 1) саны да 3-ке бөлінеді. Демек, 3-ке бөлінетін сандардың айырмасы да 3-ке бөлінетін болады. Ұсыныс дәлелденді ». Индуктивті қадам дұрыс болғанымен, бастапқы ұсыныстың дәлелі жалған. Шынында да, үшін n =Менде бізде 8 саны бар n = 2 - 50, ... саны және бұл сандардың ешқайсысы 3-ке бөлінбейді. Индуктивті ауысуды орындау кезінде натурал санның белгіленуі туралы маңызды ескерту жасайық. Ұсынысты құрастыру кезінде A (n)хат Н.Сбіз айнымалыны белгіледік, оның орнына кез келген натурал сандарды ауыстыруға болады. Индуктивті гипотезаны құрастырған кезде айнымалының мәнін әріппен белгіледік Кімге.Дегенмен, оның орнына өте жиі жаңа хат Кімгеайнымалыны білдіретін бірдей әріпті пайдаланыңыз. Бұл индуктивті ауысуды орындау кезінде пайымдау құрылымына ешқандай әсер етпейді. Математикалық индукция әдісін қолдану арқылы шешуге болатын есептердің тағы бірнеше мысалын қарастырыңыз. 5.5.7-мысал. Қосындының мәнін табыңыз Тапсырмада айнымалы Н.Спайда болмайды. Дегенмен, терминдердің ретін қарастырыңыз: белгілейміз S, = a + a 2 + ... + a „.Табу С«Кейбіреулер астында Н.С.Егер / 1 = 1 болса, онда S, = a, =-. Егер n = 2.онда S, = а, + а? = - + - = - = -. Егер /? = 3 болса, онда S-, = a, + a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -. 3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4 Сіз мәндерді өзіңіз есептей аласыз S „кезінде / 7 = 4; 5. Бар табиғи болжам: S n= - кез келген табиғи үшін / 7. Дәлелдейік бұл математикалық индукция арқылы. Индукциялық негізжоғарыда тексерілді. Орындайық индуктивті ауысу, ерікті түрде алынғанды білдіреді айнымалы мән Н.Ссол әріппен, яғни теңдіктен дәлелдейміз жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|