Целые числа
жүктеу/скачать 109.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример.
| Теорема 2. В множестве целых чисел содержится целое число, являющееся нулем .
Действительно, роль нуля выполняет целое число (обозначим его 0), определяемое классом эквивалентных пар с одинаковыми элементами, т. е. 0(а, а) ~ (b, b) ~ (с, с) ~ ... .В самом деле, пусть (а, b) и 0 (с, с), тогда + 0(a, b) + (с, с) = (а+с, b+с) ~ (а, b), т. е. a+0=a. Например, число «нуль»—это класс эквивалентных пар вида: (5, 5) ~ (2, 2) ~ (1, 1) ~ ... . Теорема 3. В множестве целых чисел для всякого целого числа a, определяемого парой (а, b), существует число, ему противоположное, обозначаемое —a, такое, что a+(-a)=0. В самом деле, пусть a (а, b). Рассмотрим пару (b, а). Докажем, что -(b,а). Действительно, a +(-a )(а, b) + (b, a)~(a + b, b + а) = (а + b, а + b) 0. Итак, a + (-a) = 0. Следовательно, противоположные друг другу целые числа могут определяться как пары с обратным порядком следования элементов, т. е. пары вида (а, b) и (b, а). Пример. Пусть (4, 3), тогда противоположный ему элемент -(3,4) Определение 5. Разностью целых чисел a и называется целое число , обозначаемое, =-, которое удовлетворяет уcловию +=+(-)=. Теорема 4. Вычитание целых чисел всегда выполнимо и однозначно. Из теоремы 4 следует, что во множестве целых чисел вычитание выполнимо без ограничений. Итак, нами установлено, что множество пар натуральных чисел есть кольцо, так как на нем определены две алгебраические операции (сложение и умножение), которые коммутативны и ассоциативны, умножение дистрибутивно относительно сложения, на множестве имеем нуль и для всякого элемента имеется противоположный. Обозначим это кольцо через М. Следовательно, кольцо М - ассоциативно-коммутативное кольцо. Определение 6. Целое число , определяемое парой (а, b), называется большим целого числа , определяемого парой (с, d), если выполняется неравенство a + d>b+c. Обозначается: > . Пример. Пусть (6,3) и (1,2), тогда >, так как 6+2>3+1. . Из данного определения видно, что соотношение «больше» для целых чисел определяется с помощью соотношения «больше» для натуральных чисел. Имеет место теорема 5. Кольцо М — упорядоченное кольцо. Итак, условие 2 из определения 1 выполняется во множестве пар натуральных чисел, т. е. оно имеет место в кольце М. Для того чтобы мы могли назвать кольцо М кольцом целых чисел, надо убедиться в том, что в кольце М выполняются и свойства 1, 3, 4. Определение 7. Целое число, определяемое парой (а, b), где а> b, называется положительным целым числом и обозначается +. Рассмотрим подмножество М + кольца т, состоящее из положительных целых чисел. Имеет место теорема 6. Множество М+ изоморфно множеству N натуральных чисел относительно операций сложения и умножения* соотношения порядка. Теорема 6 позволяет отождествлять каждое положительное целое число + из М+ с соответствующим ему натуральным числом из N, что дает возможность ввести следующее определение 8. Положительное целое число +, определяемое парой (а, b), где а> b, равно натуральному числу а—b, т.е. имеет место соотношение' а—b=+(а, b). Так как множество M+ совпадает с множеством N, то, следовательно, множество N является подмножеством кольца М. Таким образом, выполняется условие 1 из определения 1. Укажем также на тот факт, что из теоремы 6 и совпадения множеств М+ и N следует выполнимость условия 3 из определения 1 в кольце М. Например, рассмотрим натуральные числа 3 и 2. Ранее по определению натуральных чисел в п. 1.2 главы V было установлено 3+2==5, Пусть теперь натуральные числа 3 и 2 рассматриваются как целые числа, определяемые парами. Пусть, например, 3 рассматривается как разность 7—4, а 2 — как разность 5—3, тогда имеем: З(7, 4) и 2(5, 3). Следовательно, 3 + 2(7, 4) + (5, 3)=(7+6, 4 + 3)=(12, 7). Таким образом, будем иметь: 3 + 2(12, 7), где 12>7, или (12, 7)12—7 =5, т. е. сумма чисел 3 н 2 равна 5. Рассмотрим далее, что будут представлять собой целые числа из М, которые не являются положительными (т.е. не являются натуральными). Ответить на этот вопрос помогает теорема 7: всякое целое число есть разность натуральных чисел. жүктеу/скачать 109.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|