Серпімді денедегі кернеу. Жалпы жағдай

Әр түрлі берілген нүктеден өтетін кернеулердің өзара байланысын көрсету үшін, осы нүктенің маңайындағы денеден кесіп алынған шексіз кіші тетраэдрдың тепе-теңдігі қарастырылады. Дененің қарастырылып отырған нүктесінде тік бұрышты координаталар жүйесінің басы орналасқан делік (16-сурет), оларды 1,2,3 деп және осы осьтердің векторларының проекцияларын сәйкес цифрлық индекстермен белгілейміз. Нормаль  бірлік векторымен белгіленген аудан, О нүктесінің маңынан өтіп, координаталық жазықтармен бірге АВСО тетраэдрін құрайды.

16-сурет

Бұл тетраэдрдың қырларына дененің қалған бөліктерінен күштену әсер етеді. dS тең АВС қырының ауданы 1- оське нормаль қыр ауданы dS₁ – мен мынадай теңдікпен байданысқандығын ескертеміз.: dS₁=₁dS, мұндағы ν₁- ν мен 1-ось арасындағы бұрыш косинусы. Осыған сәйкес, dS₂= ν₁dS және dS₃= ν₁dS; мұндағы dS₁, dS₂ және dS₃ 1,2 және 3 осьтерге сәйкес тетраэдр қырларының ауандары. dS аудандағы күштенулерді _ dS арқылы белгілейміз. _ - осы аудандағы кернеу вектор.

17-сурет 18-сурет

Әдетте созылатын нормаль кернеулер оң, ал сығатындары-теріс болып есептелінеді. Координаталық жазықтықтардағы аудандардың оң жағы деп ось үшін бағытталған жағын айтады, бұл осьтің бірлік векторы терістен оңға бағытталған. dS ауданның оң жағы тетраэдрдің сыртында жатады. 17- сурет). Тетраэдр бетіне әсер ететін күштердің тепе-теңдігі мынадай жағдайда орын алады.
_ dS - ₁dS₁ - ₂ dS₂ - ₃ dS₃ = 0 22
бұл жерде кернеулердің таңбалары ескеріледі.

Көрнекілік үшін 18-суретте барлық күштенулер 1,2 жазықтықтарға паралель болатын жазықтық жағдайында күштену векторларын көрсетеміз;бұл жағдайда тетраэдрдің орнына призманы алуға болады, ал векторлардың барлығы жазықтықта жатады. 22 теңдеу бұл жағдайда мынадай түрге енеді.

_ dS - ₁ dS₁ - ₂ dS₂ = 0
Тетраэдрдің іші үшінші ретті, ал сырты екінші ретті шексіз кіші шама болғандықтан, оның ішіндеі бөлшектерге түсірілетін заттың тығыздығына пропорционал күштерді ескермеуге болады.

Егер (22) теңдікті dS –ке бөлетін болсақ, ол мынадай түрге кіреді.

а_ = ₁ а₁ + ₂ а₂ + ₃ а₃ = а

(23)формула екінші рангтың тензорын анықтау үшін қолданылады: _1, _2, ₃ үш вектор _ -векторын-кернеуді анықтайды.Координата осьтеріне нормаль үш аудандағы үш кернеу вектор белгі болса,онда нормальді аудандағы кез келген кернеуді анықтауға болады.Үш вектор тоғыз санның-осы векторлардың координата осьтеріндегі проекцияларының жиынтығын береді._1, _2, ₃ векторларын компоненттерде жазамыз:

₁ = ₁₁е₁ + ₂₁е₂ + ₃₁е₃;

₂ = ₁₂е₁ + ₂₂е₂ + ₃₂е₃; (24)

₃ = ₁₃е₁ + ₂₃е₂ + ₃₃е₃;

Индекстердің ретіне назар аударыңыз:біріншісі-ось номері,екіншісі-ауданның номері е₁, е₂, е₃ - 1,2,3 координата осьтерінің сәйкес бірлік векторлары.

Бірдей индексті координаталар: _11, _22, ₃₃ - кернеу ауданына түсірілгеннормальдар,әр түрлі индекстілер; _12, _31,... - жанама кернеулер.

