Методические указания по решению типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного решения



жүктеу/скачать 0.8 Mb.
бет2/4
Дата02.07.2016
өлшемі0.8 Mb.
#173381
түріМетодические указания
1   2   3   4
    Бұл бет үшін навигация:
  • Ответ

Примеры решения задач



Дано:

0 = 0



m = 0,200 кг

V = 22010-6 м3

h = 3 мв = 103 кг/м3Решение:

Движение мяча в воде равноускоренное. Ускорение а можно найти из уравнения динамики.

.

В скалярном виде:



ma = FA – mg,ma = gV – mg
Н = ?
1. Резиновый мяч массой 200 г и объемом 220 см3 погружают под воду на глубину 3 м и отпускают. На какую высоту (в метрах), считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Сопротивление воды и воздуха при движении мяча не учитывать. Плотность воды 103 кг/м3.

(1)

Тогда


. (2)

Подставим в уравнение (2) выражение для ускорения (1):





Екин = h(gV - mg) = hg (V - m). (3) 

При вылете из воды мяч обладает кинетической энергией, которая в точке 2 переходит в потенциальную.



Екин = mgH. (4)

В уравнениях (3) и (4) приравниваем правые части:



hg (V - m) = mgH

h (V - m) = mH

Отсюда определим высоту, на которую подпрыгнет мяч, считая от поверхности воды.



=  = 0,3 (м).

Ответ: H = 0,3 м



2. Определите натяжение нити, связывающей два шарика объёмом 10 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего шарика. Плотность воды 103 кг/м3, g = 10 м/с2. Ответ представьте в мН.


Дано:

V = 10 см3 = 10-5м3

m2 = 3m1

g = 10 м/с2 = 1000 кг/м3Решение:

Выполним рисунок, расставим силы, действующие на каждое тело, и для каждого тела запишем свое условие равновесия.

1 шар: FA1 – m1g – T = 0, (1)

где .
Т = ?
2 шар: FA2 – m2g + T = 0, (2)

где


FA2 = gV.

В уравнения (1) и (2) подставим силы Архимеда, действующие на каждое тело, и выразим массы этих тел:



 – m1g – T = 0,

gV – m2g + T = 0.



, .

Так как по условию задачи



m2 = 3m1,

то

 = 3,

gV + T = 3,

gV + T =  - 3Т.

4Т = .

Из полученного уравнения определим натяжение нити, связывающей оба шарика:



(Н) = 12,5 (мН).

Ответ: Т = 12,5 мН

3. При подъеме с помощью гидравлического пресса груза массой 2 т была совершена работа 4,9 кДж. Найдите число ходов малого поршня, перемещающегося за один ход на 10 см, если КПД пресса 90%, а площадь большого поршня больше малого в 100 раз. Принять g = 9,8 мс2. Ответ представьте в единицах СИ.


Дано:

m = 2 т = 2103 кг

Аз = 4,9 кДж = 4,9103 Дж 

l = 10 см = 0,1 м

 = 90 = 0,9

s1 = 100 s2g = 9,8 мс2Решение:

КПД пресса рассчитывается как отношение:

100. (1)

Полезная работа, которую совершает сила F:



Aп = Fl = FlN. (2)Для гидравлического пресса выполняется соотношение:

N = ?
. (3)

Выражение, полученное для силы F, подставим в уравнение (2).



Aп = lN. (4)

Решая совместно уравнения (1) и (4) найдем число ходов малого поршня.



lN = Аз.

N =  =  = 225.

Ответ: N = 225


Дано:

d2 =  4 d1

h = 0,7 м 

рт = 13,6103 кгм3в = 103 кгм3Решение:
В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне (штриховая линия). Когда в левый сосуд поверх ртути налили воду, уровень ртути в нем опустился на h1, а в правом сосуде поднялся на h2.

h1 = ? h2 = ?
4. В сообщающиеся сосуды, диаметр одного из которых больше диаметра другого в 4 раза, налита ртуть, а в сосуд меньшего диаметра сверху налита вода высотой 0,7 м. Определите, на сколько изменятся уровни ртути в сооб­ща­ющихся сосудах. Плотность ртути 13,6103 кгм3, плотность воды 103 кгм3. Ответы представьте в сантиметрах и округлите до десятых.

