Ч а с т ь I главный редактор
жүктеу/скачать 7.68 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Предел функции
- 2. Раскрытие неопределенностей
| 5
Mathematics где 2 4 , c = λ ( , ) ( , ), 2 2 ξ + η ξ − η ω ξ η = υ 1 1 ( ) ( ). 2 + η ϕ η = ϕ Так как в (6) ( , ) ( , ) 0, a b ξ η = ξ η ≡ 2 ( , ) 4 c const ξ η = λ = , то из решения задачи Коши ([3–5]) для уравнения (6) получим следующую формулу 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ; , ) ( ) ( , ; , ) [ ( ) ( , ; , ) ( ) ( , ; , ) ] , 2 2 2 R R R R d N =η ξ ξ η ∂ ω ξ η = τ η η η ξ η + τ ξ ξ ξ ξ η + ν ξ ξ ξ ξ η − τ ξ ξ η ξ η ξ ∂ ∫ (8) где 1 1 ( , ; , ) R ξ η ξ η — функция Римана уравнения (6). Известно ([6]), что эта функция представимо в явном виде 2 2 1 1 0 1 1 ( , ; , ) ( ( ) ( ) ), 2 R J λ ξ η ξ η = ξ − ξ − η − η где 0 ( ) J z -функция Бесселя первого рода нулевого порядка [7] 1 ( ) ( ) , 2 N ξ=η ξ=η ∂ω ∂ω ∂ω ν ξ = = − ∂ ∂ξ ∂η ( , ) ( ), ω ξ ξ = τ ξ 1 (1) (1,1) (1) (1). τ = ω = ϕ = ϕ Из (8) при 1 ξ = будем иметь 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) (1, ) ( ) ( , ;1, ) (1) (1,1;1, ) [ ( ) ( , ;1, ) ( ) ( , ;1, ) ] 2 2 2 2 n n R R R R d =η ξ ξ η τ ξ ∂ ∂ ϕ η = ω = τ η η η + τ η + ν ξ ξ ξ η − − ξ η η ξ ∂ξ ∂η ∫ (9) Проведя некоторые вычисления относительно 1 1 ( , ; , ) R ξ η ξ η из (9), а также из ' 0 0 1 (0) 1, ( ) ( ) J J z J z = = − ([7]) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ( ) τ ξ 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) , g k d η η = τ η + τ ξ η ξ ξ ∫ 0 1, ≤ η ≤ (10) Которое имеет единственное решение ([8]) и она выписывается в явном виде. Здесь 1 1 1 1 0 1 1 0 0 2 ( ) 1 ( ) (1) ( ) ( (1 )(1 2 )) , 2 ( (1 )) 2 ( (1 )) 2 2 g J d J J η ϕ η λ η = − ϕ − ν ξ − η + η − ξ ξ λ λ − η − η ∫ 1 1 ' 1 0 1 1 1 0 0 (1 2 ) (1 2 ) ( , ) ( (1 )(1 2 )) ( (1 )(1 2 )) 2 2 ( (1 )) ( (1 )) 2 2 k J J J J λ + η − ξ λ + η − ξ λ λ η ξ = − η + η − ξ = − η + η − ξ λ λ − η − η Таким образом задача (6),(7)(т. е. задача 2’) имеет единственное решение вида (8), где ( ) τ ξ определяется из интегрального уравнения (10). Отсюда следует и задача 2* имеет решение вида ( ) ( , ) (exp( )) ( , ) (exp( )) ( , ) 2 2 2 2 u x y x y x y ξ + η ξ − η ξ + η ξ − η = α + β υ = α + β ω и можно записать ее в явном виде, где ( , ) ω ξ η находится из (8). Теперь покажем, что решение задачи 2* (т. е. задача 2’) единственно. Пусть 1 2 ( , ), ( , ) u x y u x y — два решения задачи 2* с данными (2). Тогда функция 1 2 ( , ) ( , ) ( , ), u x y u x y u x y = − удовлетворяет уравнению (1) с однородными данными ( , ) 0, y u x y = ( ,1 ) 0, u x x − = 0 1 x ≤ ≤ (11) Тогда из задачи (1),(11) приходим к задаче для уравнения (6) с условием ( ) 0, ξ=η ∂ω ∂ω − = ∂ξ ∂η (1, ) 0, ω η = 0 1 ≤ η ≤ (12) Далее из решения задачи Коши (8), с учетом (12) будем иметь 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( , ) , k d η = τ η + τ ξ η ξ ξ ∫ 0 1 ≤ η ≤ которое имеет тривиальное решение ([8]) т. е. ( ) 0. τ ξ ≡ Значит, из (8) получим ( , ) 0 ω ξ η ≡ т. е. ( , ) 0. u x y ≡ Следовательно, 1 2 ( , ) ( , ). u x y u x y = Единственностьзадачи 2* показана. Теорема доказана. для продолжения образования. Но как показывает опыт преподавания учителей в школе, вычисление пределов вызы- вает большие затруднения у школьников по сравнению с другими темами. В разделе «Предел функции и непрерывность» заметен высокий уровень научности и строгости понятий предела и непрерывности функции. Рас- крытие неопределенностей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые теряют смысл в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента, то есть переходят в выражения 0 0 0 ; ; ;0· ;0 ; ;1 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ ∞ . Вопрос решения пределов является достаточно обширным и является объектом интереса современных направле- ний математики. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить данный предел. Объектом нашего исследования правила раскрытия неопределенностей и правила Лопиталя. Можно привести огромный список литера- туры, в которой изучаются пределы, способы их вычислений. Вместе с тем, при изучении нами различных публикаций по данной тематике выявлена относительная недостаточность данных в курсе школьной математики. В основном ма- териалы представлены для изучения в высших учебных заведениях. В курсе же 10 класса отводится всего лишь 10 ча- сов на раздел. Поэтому предлагаю методические рекомендации по методике раскрытия неопределенностей 0 0 0 ; ; ;0· ;0 ; ;1 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ ∞ при вычислении пределов функции. 