(24)-тегі _1, _2, ₃ векторларының мәндерін (23) теңдеуге қойып көреміз,содан соң оны біртіндеп е_1, е₂, е₃-ке көбейтіп шығамыз,осьтердің ортаганальдығын ескере отырып (егер і=k болса, е_і е_k=1,және іk болса, е_і е_k= 0).Барлығын орнына қойып болған соң келесі теңдеуді аламыз:

_1 = ₁₁ ₁ + ₁₂ ₂ + ₁₃₃;

_2 = ₂₁ ₁ + ₂₂ ₂ + ₂₃₃; (25)

_3 = ₃₁ ₁ + ₃₂ ₂ + ₃₃ ₃;
Бұл теңдіктер жүйесін Г тензордың көмегімен былайша жазуға болады.

_=Г (26)

Г= ₂₁ ₂₂ ₂₃ (27)

₃₁ ₃₂ ₃₃

координата осіндегі вектор проекциялары _1, _2, ₃ оның компоненттері болып табылады. Байқаған болсаңыз. (23), (25) және (27) формулалары бір ұғымды өрнектейді.

(25) және (26) тегі _ік компонентерінің жазылуына назар аударыңыз. Координаттар жүйесін түрлендіру кезінде _ік тензорының компоненталары х_іх_к сәйкес координата нүктелерінің көбейтіндісі түрінде түрленетіндігін көрсетеді. Бұл _ік сандарының жиынтығы тензорды беретіндігін білдіреді.

18-сурет

(22) шарт өте қажет, бірақ АВСО тетраэдрдің тепе-теңдігі үшін жеткіліксіз. Тетраэдрдің жазықтығына кез келген оське қатысты әсер ететін барлық күштердің моменттерін талап ету керек. Оңайлату үшін dS ауданының ауырлығының центрінен өтетін және үшінші координаталық оське параллель оське әсер ететін күштердің моменттерінің нольге теңдігін қарастырамыз. dS өте аз аудан болғандықтан кернеуді тұрақты деп аламыз, сондықтан әр бір dS аудандағы күштенудің тепе-тең әсер етушісі ауданның ауырлық центріне түсірілген. 18-суретте 3 ось бойынша тетраэдрдің жоғарыдан қарағандағы түрі көрсетілген. Таңдалынған ось (18 суретте с нүктесі) dS₃ ауданынан өтетіндігін байқау қиын емес, сондықтан _ dS және ₃ dS₃ күштенулер осьтен өтеді және момент бермейді. ₁ dS₁ және ₂dS₂ күштенулердің моменттерін қарастыру қалды. Бұдан

₂₁ - dS₁ h₁ - ₁₂ - dS₂ h₂ = 0

мұндағы h₁ және h₂ - dS₁ және dS₂ аудандары мен мен с осінің арасында қашықтық. Егер тетраэдрдің а₁, а₂, а₃ қабырғалары әр бір ось бойынша

бағытталған болса, онда dS₁=1/2 а₁ а_2, dS₂=1/2 а₁ а₃ Осыны және а₁ = 3h_2, а₁ = 3h₁, екендігін ескере отырып, мынаны табамыз

₁₂=₂₁ (28)
3 – оське нормаль dS₁ және dS₂ аудандардың жанама кернеулерінің компоненттері, осы осьтің қабырғасына бағытталған және бір-біріне тең.

₃₁ = _13, ₃₂ = _23, (29)

19-сурет

20-сурет

Барлық мүмкін болған  бағыттардың арасында күштелінген дененің кез келген нүктесінде кем дегенде өзара перпендикуляр бағытталған үш бағыт болатындығын ескерту керек, бұл бағыттар үшін кернеу векторы  нормальмен тұспа-тұс келеді, немесе бұл аудандардағы жанама кернеулер нольге тең болады. Мұндай бағыттар басты кернеу осьтері деп аталады. Егер бұл осьтерді координаталық деп санасақ, онда кернеу тензоры үш санымен беріледі. Басты кернеулердің осьтері инерция моментінің симметрия тензорының басты осьтері сияқты табылады, бір ғана айырмашылық бар, инерция моментінің тензоры үшін басты оське қатысты момент әр уақытта оң болады, ал біз қарастырып жатқан жағдайда басты осьтің маңындағы кернеу оң да (созатын) теріс те (сығатын) болуы мүмкін. Сондықтан,егер инерция элипсоидына ұқсас бет құратын болсақ, онда екінші ретті орталық бет шығады, яғни эллипсоид немесе гибербосоид беті шығады.Сыртқы күштердің әсерінен қатты дененің бөлшектері қандай да бір тәсілмен өздерінің бір-біріне қатысты орындарын өзгертеді.