Давление в сообщающихся сосудах на одном уровне одинаковое, т.е.



р1 = р2. (1)

р = , F = mg.

в нашей задаче это сила тяжести жидкости, находящейся над точкой, в которой определяется давление. Над первой точкой находится только вода, над второй – ртуть. Тогда уравнение (1) перепишется в виде:

, (2)

где


mв = вVв = вs1h, mрт = ртVрт = ртs2(h1 + h2). (3)

Подставим полученные выражения (3) в уравнение (2):



,

вh = рт(h1 + h2). (4)

Чтобы найти h1 и h2, нужно найти соотношение между ними. Объем жидкости, вытесненной из левого сосуда равен объему жидкости, перешедшей во второй сосуд, т.е.

V1 = V2.  s1h1 = s2h2. (5)

Но


s = . (6)

Т.к. по условию задачи d2 =  4 d1, тогда и с учетом (6)



 = ,

s2 = 16s1. (7)

Выражение (6) подставим в (4), получим:



s1h1 = 16s1h2 или h1 = 16h2. (8)

Полученное соотношение подставим в выражение (4):

вh = рт(h1 + h2) = рт(16h2+ h2) = рт17h2.

Теперь можно определить, на сколько изменятся уровни ртути в сооб­ща­ющихся сосудах

h2 = 0,003 (м) = 0,3 (см).

Из уравнения (8):

h1 = 160,03 = 4,8 (см).

Ответ: h1= 4,8 см, h2= 0,3 см.

5. Определите минимальный объем наполненного водородом шара, который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за время 30 с. Общая масса оболочки шара и корзины 20 кг. Принять g = 10 мс2, плотность воздуха и водорода соответственно равными 1,3 кгм3 и 0,1 кгм3. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.


Дано:

0 = 0



m1 = 70 кг

h = 100 м

t = 30 с

m2 = 20 кг

g = 10 мс2

возд = 1,3 кгм3вод = 0,1 кгм3Решение:



Необходимо выполнить рисунок, затем расставить силы, действующие на шар и записать уравнение динамики.

.

Полученное выражение запишем в проекции на ось y:



mчa + mшa + mНa = FA – mчg – mшg - mНg. Преобразуем:

Vmin = ?
(mч + mш)a + mНa = вgV – (mч + mш)g - mНg. 

(mч + mш)a + НVa = вgV – (mч + mш)g - НVg. 

НVa - вgV  + НVg = - (mч + mш)a - (mч + mш)g. 

V(вg - Нa - Нg) = (mч + mш)a + (mч + mш)g.

V(вg - Нa - Нg) = (mч + mш)(a + g).

Отсюда


V = . (1)

В полученном выражении остается неизвестным ускорение, с которым шар поднимается вверх. Найти ускорение можно из уравнения движения шара.



h = 0t +  = .

Тогда ускорение шара.



а = . (2)

решая совместно уравнения (1) и (2) найдем минимальный объем наполненного водородом шара.

V =  =  = 77 (м3).

Ответ: V = 77 м3

6. Два сосуда наполнены одним и тем же газом под давлением 4105 Па и 9105 Па массой 0,2 кг и 0,3 кг соответственно. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Най­дите установившееся давление в сосудах, если температура газа в них была одинакова и после установления равновесия увеличилась на 20%. Ответ представьте в атмосферах (1 атм = 105 Па) и округлите до десятых.