1. Предел функции Вспомним определения: 1. Число L называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого числа 0, ε > найдется число N такое, что ( ) f x L − < ε при 0 x a < − < δ . Символически записывают так: ( ) lim x a f x L → = 2. Число L называется пределом функции f(x) при x → +∞ , если для любого сколь угодно малого числа 0, ε > найдет- ся такое число 0 δ > , что для любого x>N выполняется неравенство ( ) . f x L − < ε Пишут: ( ) lim x f x L →+∞ = Отыскание предела функции по определению — это довольно трудоемкий процесс. Поэтому на практике удобнее пользоваться следующими теоремами о пределах. Теорема. Если функции ( ) ( ) f x и x ϕ имеют пределы при x a → ( ) lim , x a f x A → = ( ) lim x a x B → ϕ = , то существует 1. предел суммы этих функций, причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x a x a x a f x х A B f x x → → → + ϕ = + = + ϕ 2. предел произведения этих функций, причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim · · lim ·lim x a x a x a f x х A B f x x → → → ϕ = = ϕ 3. предел их отношения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 lim x a x a x a f x f x A B х B x → → → = = ≠ ϕ ϕ 4. постоянный множитель можно выносить за знак предела: ( ) ( ) ( ) lim · ·lim x a x a C f x C x → → = ϕ Некоторые методы и приемы вычисления пределов. Пример 1. Найти предел: ( ) 2 2 2 lim 5 3 4 5·2 3·2 4 18 x x x → − + = − + = Пример 2. Найти предел: 2 2 2 2 3 5 2 3 5·3 2 4 lim 4 3 4 13 x x x x → − + − + = = − + + Пример 3. Найти предел: 2 5 5 0 lim 0 4 1 44 x x x x → − = = + − Пример 4. Найти предел: 2 2 4 2 18 lim 5 4 0 x x x x →− + = = ∞ + + 2. Раскрытие неопределенностей Нужно иметь в виду, что знак ∞ — это только символ для обозначения бесконечно большой величины. Он не об- ладает свойствами числа и в арифметических действиях не участвует. В следствие этого возникают различного рода неопределённости. Основные виды неопределенностей: 0 0 0 , , ,0· , , 0 ,1 . 0 ∞ ∞ ∞ ± ∞ ∞ ∞ ∞ Вычисление пределов в этих случаях называют «раскрытием неопределенности». Вышеуказанные теоремы для бес- конечных пределов неверны. Для вычисления предела — «раскрытие неопределенностей», предварительно преобра- зовывают выражения. Пример 1. Найти предел: 2 2 3 5 2 lim 4 8 x x x x х →∞ − + + + Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида ∞ ∞ . Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби переменную в старшей степени: 2 2 2 2 2 2 5 2 3 3 5 2 3 lim lim 3 4 8 4 8 1 1 x x x x x x x x х x x x →∞ →∞ − + − + ∞ = = = = + + ∞ + + Пример 2. Найти предел: 0 2 1 1 lim x x x → + − Решение. Числитель и знаменатель дроби при х → 0 стремятся к нулю, следовательно, имеем неопределенность ви- да 0 0 . Для того, чтобы вычислить предел, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на 2 1 1 x + + . Тогда ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 lim lim lim lim 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x → → → → + − + + + − + − = = = = + + + + + + Пример 3. Найти предел: 3 1 1 lim 1 x x x → − − Решение. Неопределенность 0 0 здесь можно раскрыть, сделав замену переменной 6 x t = , тогда 3 2 3 , , 1, 1 x t x t x z = = → → ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim lim 1 1 1 1 2 1 x z z z t t t t t x t t t t t x → → → → − + + + + − − = = = = − − + + − Пример 4. Найти предел: 2 2 3 5 6 lim 3 10 3 x x x x x → − + − + Решение. При вычислении данного предела применять теорему о пределе частного нельзя, так и числитель, и знаменатель равны 0. Воспользуемся разложением многочленов числителя и знаменателя на множители по формуле ( ) ( ) 2 1 2 · , aх bx c a x x x x + + = − − где 1 2 , x x — корни квадратного трехчлена 2 aх bx c + + . Тогда ( )( ) ( )( ) 2 2 3 3 3 2 3 5 6 2 1 lim lim lim 3 10 3 3 3 1 3 1 8 x x x x x x x x x x x x x → → → − − − + − = = = − + − − − жүктеу/скачать 7.68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|