2.2 Дененің кіші деформациялары
Дене өзінің формасын өзгертеді, бұл өзгерістер «деформациялар» деп аталады.Белгілі бір салмақтың әсерінен әр бір бөлшек қайсы бір s векторына көшеді.Егер денедегі бөлшектердің барлығы s векторына көшсе,ешқандай да деформация болмайды. Егер әр түрлі бөлшектер әр түрлі s векторларға орын алмастырса ғана деформация болады, яғни s векторы бөлшектің r деформация болғанға дейінгі функциясы болып қалады; r нүктедегі бөлшек s нүктесіне көшеді, ал r + dr нүктедегісі s+ds –ке көшеді. (21-сурет).ds шамасы деформацияны сипаттайды сипаттайды. ds пен dr – дің арасындағы қатынас деформацияны сипаттайды. dr пен dr дің арасындағы байланыс s деформация тензорымен анықталады, оның компоненталарын табу керек. ds пен dr –дің сызықтық қатынасы деформацияға дейін αг векторының сызығында болған бөлшектер, деформациядан соң dr+ds сызығына өтіп, орналастыныдығын білдіреді, (22 - сурет) dr=dr. Деформацияны өте аз делік, ол ds<1s/dr<<1 кішкене (аз) бұрышқа.  = ds₁₁/dr шамасын салыстырмалы ұзаю деп аталады.


21-сурет 22-сурет

Бөлшектің r деформацияға дейінгі орны Ох₁,х₂,х₃ декарт координата жүйесіне анықталып,ось бағыттары е₁ , е₂ ,е₃ бірлік векторларымен берілген болсын.Онда

s = s₁e₁ + s₂e₂ + s₃e₃,

ds = ds₁e₁ + ds₂e₂ + ds₃e₃, (30)

dr = dx₁e₁ + dx₂e₂ + dx₃e_3;

ds₁= ds₂= 31 ds₃=

Бұл теңдіктер r нүктесінің маңындағы кішкене ауданындағы ds-тің dr-ге сызықты тәуелділігін көрсетеді ds₁/dx₁,...туынды шамалары тұрақты болып қала береді.

(86.2)теңдігі ds пен dr төмендегі тензормен байланысты екендігін көрсетеді.

немесе (86.2) теңдігін былай жазуға болады:

ds = Sdr (33)
S тензоры тек r нүктесінің маңындағы элементар көлемнің деформациясын ғана емес,оның деформациясыз бұрылуында анықтайды.Мұны жұғыну үшін S-ті S_с-симметриялық және S_а антисимметриялық тензорларға бөлеміз:

S = S_с+S_а (34)

Шындығында да

(S_а dr)₁ = – ₃ dx₂ +₂ dx₃ = [dr]₁ және т.б

23-сурет

S_с тензорының жеке компоненттерінің физикалық мәнін түсіндіретін l₁, l₂, l₃ осьтеріне параллель сызықтарда деформацияға дейін жататын бөлшектердің арақашықтығының салыстырмалы ұзаюын білдіреді.

3 оське нормаль жазықтықтағы тік бұрыштардың деформациясының әсерінен өзгеруі ₁₂ = ₂₁.Осыған сәйкес

2 оське нормаль жазықтықтағы тік бұрыштардың деформациясының әсерінен өзгеруі

Бұлардың барлығы r нүктесінің маңындағы кіші аудан үшін орынды.Салыстырмалы созылулар шамасы келесіні білдіреді:

кері мәндер салыстырмалы сығуға тура келеді.

Сонда деформация тензорын былайша жазуға болады

(39)

Өте кішкентай кубты ойша деформациялар көрелік,деформациядан соң оның қабырғалары ұлғаяды (немесе кішірейеді)ал тік бұрыштар бұзылады.24-суретте кубтың 3 осьтің жазықтықпен қиылысуы көрсетілген 2 жұп бұрыш ₁₂ бұрышқа азайды,ал екінші жұбы ₁₂ бұрышқа ұлғайады.