Дано:

p1 = 4105 Па

p2 = 9105 Па

m1 = 0,2 кг

m2 = 0,3 кг

T = 1,2 T1 атм = 105 ПаРешение:

установившееся давление в сосудах можно определить из закона Дальтона:

р =  р1 + р2, (1)

где р1, р2 – парциальные давления газа. Эти давления определяем из уравнения Клапейрона – Менделеева:p(V1 + V2) = RT  p = RT, (2)
p = ?
где Т - температура газа после соединения сосудов трубкой,

p - парциальное давление, т.е. давление, которое создается газом, если бы он один занимал весь объем.

Подставим выражение (2) в закон дальтона(1):



р = RT+ RT. (3)

Учитывая условие задачи, согласно которому



T = 1,2 T,

уравнение (3) примет вид:



р = 1,2R T + 1,2R T = 1,2(m1 + m2). (4)

Объемы V1, V2 выразим также из уравнения Клапейрона – Менделеева, которое записано для случая, когда сосуды еще не соединены трубкой.



V = RT (5)

Полученное выражение для объема подставим в уравнение(5).



р =  1,2(m1 + m2) = 1,2(m1 + m2) =

= 1,2 (m1 + m2) =1,2.

Подставим численные значения и рассчитаем установившееся давление.

р =1,2 = 7,2105 (Па) = 7,2 (атм).

Ответ: р = 7,2 атм

7. Идеальный одноатомный газ массой 1 кг с молярной массой 4 г/моль нагревают так, что его температура, пропорциональная квадрату давления, возрастает от 300 К до 600 К. Определите работу, совершенную газом. Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ представьте в килоджоулях и округлите до целого числа.


Дано:



m = 1 кг

m = 4 г/моль = 410-3 кг/моль

Т = k p2

T1 = 300 К

T2 = 600 К

R = 8,31 Дж/(мольК)i = 3Решение:

работу, совершенную газом удобнее найти графически. Известно геометрический смысл работы. Она представляет собой площадь фигуры под графиком в pV – координатах. Для этого нужно построить этот график, то есть определить зависимость p = f(V). Для этого запишем уравнение Клапейрона – Менделеева:

A = ?
pV = RT.

По условию задачи



Т = k p2,

следовательно,



pV = Rkp2

V = Rkp,

где , R и k – постоянные величины, т.е. V  p. Тогда график зависимости p = f(V) будет выглядеть следующим образом:

Фигура между графиком и осью х представляет собой трапецию. Значит, работа численно равна площади трапеции.



sтр = ,

то есть


А = ,

где


p = ,   V = Rkp = Rk .

 Тогда


А =  =  = .

Подставим численные значения и определим работу, совершенную газом.



А =  =  = 312103 (Дж) = 312 кДж.

Ответ: А = 312 кДж



8. Цилиндр с поршнем содержит газ. Сверху пор­шень прижат идеальной пружиной. Цилиндр начинают нагревать (см. рисунок). Объем газа изменяется от V1 до V2, а давление от р1 до р2. Определите совершаемую при этом работу газа. Вычисления провести при следующих параметрах: р1 = 1105 Па; р2 = 2105 Па; V1 = 1 л; V2 = 3 л. Ответ представьте в единицах СИ.

Дано:

р1 = 1105 Па

р2 = 2105 Па

V1 = 1 л = 10-3 м3

V2 = 3 л = 210-3 м3Решение:Так как в системе меняются все параметры: p, V и Т, то работу газа удобнее рассчитать графически (см. предыдущую задачу). По определению давление определяется формулой:

      Fупр = ps, (1) А = ?Но по закону Гука сила упругости определяется следующим выражением:

Fупр = kx. (2)

В уравнениях (1) и (2) приравниваем правые части.



ps = kx, (3)

где x – перемещение поршня, которое можно определить через объем.



V = sx. (4)

Подставив в уравнение (3) выражение (4), имеем



,

то есть давление газа в цилиндре изменяется пропорционально объему: p  V.

Тогда в pV – координатах график будет выглядеть аналогично графику, представленному в предыдущей задаче. Тогда работу определим через площадь трапеции.

А = sтр = , А = .

А =  = 300 (Дж).


жүктеу/скачать 0.8 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4



©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет