Ч а с т ь I главный редактор

«Молодой учёный» . № 52 (342)  . Декабрь 2020 г.
6
Математика
Нужно иметь в виду, что знак 
∞
— это только символ для обозначения бесконечно большой величины. Он не об-
ладает свойствами числа и в арифметических действиях не участвует. В следствие этого возникают различного рода 
неопределённости. Основные виды неопределенностей: 
0
0
0
, , ,0· ,
, 0 ,1 .
0
∞
∞
∞ ± ∞
∞ ∞
∞
Вычисление пределов в этих случаях называют «раскрытием неопределенности». Вышеуказанные теоремы для бес-
конечных пределов неверны. Для вычисления предела — «раскрытие неопределенностей», предварительно преобра-
зовывают выражения. 
Пример 1. Найти предел: 
2
2
3
5
2
lim
4
8
x
x
x
x
х
→∞
−
+
+
+
Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела 
не имеют. Имеем неопределенность вида 
∞
∞
. Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе 
и знаменателе дроби переменную в старшей степени: 
2
2
2
2
2
2
5
2
3
3
5
2
3
lim
lim
3
4
8
4
8
1
1
x
x
x
x
x
x x
x
х
x
x x
→∞
→∞


− +


−
+
∞
 


=
=
= =
 
+
+
∞


 
+ +




Пример 2. Найти предел: 
0
2
1 1
lim
x
x
x
→
+ −
Решение. Числитель и знаменатель дроби при х
→
0 стремятся к нулю, следовательно, имеем неопределенность ви-
да 
0
0
. Для того, чтобы вычислить предел, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив для этого числитель 
и знаменатель дроби на 
2
1 1
x + +
. Тогда 
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
lim
lim
lim
lim
1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
+ −
+ +
+ −
+ −
=
=
=
=
+ +
+ +
+ +
Пример 3. Найти предел: 
3
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
Решение. Неопределенность 
0
0
здесь можно раскрыть, сделав замену переменной 
6
x t
=
, тогда 
3
2
3
,
,
1,
1
x t
x t x
z
=
=
→
→
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
lim
lim
lim
lim
1
1
1
1
2
1
x
z
z
z
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
x
→
→
→
→
−
+ +
+ +
−
−
=
=
=
=
−
−
+
+
−
Пример 4. Найти предел: 
2
2
3
5
6
lim
3
10
3
x
x
x
x
x
→
−
+
−
+
Решение. При вычислении данного предела применять теорему о пределе частного нельзя, так и числитель, 
и знаменатель равны 0. Воспользуемся разложением многочленов числителя и знаменателя на множители по формуле 
(
) (
)
2
1
2
·
,
aх
bx c a x x
x x
+
+ =
−
−
где 
1
2
,
x x
 — корни квадратного трехчлена 
2
aх
bx c
+
+
. Тогда 
(
)(
)
(
)(
)
2
2
3
3
3
2
3
5
6
2
1
lim
lim
lim
3
10
3
3 3
1
3
1 8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
−
+
−
=
=
=
−
+
−
−
−
3. Замечательные пределы 
Пределы функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечатель-
ному пределу 
0
lim
1
x
sinx
x
→
=
Также используют несколько его следствий: 
0
lim
1
x
x
sinx
→
=
, 
0
lim
1
x
tgx
x
→
=
, 
0
lim
1
x
x
tgx
→
=
, 
0
arcsin
lim
1
x
x
x
→
=
, 
0
arctg
lim
1
x
x
x
→
=
Пример 5. Найти предел: 
0
2
2
lim
5
x
sin x
x
→
Решение. Для избавления неопределенности 
0
0
воспользуемся первым замечательным пределом 
0
0
0
2
2
2·2
2
4
2
4
lim
lim
lim
·
5
2·5
5 2
5
x
x
x
sin x
sin x
sin x
x
x
x
→
→
→


=
=
=




Пример 6. Найти предел: 
0
3
lim
5
x
arcsin x
tg x
→
Решение. Произведя следующие преобразования, имеем 
0
0
0
3
21 ·
3
3
3
7
3
3
lim
lim
lim
·
·
·1·1
7
21 · 7
7
3
7
7
7
x
x
x
arcsin x
x arcsin x
arcsin x
x
tg x
x tg x
x
tg x
→
→
→


=
=
=
=




Пример 7. Найти предел: 
2
0
1
lim
3
x
cosx
x
→
−
Решение. Так как 
2
1
2
2
x
cosx
sin
−
=
, то 
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
2
lim
lim
lim
lim
·1
3
3
6
6
6
4·3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
sin
sin
sin
cosx
x
x
x
x
→
→
→
→




−
=
=
=
=
=








 
Пример 8. Найти предел: 
2
2
1
4
lim
2
4
x
x
x
x
→
−


−


−
−


Решение. В этом примере получаем неопределенность вида 
∞ − ∞
. Приведем выражение под знаком предела к об-
щему знаменателю. 
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
4
6
3 5
lim
lim
lim
lim
2
4
4
2
2
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
+
−


−
+ −
+


−
=
=
=
=




−
−
−
−
+
+




Пример 9. Найти предел: 
(
)
1
lim 1
2
x
x
x tg
→
π
−
Решение. Неопределенность вида 
0·∞
сведем к неопределенности 
0
0
, тогда 
(
)
( )
1
1
1
0
lim 1
0·
lim
2
0
2
x
x
x
x
x tg
x
ctg
→
→
π
−
 
−
=
∞ =
=  
π
 
Сделаем замену переменных 
1
z
x
= −
, тогда 
(
)
1
0,
2
2
2
z
x
z
z
ctg
ctg
tg
π −
π
π
→
=
=
и 
1
0
0
0
2
·
1
2
2
2
2
2
lim
lim
lim
·lim
·1
2
2
2
2
x
z
z
z
z
z
x
z
x
z
z
z
ctg
tg
tg
tg
→
→
→
→
π
π
−
π
=
=
=
=
=
π
π
π
π
π
π
π