24-сурет

S_с тензоры симметиялық болғандықтан,оның өзара ортоганальды,кемдегенде үш басты бағыттары бар.Қырлары басты бағытқа перпендикуляр болған кубтың қабырғалары ғана созылады,ал бұрыштары өзгермейді.Қабырғаларының арасындағы бұрыш өзгеріп,ұзындықтары өзгермейтін деформацияның жағдайы таза қозғалыс деп аталады.


2.3 Кернеулер мен деформациялар арасындағы тәуелділік
Серпімді деформациялар аймағында деформациялар мен кернеулер тензорларының арасында сызықтың тәуелділік бар, бұл Гук заңы болып табылады.

Серпімділік қасиеттері әр түрлі бағыттар бойынша әр түрлі болғанкриссталдық денелер үшін барлық жалпы жағдайларда деформация тензорларының әр бір компоненті кернеу тензорының барлық компонеттерден сызықтың тәуелділік бар болуы керек.Тензорлардың симметриясының әсерінен тәуелсіз коэффициенттердің саны 21 болады.Жиырма бір параметр анизотропты заттың серпімді қасиеттерін анықтайды.

Изотропты дене жағдайында деформациялармен кернеулерді байланыстыру үшін екі еркін коффициент жеткілікті.Бұлбайланысты басты осьтердегі кернеулер тензорын жаза отырып,көрсету өте оңай.Әрине бұл осьтер деформация тензорының да бас осьтері болады.Қырларына тек нормаль кернеу әсер ететін куб қырлары тек нормаль бойынша

өзгеріп,тік бұрыштары өзгермейтіндей болып өзгереді, сонда 1оське нормаль қырлардағы ₁₁кернеу әсерінен ₁созылу пайда болады.Гук заңы бойынша ₁₁=Е₁, мұндағы Е-материалдың Юнг модулі.

Егер 2 және 3 осьтерге нормаль қырларда кернеу болмағанында 1ось боынша салыстырмалы созылу ₁= ₁₁/E, тең болған болар еді.Ол жерде кубты көлденең сығатын ₂₂ және ₃₃ кернеулер бар, пропорционалдық коэффициенті -Пуссон коэффициентіне тең.Сондықтан 1 ось бойынша коэффициент ₁₁/E-сығу шамасына тең,ол екі жұп қырлардағы созу кернеулерінен туады.Сығу кернеуі ₂₂ мынаған тең:

₂=

₃=

Әсер күштерін тәуелсіз деп есептеп және барлық жұп қырлар бойынша кернеулерді қосып,1 осьтің бойындағы созылуларды аламыз:

₁= (40)

₁ деформация тензорының бір компонентасымен кернеу тензоры компоненталарының арасындағы пропорционалды байланыс тек 1/Е және /Е екі коэффициентпен ,материалдың екі серпімді параметрлері Е және  арқылы табамыз,олар бізге қарапайым тәжірибелерден белгілі.

₂=₂₂(₃₃₁₁)₃= (₃₃₁₁₂₂ (41)

Қорытындылап келгенде әр түрлі кернеулерден тұратын деыормациялар қосылатынды жобаланған болатын.Егер а кернеудің әсерінен b деформация,ал с кернеудің әсерінен d деформация туатын болса,онда сызықтылық әсерінен а+с кернеулері бірге b+d деформацияны туғызады. Егер

₁₁  ₂₂  ₃₃ = 3 (42)

деп белгілесек,алынған формуланы былай жазуға болады:

₁=₁₁,

₂=₂₂, 43)

₃=₃₃,

Бұл теңдік координата остерінен басты бағытта таңдалып,басқа бағыттар бойынша куб деформацияланатын жағдай үшін қарастырылған.Бірақ деформация кернеуге сызықты тәуелді болғанықтан жалпы жағдайдағы есептерді де осы формулалар арқылы шығаруға болады.Алдымен кернеутензорын екі кернеудің қосындысы ретіндежазамыз,біріншісі нормалькернеулері,ал екіншісі жанама кернеулерді құрайды:


₁₁    ₁₂ ₁₃

Г  _н  Г_ж   ₂₂  + ₂₁  ₂₃ (44)

  ₃₃ ₃₁ ₃₂ 

Сонда Г_н тензормен сипатталған кернеулер туғызатын деформацияларды (43) формулалармен шығаруға болады,өйткені бұл жағдайда тек нормаль кернеулерді ескереміз.Бірақ бұл деформацияларға Г_ж тензорымен сипатталған жанама кернеулер туғызатын деформацияларды қосу керек.

