Целые числа
жүктеу/скачать 109.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение 1
| 2. Кольцо целых чисел. В п.1.5 данной главы было отмечено, что операция вычитания, обратная операции сложения, не всегда выполнима в множестве N натуральных чисел. Поставим задачу построить расширение множества N натуральных чисел до такого множества 2, чтобы в нем были бы определены операции сложения и умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладают в множестве N натуральных чисел, была бы всегда выполнима операция, обратная сложению, т. е. вычитание, было бы определено соотношение порядка. Легко заметить, что отмеченным выше свойствам будет удовлетворять некоторое кольцо.
Определение 1. Кольцом целых чисел называется минимальное упорядоченное кольцо Z, содержащее множество N натуральным чисел, т. е. множество Z, обладающее следующими свойствами: множество N натуральных чисел есть подмножество множества Z, т. е. NZ; Z — упорядоченное кольцо; соотношение порядка, операции сложения и умножения в множестве N натуральных чисел совпадают с одноименными соотношением и операциями над этими числами в кольце Z; кольцо 1 — минимальное кольцо, т. е. не содержит отличного от него подкольца, содержащее множество N. Элементы кольца Z называются целыми числами. Из определения 1 еще не следует существования такого кольца Z. Чтобы доказать существование кольца Z, надо построить его интерпретацию, 7. е. построить множество, удовлетворяющее условиям 1—4 из определения 1. С этой целью' рассмотрим множество, элементами которого являются пары (а, b) натуральных чисел а и b, причем а — первый элемент пары, b—второй. На множестве пар введем бинарное соотношение R с помощью следующего закона: две пары (а, b) и (с, d) находятся в соотношении R, если а+d =b+с, обозначение; (a, b)R(c,d). Легко доказать, что соотношение /? — соотношение эквивалентности: R рефлексивно, так как (a,b)R(a,b). Действительно, а+b=b+a, ибо для натуральных чисел сложение коммутативно; R симметрично, так как из (a,b)R(c,d) следует, что (с, d)R(а,b). В самом деле, если (a,b)R(c,d), то a+b=c+d. Так как для натуральных чисел из выполнимости равенства следует, что c + b=d + a, то (с, d)R{a, b); 3) R транзитивно, так как на (a, b) R (с, d) и (с, d) R (e, f) следует, (a, b)R(e,f). Действительно, так как (a, b)R(c, d), то a+d=b+с, с другой стороны, так как (с, d)R(e, f),то c+f =d+e. Используя свойства натуральных чисел, имеем: a+d+f+c = b+c + d+e и, следовательно, используя монотонность сложения натуральных чисел, имеем: a+f=b+e, откуда получаем: (a, b)R(e, f). Итак, соотношение R — соотношение эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично, транзитивно; обозначим соотношение эквивалентности знаком ~, а про пары (а, b) , (с, d)t находящиеся в соотношении R, будем говорить, что они эквивалентны, и обозначать: (a, b) ~ (с, d). Следовательно, с помощью соотношения множество пар натуральных чисел разбивается на классы эквивалентных пар, причем всякий класс вполне определяется любой его парой. Например, к одному классу эквивалентных пар относятся пары вида: (5,2) (9,6) ~ (83,80) ~ ... . Действительно, (5, 2) ~ (9,6), так как 5+6=2+9 или (9,6) ~ (83,80), ибо 9 + 80 = 6 + 83. К другому классу эквивалентных пар относятся, например, пары вида: (6,10) ~ (15,20) ~ (78,83) ~ .,. . Заметим; что ни одна пара из первого класса не эквивалентна паре другого класса, например (9,6) не ~ (15,20). Действительно, 9+206+15, ибо 2921. В противном случае, учитывая транзитивность соотношения, мы получили бы, что все пары обоих классов являются эквивалентными. . Отметим, что частным случаем эквивалентности пар является их равенство: две пары (а, b) и (c, d) равны тогда и только тогда, когда имеют место равенства: а = с и b = d. Определение 2. Каждый класс эквивалентных пар натуральных чисел назовем целым числом. Так как всякий класс эквивалентных пар определяется любой его парой, то всякая пара (а, b) натуральных чисел а, b определяет целое число, причем эквивалентные пары определяют одно и то же целое число, а не эквивалентные пары — различные целые числа. Условимся обозначать целые числа; ,, ... Определение 3. Суммой целого числа а, определяемого парой (а, о), и целого числа , определяемого парой (с, d), назовем целое число, определяемое парой (а + с, b + d). Пара (а + с, b + d) называется суммой пар (а, b) и (с,d) записывается: (а, b) + (с, d) = (a + c, b + d). Пример. Пусть (3, 4)а и (9, 15), тогда +(3 + 9, 4 + 15) = (12, 19). Определение 4. Произведением целого числа а, определяемого парой (а,b), на целое число, определяемое парой (с, d), называется целое число, определяемое парой (ac+bd, ad+bc). Пара (ас + bd, ad + bc) называется произведением пар (a, b) и (c, d), записывается: (а, b)* (с, d) = (ac+bd, ad + bc). Имеет место теорема 1. Сложение и 'умножение целых чисел всегда выполнимы и однозначны. Таким образом, из данной теоремы следует существование и однозначность суммы и произведения целых чисел, причем сумма (произведение) целых чисел не зависит от выбора пар, представляющих классы эквивалентных пар, с помощью которых задают слагаемые (сомножители). Для операций сложения и умножения в множестве целых чисел выполняются следующие законы: сложение и умножение целых чисел коммутативны и ассоциативны, умножение дистрибутивно относительно сложения. Рассмотрим, далее, вопрос о существовании операции, обратной сложению, т. е. об операции вычитания в множестве, целых чисел. С этой целью установим сначала, что в множестве целых чисел есть нуль (нейтральный элемент) и для каждого целого числа существует ему противоположный (обратный) элемент. жүктеу/скачать 109.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|