Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода
жүктеу/скачать 28.82 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода.
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода. А.Ф. Латыпов Институт теоретической и прикладной механики СО РАН им. С.А. Христиановича, ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск, Россия E-mail: latypov@itam.nsc.ru Решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода строятся в классе кусочно-постоянных функций. В основе методов лежит условие равенства нулю средних значений «невязок» уравнений на каждом интервале из множества разбиений области построения решения. Число интервалов N и их распределение при заданном числе определяются из условия минимума среднеквадратичной по всей области «невязки». Решения строятся для последовательности значений N, квазиоптимальные распределения определяются численно методом покоординатного спуска. Приводятся примеры решения двух модельных задач и задачи восстановления аэродинамических нагрузок при испытаниях моделей в аэродинамических трубах кратковременного действия (ПМТФ,2006, №5).
 , (1.1)
будем искать в классе кусочно-постоянных функций, ядро  .
Тогда уравнение (1.1) запишется в следующем виде Разобьем отрезок  .
Обозначая  ,
матрицу  . (1.3)
Решение уравнения (1.3)  (1.4)
зависит от числа разбиений Введем функционал
Задача
 (1.5)
дает искомое решение. Задача (1.5) решается приближенно, т.к. получение точного решения требует большого объема вычислений.
 , (2.1)
будем искать в классе кусочно-постоянных функций, ядро  .
Пусть на отрезках  . (2.2)
Используя условие  . (2.3)
Решение зависит от количества интервалов Функционал среднеквадратичной «невязки» – многоэкстремальная функция. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе метода решения задачи (1.5). В данной работе используется алгоритм покоординатного сканирования функционала в заданном числе точек с выбором лучшей точки для последовательности значений  . В общем случае алгоритм не позволяет получить глобальный минимум функционала, поскольку для этого требуется громадный объем вычислений. Однако по сравнению с алгоритмами поиска локального экстремума он дает существенно меньшие значения функционала.жүктеу/скачать 28.82 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода вида
и 
– известные интегрируемые функции. Разобьем отрезок 
на 
– 
. 
-ом интервале 
, и обозначим
. (1.2)
также на 
– точки разбиения, номера интервалов, 
. Примем, что на каждом 
-ом интервале уравнения (1.2) удовлетворяются в «среднем», т.е.
и матрицы-столбцы 
, получим из (1.2) уравнение
и 
. 
.
. Пусть на 
, и обозначим
решения 
определены, 
. Тогда функция «невязки» 
для 
, получим