Бұл бөлімде қарастырылатын дәлелдеу әдісі табиғи қатар аксиомаларының біріне негізделген
жүктеу/скачать 388.51 Kb.
|
| Негізгі бөлім
Өзінің бастапқы мағынасы бойынша «индукция» сөзі бірнеше нақты мәлімдемелерге негізделген жалпы қорытындылар алынатын пайымдауларға қолданылады. Мұндай пайымдаудың ең қарапайым әдісі - толық индукция. Міне, осы пікірдің мысалы. Әрбір табиғи екенін анықтау талап етілсін жұп сан n ішінде 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Бұл тоғыз теңдік бізді қызықтыратын сандардың әрқайсысы екі қарапайым шарттың қосындысы ретінде берілгенін көрсетеді. Осылайша, толық индукция жалпы тұжырымның мүмкін болатын жағдайлардың шектеулі санының әрқайсысында бөлек дәлелденетінін білдіреді. Кейде жалпы нәтижені барлығын емес, жеткілікті деп есептегеннен кейін болжауға болады үлкен санерекше жағдайлар (толық емес индукция деп аталады). Толық емес индукция арқылы алынған нәтиже, алайда, барлық ерекше жағдайларды қамтитын дәл математикалық пайымдаулар арқылы дәлелденбейінше, тек гипотеза болып қалады. Басқаша айтқанда, математикадағы толық емес индукция қатаң дәлелдеудің заңды әдісі болып саналмайды, бірақ жаңа шындықтарды ашудың күшті әдісі болып табылады. Мысалы, сіз бірінші n қатарынан тақ санның қосындысын тапқыңыз келеді делік. Ерекше жағдайларды қарастырайық: 1+3+5+7+9=25=5 2 Осы бірнеше ерекше жағдайларды қарастырғаннан кейін келесі жалпы қорытынды шығады: 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2 анау. бірінші n қатарынан тақ сандардың қосындысы n 2 Әрине, жасалған бақылау жоғарыдағы формуланың дұрыстығына әлі дәлел бола алмайды. Толық индукция математикада шектеулі қолданылады. Көптеген қызықты математикалық мәлімдемелер ерекше жағдайлардың шексіз санын қамтиды, бірақ біз жағдайлардың шексіз санын тексере алмаймыз. Толық емес индукция жиі қате нәтижелерге әкеледі. Көп жағдайда мұндай қиындықтан шығудың жолы – математикалық индукция әдісі деп аталатын арнайы пайымдау әдісіне жүгіну. Ол келесідей. Кез келген натурал n саны үшін белгілі бір тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу керек делік (мысалы, бірінші n тақ санның қосындысы n 2-ге тең екенін дәлелдеу керек). Бұл мәлімдемені n-дің әрбір мәні үшін тікелей тексеру мүмкін емес, өйткені натурал сандар жиыны шексіз. Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін алдымен оның n = 1 үшін жарамдылығын тексеріңіз. Сонда k-ның кез келген натурал мәні үшін n = k үшін қарастырылатын тұжырымның дұрыстығы n = k + 1 үшін де оның дұрыстығын білдіретіні дәлелденді. Сонда мәлімдеме барлық n үшін дәлелденген болып саналады. Шынында да, мәлімдеме n = 1 үшін дұрыс. Бірақ содан кейін ол үшін де дұрыс келесі нөмір n = 1 + 1 = 2. n = 2 үшін мәлімдеменің жарамдылығы оның n = 2 + үшін жарамдылығын білдіреді 1 = 3. Бұл n = 4 үшін мәлімдеменің дұрыстығын білдіреді және т.б. Ең соңында кез келген натурал n санына жететініміз анық. Демек, мәлімдеме кез келген n үшін дұрыс. Айтылғандарды қорытындылай келе, біз келесі жалпы принципті тұжырымдаймыз. жүктеу/скачать 388.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|