25-сурет

Тәжірибелер кубтың төрт қырындағы жанама кернеулер,мысалы ₁₂ 25,а-сурет тік бұрыштың ₁₂ бұрышына өзгеруіне себеп болады,

₁₂G₁₂ (45)

мұндағы G-серпімді аймақтағы біртекті изотроп материалдық тұрақтылық коэффициенті (қорғалу модулі). 1 және 2осьтерге параллель қырлардағы жанама кернеулер

₂₃G₂₃ , ₃₁G₃₁ , (46)

Бұрыштардағы деформациялық  қандай да бір координаталық жазықтықта осы жазықтықта нормаль төртқырдағы жанама кернеудің бірдей компонентеріне ғана тәуелді болады. Сондықтан Г_ж тензорымен S_с^ жылжу тензорының арасындағы байланыс өте қарапайым S_с^ тензоры S_с деформация тензорының бөлігі,ол мына теңдіктен тұрады:

S_с =S_с^S_с^

мұндағы

₁ 0 0 0 ₁₂ ₁₃

S^_с = 0 ₂ 0 , S_с^= ₂₁ 0 ₂₃ . 47

0 0 ₃ ₃₁ ₃₂ 0

(45) және 46 ескеріп,ізделініп жатқан байланысты табамыз.

Г_н= 0 ₂₂ 0 = 0 ₂ 0 + 0 1 0 49

3 = ₁ + ₂ +  ₃ =    = 1+

Г_н=, 51

мұндағы

1 0 0

0 0 1

51 өрнек Г_н нормаль тензор, S_с^созылу тензоры және  немесе  шамасының арасындағы байланысты береді.Ода нәрі біз немесе скаляр екендігін ,яғни таңдалынған координаталар жүйесіне тәуелді емес екендігін көрсетеміз.

Енді G жылжу модулінің E Юнг модулімен  Пуассон коэффициентінен тұрақты тәуелділігін орнатамыз.Ол үшін тек нормаль кернеудің әсерінен туып,басқа осьтерде таза жылжу болатын деформацияны қарастырамыз.

26-сурет

Кернеу ₃₃ = 0делік,онда деформация тек ₁₁ және ₂₂ кернеулердің әсерінен туады.₁₁=₀ және ₂₂ = ₀, ₃₃ = 0,болып,жанама кернеулер жоқ болсын.26-сурет.Мұндай кернеулердің әсерінен 1-ось бойынша созу,ал 2-ось бойынша тура сондай сығу туады. Шындығында дат 40 және 41 бойынша

Е₁ = ₁₁  ₂₂ = 1+₀

Е₂ = ₂₂  ₁₁ = 1+₀ 52

немесе

/4 бұрышқа иілген осьтердегі деформация таза жылжуды береді.Бұны дәлелдейміз. 27 а-суретте көрсетілгендей қарастырылып отырған квадраттан квадрат қиып аламыз.Кубтың жақтары а-ға тең деп алайық;онда штрихтан көрсетілген призмаға 27,б-суреттекөрсетілгендей күштенулер әсер етеді.

27-сурет

 =

Ал ішкі призманың қима дигоналінің біреуінің алыстырмалы ұлғаюы мынаған тең

₀ = ₀

Геометриялық шарттарға сүйеніп, , E, G параметрлерінің арасындағы байланысты табуға болады.

28-сурет

G = (53)

Г = Г_н + Г_k =S_с^+ +S_с^

Г =S_с+ . (54)

Бұл өрнек изотроп материял үшін Е және  белгілі болған жағдайда, S_с деформация тензорының компонентері бойынша Г кернеу тензорының компоненттері есептеуге мүмкіндік береді.

Бұдан S_с мен Г-нің кері тәуелділігін де табуға болады.Сонымен (54)-тен алатынымыз

S_с =  (55)

₂₁ ₂₂ ₂₃ =

Сондықтан -скаляр.Тура осы сияқты -да скаляр.

 шамасына орташа нормаль кернеу ретінде түсінік беруге болады,

 = (57)

 кернеу әсерінен  = 1+ / E шамалы жан-жақты созу немесе - салмақты  сығу жүреді.Г_н тензорын екі бөлікке бөлуге болады:




₁₁ 0 0  0 0 ₁₁- 0 0

Г_н= 0 ₂₂ 0 = 0  0 + 0 ₁₁- 0 58