Математика Постановка задачи

“Young Scientist” .  # 52 (342) .  December 2020
3
Mathematics
Рис.
 2
Пусть 
2
D R
⊂
— конечная область, ограниченная отрезком 
: 0
1
AB
x
< <
оси 
0
y =
, при 
0
y >
прямыми 
:
AC y x
=
и 
:
1
BC y
x
= −
(0,0),
A
(1,0),
B
1 1
( , )
2 2
C
:
0,
AB y =
0
1,
x
≤ ≤
:
0,
AC y =
:
1
BC y
x
= −
В области 
D
рассмотрим линейные гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами 
0,
xx
yy
x
y
u
u
au
bu
cu
−
+
+
+
=
(1) 
где 
, ,
.
a b c const
=
Задача Коши: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( ,0)
( ),
AB
y
u
u x
x
=
= ν
Первая задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( , )
( ),
AC
u
u x x
x
=
= ϕ
Вторая задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( , )
( ),
AC
u
u x x
x
=
= ϕ
Первая сопряженная задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
Вторая сопряженная задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
В качестве сопряженной второй задачи Дарбу для уравнения (1) рассмотрим следующую задачу 
Задача 2*. Найти решение уравнения (1) в области 
D
из класса 
2
( , )
( )
( ),
u x y
C D
C D
∈
∩
удовлетворяющее краевым 
условиям 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
(2) 
где
1
( )
(0
1)
(0
1),
x
C
x
C
x
ν
∈
≤ ≤ ∩
< <
1
2
1
1
( )
(
1)
(
1).
2
2
x
C
x
C
x
ϕ
∈
≤ ≤ ∩
< <
Имеет место. 
Теорема. Задача 2* имеет единственное решение. 
Доказательство. Введем новую неизвестную функцию по формуле 
( , ) exp(
) ( , ),
u x y
x
y
x y
=
α + β υ
(3) 
где 
,
α β
— пока неизвестные параметры. 
Подставляя функцию (3) в уравнение (1) и краевое условие будет иметь 
2
0
xx
yy
u
u
−
+ λ υ =
.
(4) 
2
2
2
,
,4
4 ,
2
2
a
b
b
a
c
α = − β =
λ =
−
+
при этом из (2) получим 
( ,0) (exp
) ( ,0)
( ),
y
y
u x
x
x
x
=
α υ
= ν
0
1,
x
≤ ≤
( ,1
) (exp(
(1
))) ( ,1
)
( ),
u x
x
x
x
x
x
x
−
=
α + β −
υ
−
= ϕ
1
1
2
x
≤ ≤
или 
( ,0)
( ),
y
x
x
υ
= υ
( ,1
)
( )
x
x
x
υ
−
= ϕ
(5) 
где 
( )
( )exp(
),
x
x
x
υ
= υ
−α
( )
( )exp(
(
1)).
x
x
x
x
ϕ
= ϕ
−α + β −
Таким образом, вместо задачи (1),(2) пришли к задаче (4),(5) в области 
.
D
В характеристических координатах 
,
x y
ξ = +
,
x y
η = −
задача (4),(5) записывается в следующем виде 
:
0,0
1
,0
1,
AB y
x
=
≤ ≤ ⇒ ξ = η ≤ ξ ≤
1
:
,0
0,0
1,
2
AC y x
x
=
≤ ≤ ⇒ η =
≤ ξ ≤
1
:
1
,
1
1,0
1.
2
BC y
x
x
= −
≤ ≤ ⇒ ξ =
≤ η ≤
Область 
D
переходит в область 
∆
. 
Задача 2’. Найти в области ∆ решение уравнения 
0
c
ξη
ω + ω =
(6) 
из класса 
2
( )
( ),
C
C
∆ ∩
∆
удовлетворяющее краевым условиям 
(
)
( ),
ξ=η
∂ω ∂ω
−
= ν ξ
∂ξ ∂η
1
(1, )
( ),
ω η = ϕ η 0
1,
≤ η ≤ 0
1,
≤ ξ ≤
(7) 
Пусть 
2
D R
⊂
— конечная область, ограниченная отрезком 
: 0
1
AB
x
< <
оси 
0
y =
, при 
0
y >
прямыми 
:
AC y x
=
и 
:
1
BC y
x
= −
(0,0),
A
(1,0),
B
1 1
( , )
2 2
C
:
0,
AB y =
0
1,
x
≤ ≤
:
0,
AC y =
:
1
BC y
x
= −
В области 
D
рассмотрим линейные гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами 
0,
xx
yy
x
y
u
u
au
bu
cu
−
+
+
+
=
(1) 
где 
, ,
.
a b c const
=
Задача Коши: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( ,0)
( ),
AB
y
u
u x
x
=
= ν
Первая задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( , )
( ),
AC
u
u x x
x
=
= ϕ
Вторая задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( , )
( ),
AC
u
u x x
x
=
= ϕ
Первая сопряженная задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
AB
u
u x
x
=
= τ
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
Вторая сопряженная задача Дарбу: 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
В качестве сопряженной второй задачи Дарбу для уравнения (1) рассмотрим следующую задачу 
Задача 2*. Найти решение уравнения (1) в области 
D
из класса 
2
( , )
( )
( ),
u x y
C D
C D
∈
∩
удовлетворяющее краевым 
условиям 
( ,0)
( ),
y AB
y
u
u x
x
=
= ν
( ,1
)
( ),
BC
u
u x
x
x
=
−
= ϕ
(2) 
где
1
( )
(0
1)
(0
1),
x
C
x
C
x
ν
∈
≤ ≤ ∩
< <
1
2
1
1
( )
(
1)
(
1).
2
2
x
C
x
C
x
ϕ
∈
≤ ≤ ∩
< <
Имеет место. 

жүктеу/скачать 7.68 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: