Целые числа
жүктеу/скачать 109.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 4. Интерпретация системы целых чисел.
| 3. Свойства целых чисел. Рассмотрим сначала некоторые свойства сложения и умножения на множестве целых чисел.
Теорема 1. Имеют место следующие свойства: 1) если >, или =, или <, то соответственно +>+, или +=+ или +<+. где - любое Целое число; Если - положительное целое число и >, или =, или <, то соответственно > или = или <. если —отрицательное целое число и >, или =, или <, то соответственно < или = или >. Имеет место и теорема, обратная теореме 1. Например, произведение нуля на любое целое число равно нулю, выполняются правила знаков. Рассмотрим еще некоторые свойства целых чисел. Теорема 2. Произведение целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. Из теоремы 2 следует, что кольцо целых чисел не имеет делителей нуля, т. е. кольцо целых чисел есть область целостности ". Перейдем теперь к рассмотрению сравнения целых чисел по величине. Имеет место теорема 3. Кольцо Z целых чисел является расположенным, т.е. для целых чисел выполняются следующие свойства: 1) для любого элемента Z имеет место одно и только одно из трех соотношений: либо > 0, либо < 0, либо = 0; 2) если Z и Z, >0 и >0, то a+b>0 и a-b>0. Отметим, что целые числа обладают всеми свойствами элементов расположенного кольца, а именно имеет место теорема 4. Целое число a больше целого числа b тогда и только тогда, когда разность a-b положительна. Теорема 5. В кольце Z целых чисел выполняется аксиома Apxимеда, т. е. для любых целых чисел a и b, где b> 0, всегда найдется такое натуральное n, что выполняется неравенство nb>a. Из теоремы 5 следует, что кольцо архимедовски расположено. Из теоремы 5 будет следовать неограниченность множества всех целых чисел. Рассмотрим теперь вопрос о дискретности множества целых чисел. Имеет место теорема 6. Всякое целое число a имеет себе соседнее a+1, т.е. не существует никакого целого числа b, расположенного между ними, неравенство a< b < a + 1 не имеет места. Из последней теоремы вытекает, что множество целых чисел дискретно. Как было показано выше, в множестве целых чисел без ограничений выполняются операции сложения, умножения и вычитания (обратная сложению). Возникает вопрос: выполнима ли во множестве целых чисел операция, обратная умножению, т. е. всегда ли выполнимо деление целых чисел? Ответ на этот вопрос дает теорема. В кольце Z целых чисел деление не всегда выполнимо, т. е. кольцо Z не является полем. Действительно, в кольце Z целых чисел уравнение bx=a, где aZ, bÎZ, b0, не всегда имеет решение. Например, уравнение 4x=9 не имеет решения в множестве целых чисел. 4. Интерпретация системы целых чисел. Множество целых чисел состоит из положительных и отрицательных целых чисел и нуля, т. е. Z = Z+ U Z- U 0. Если целые числа, определяемые как пари натуральных чисел (а, b), обозначить символом а—b, то множество целых чисел можно записать в виде: Z = {..., —3, —2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Таким образом, мы получим интерпретацию целых чисел как точек числовой оси, причем числа n и —n располагаются на равных расстояниях на числовой оси по обе стороны от некоторой начальной точки 0. жүктеу/скачать 109.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|