“Young Scientist” .  # 52 (342) .  December 2020
7
Mathematics
Заключение
Таким образом, в процессе раскрытия неопределенностей можно выделить следующие основные этапы:
1) подготовка выражения под знаком предела к устранению неопределенности путем применения преобразований;
2) переход (в случае необходимости) к неопределенности 
0
0
или 
∞
∞
— переход от одной функции к другой.
Пример 5. Найти предел: 
0
2
2
lim
5
x
sin x
x
→
Решение. Для избавления неопределенности 
0
0
воспользуемся первым замечательным пределом 
0
0
0
2
2
2·2
2
4
2
4
lim
lim
lim
·
5
2·5
5 2
5
x
x
x
sin x
sin x
sin x
x
x
x
→
→
→


=
=
=




Пример 6. Найти предел: 
0
3
lim
5
x
arcsin x
tg x
→
Решение. Произведя следующие преобразования, имеем 
0
0
0
3
21 ·
3
3
3
7
3
3
lim
lim
lim
·
·
·1·1
7
21 · 7
7
3
7
7
7
x
x
x
arcsin x
x arcsin x
arcsin x
x
tg x
x tg x
x
tg x
→
→
→


=
=
=
=




Пример 7. Найти предел: 
2
0
1
lim
3
x
cosx
x
→
−
Решение. Так как 
2
1
2
2
x
cosx
sin
−
=
, то 
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
2
lim
lim
lim
lim
·1
3
3
6
6
6
4·3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
sin
sin
sin
cosx
x
x
x
x
→
→
→
→




−
=
=
=
=
=








 
Пример 8. Найти предел: 
2
2
1
4
lim
2
4
x
x
x
x
→
−


−


−
−


Решение. В этом примере получаем неопределенность вида 
∞ − ∞
. Приведем выражение под знаком предела к об-
щему знаменателю. 
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
4
6
3 5
lim
lim
lim
lim
2
4
4
2
2
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
+
−


−
+ −
+


−
=
=
=
=




−
−
−
−
+
+




Пример 9. Найти предел: 
(
)
1
lim 1
2
x
x
x tg
→
π
−
Решение. Неопределенность вида 
0·∞
сведем к неопределенности 
0
0
, тогда 
(
)
( )
1
1
1
0
lim 1
0·
lim
2
0
2
x
x
x
x
x tg
x
ctg
→
→
π
−
 
−
=
∞ =
=  
π
 
Сделаем замену переменных 
1
z
x
= −
, тогда 
(
)
1
0,
2
2
2
z
x
z
z
ctg
ctg
tg
π −
π
π
→
=
=
и 
1
0
0
0
2
·
1
2
2
2
2
2
lim
lim
lim
·lim
·1
2
2
2
2
x
z
z
z
z
z
x
z
x
z
z
z
ctg
tg
tg
tg
→
→
→
→
π
π
−
π
=
=
=
=
=
π
π
π
π
π
π
π
Пример 5. Найти предел: 
0
2
2
lim
5
x
sin x
x
→
Решение. Для избавления неопределенности 
0
0
воспользуемся первым замечательным пределом 
0
0
0
2
2
2·2
2
4
2
4
lim
lim
lim
·
5
2·5
5 2
5
x
x
x
sin x
sin x
sin x
x
x
x
→
→
→


=
=
=




Пример 6. Найти предел: 
0
3
lim
5
x
arcsin x
tg x
→
Решение. Произведя следующие преобразования, имеем 
0
0
0
3
21 ·
3
3
3
7
3
3
lim
lim
lim
·
·
·1·1
7
21 · 7
7
3
7
7
7
x
x
x
arcsin x
x arcsin x
arcsin x
x
tg x
x tg x
x
tg x
→
→
→


=
=
=
=




Пример 7. Найти предел: 
2
0
1
lim
3
x
cosx
x
→
−
Решение. Так как 
2
1
2
2
x
cosx
sin
−
=
, то 
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
2
lim
lim
lim
lim
·1
3
3
6
6
6
4·3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
sin
sin
sin
cosx
x
x
x
x
→
→
→
→




−
=
=
=
=
=








 
Пример 8. Найти предел: 
2
2
1
4
lim
2
4
x
x
x
x
→
−


−


−
−


Решение. В этом примере получаем неопределенность вида 
∞ − ∞
. Приведем выражение под знаком предела к об-
щему знаменателю. 
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
4
6
3 5
lim
lim
lim
lim
2
4
4
2
2
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
+
−


−
+ −
+


−
=
=
=
=




−
−
−
−
+
+




Пример 9. Найти предел: 
(
)
1
lim 1
2
x
x
x tg
→
π
−
Решение. Неопределенность вида 
0·∞
сведем к неопределенности 
0
0
, тогда 
(
)
( )
1
1
1
0
lim 1
0·
lim
2
0
2
x
x
x
x
x tg
x
ctg
→
→
π
−
 
−
=
∞ =
=  
π
 
Сделаем замену переменных 
1
z
x
= −
, тогда 
(
)
1
0,
2
2
2
z
x
z
z
ctg
ctg
tg
π −
π
π
→
=
=
и 
1
0
0
0
2
·
1
2
2
2
2
2
lim
lim
lim
·lim
·1
2
2
2
2
x
z
z
z
z
z
x
z
x
z
z
z
ctg
tg
tg
tg
→
→
→
→
π
π
−
π
=
=
=
=
=
π
π
π
π
π
π
π

«Молодой учёный» . № 52 (342)  . Декабрь 2020 г.

жүктеу/скачать 7.68 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: