Динамикалық айнымалылардың орташа мәндері
§ 6-9 арналған бақылау сұрақтары
жүктеу/скачать 1.13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 10 Потенциалдық жәшіктегі бөлшек.
| § 6-9 арналған бақылау сұрақтары.
Физикада себептілік принципінің мағынасын қалай түсінесіз? Мысал келтіріңіз? Кванттық механикада себептілік принципі қалай тұжырымдалып өрнектелуі керек? Шредингер теңеуін жазыңыз. Шредингер теңдігінің классикалық физикадағы өрнектерден қандай артықшылықтары мен ерекшеліктері бар? Стационарлық күйлер анықтамасын беріңіз? Оның атауының мағынасын түсіндіріңіз. Стационарлық күйлерге арналған Шредингер теңдігін жазыңыз. Жүйе энергияларының деңгейлері қалай табылады? Екі стационарлық күйдің толқындық функцияларының сызықтық мәндері қандай да бір басқа стационарлық күйге сәйкес келе ала ма? Динамикалық айнымалының уақыт бойынша туындысының операторын жазыңыз? Қозғалыстың кванттық механикалық интегралдары деп қандай шамаларды айтамыз? Динамикалық айнымалы қозғалыс интегралы бола алатын қажеттілік шартты тұжырымдаңыз? Сәйкестік принципін тұжырымдаңыз? Эренфест теоремасын сипаттаңыз? Қандай шарттарда қозғалыстың кванттық теңдеулерінен классикалыққа шектік өту іске асады? § 10 Потенциалдық жәшіктегі бөлшек. §12 Бөлшектердің потенциалдық тосқауыл арқылы өтуі. Туннельдік эффект. Тунельдік эффекті негізінде жүретін физикалық құбылыстар. Тек қана х координатына тәуелді болатын потенциалдық энергиясы бар өрістегі Ох осі бағытындағы бірдей Е толық энергиясы бар бөлшектердің қозғалысын қарастырайық. Мысалға, потенциалдық энергия бойынша тәуелділік төмендегі графикпен өрнектелсін делік: Алдымен бөлшектердің қозғалысы классикалық механика тұрғысынан қандай болатындығын қарастырайық. Бөлшектердің кинетикалық энергиясы фунқция ретінде мынаған тең: (1). Киннетикалық энергия тек оң мәндерді қабылдайды. Сондықтан бөлшек тек болатын нүктелерде ғана орналаса алады. Біздің мысалда, Ох осінің оң бағыты бойымен қозғалатын барлық бөлшектер бірінші потенциалдық тосқауылдан ( нүктесінде максимуммен) өте алады. Бірақ, нүктесіне жеткенде барлық бөлшектер кері бұрылады, себебі, классикалық механика тұрғысынан қарастырғанда бөлшектер және нүктелері арасында орналаса аламайды. Осылайша, классикалық механикада бөлшектің потенциалдық тосқауылдан қай жағдайда өте алатындығы, қай жағдайда кері бұрылатындығы нақты анықталған болады: егер болса, онда бөлшек потенциалдық тосқауыл арқылы өте алады, ал егер болса, онда бөлшек қарама-қарсы бағытқа бұрылады. Қозғалысы кванттық механика арқылы сипатталатын микробөлшектер басқа қалыпта болады. Кинетикалық және потенциалдық энергиялар опретаорлары толық энергия операторымен коммутирлемейтіндіктен, белгілі толық эенргиясы Е бар күйлерде кинетикалық және потенциалдық эенргиялар белгілі мәндерге ие болмайтындығын біз білеміз. Сондықтан да, гармоникалық осциллятор мысалынан көргендей, болғанда, көлем элементерінен бөлшекті табу ықтималдылығы өте аз болғанымен нөлден ерекше болады. болып келетін аудан потенциалдық тосқауыл деп аталады. Егер микробөлшектер шекті ені бар тосқауылға түсетін болса, онда тек тосқауыл шегіндегі бөлшекті анықтау ықтималдылығы ғана нөлден ерекше емес, сонымен қатар болшектің потенциалдық тосқауыл арқылы өту ықтималыдығы да нөлден ерекше болады. Бұл құбылыс туннельдік эффект деп аталады. Бұл атау бөлшектер потенциалдық тосқауыл астынан туннель жасайды дегенді білдіреді. Әрине, бұл анықтаманы тура түсінбеу керек. Бөлшектер тосқауыл асынан ешқандай да нақты туннель жасамайды. Әрине, потенциалдық тосқауыл арқылы өту ықтималыдылғы, оның ені мен айырымының артуы кезінде лезде кемиді. Егер бөлшектер қозғалысы бағытында потенциалдық энергия, Е энергиясынан аз болатын, қандай да бір шектік мәнге дейін артатын болса, онда классикалық теория бойынша бөлшек міндетті түрде сол бағытта қозғалысын жалғасытрады. Кванттық теория бойынша егре барлық жерде болса да, бөлшектердің нөлден еркше шағылысу ықтималдылығы бар болады. Біз тек ең қызықты жағдайды толық қарастырамыз – бөлшектің шекті ені бар тосқауылдан өту жағдайы. Қарапайым – тікбұрышты формасы бар тосқауылды қарастырудан бастайық. Потенциалдық энергия бөлігінен басқа барлық жерде нөлге тең болсын, ал бөлігінде ол -ге тең (суретті қара). Х айнымалысының өзгеріс ауданын үш ауданға бөлеміз: - І-ші аудан; - ІІ-ші аудан; - ІІІ-ші аудан. І-ші ауданда тосқауылға қарай қозғалатын бөлшектердің қозғалыс күйі де-Бройльдің жазық толқынымен сипатталады (2). Ары қарай уақыттық көбейткішті жазбайтын болмыз. деп белгілейік. - толқындық сан деп аталады. (Кей кезде толқындық сан деп мәнін де айтады. Бұл анықтамалардың айырмашылығы жоқ ). Сондай-ақ, І-ші ауданда тосқауылдан шғылысқан электрондық толқын болады. Осылайша, і-ші аудандағы толқындық функция мына түрде жазылады: (3). ІІ-ші аудандағы толқындық функция түрін Шредингердің стационарлық теңдігінен табамыз (4). Сипаттамалық теңдік мына түрде болады (5). Осы жерден: (6), мұнда (7). болғандықтан, сипаттамалық теңдеудің түбірі сандық болады. ІІ-ші аудандағы ортақ шешім мына түрде болады: (8). ІІІ-ші аудандағы ортақ шешім І-ші аудандағыдай, бірақ басқа кез-келген тұрақтысымен болады. (9). Біз ІІІ-ші ауданда Ох осіне қарама-қарсы бағытта бөлшектер ағынын тудыратын бөлшектердің басқа көзі бар болуы мүмкін екенін болжамағандықтан, болады. Осылайша, функциясы мына түрде жазылады: (10). Кемитін ағын қарқындылығы коэффициент модулінің квадратына пропорционал болады. Көркемдік үшін толқындық функцияның тұжырымдамасын өзгертуге болады, яғни -тосқауылға қозғалып келе жатқан бөлшектердің тығыздығы, -шағылысқан бөлшектер тығыздығы, -тосқауылдан өтіп кеткен бөлшектер тығыздығы. Бізге ең бастысы тосқауылдың мөлдірлігін білу керек. Ол мынаған тең болады (11). Кемімелі ағынның қарқындылығын анықтайтын коэффциенті берілу керек, ал коэффициенттерін (10) функцияның үздіксіздік шартынан (12а) (12б) (12в) (12г) Осы теңдіктерге функцияларының мәндері мен олрадың туындыларын қойып коэффициенттерге қатысты келесі теңдеулер жүйесін аламыз (13) Осы жүйені шеше отырып қатынасын табамыз: (14) ( және коэффициенттерінің өрнектері бізге қажет болмас). (14)-формуласынан тосқауылдың мөлдірлік коэффициентін табамыз (15) - шамасы кем дегенде бірнеше бірлікті құрайды. Мысалы, , , және деп алсақ, болады. Теория D шамасының нақты мәнін алуды талап етпейді, тек оны бағалауға ғана қолданылатындықтан, ехрkd>>exp-kd деп есептеп (15)-өрнегіндегі бөлімнің екінші мүшесін ескермеуге болады. Сонда (15)-өрнегі мәна түрге ие болады: (16) Осы өрнектің алымын да бөлімін де -шамасына бөлсек: (17) және шамалары бірінші реттік болып келеді. қосындысының минималды мәнін тексеру оңай, себебі мұнда х=1 кезінде, х-шамасы 2-ге тең оң сан болады. Cондықтан, -шамасы бірнеше бірлікті құрайды деп санасақ, - шамасын бір бірлікті құрайды деп есепейміз. Сондықтан бірге жуық көбейткіштің дәлдігіне дейін аламыз. (18) (18)-формуласынан көретіндігіміздей, мөлдірлік коэффициенті тосқауылдың d-енінің және тосқауыл биіктігінің артылуымен бөлшектердің -энергиясына қатысты лезде кемиді. (18)-өрнектен тағы, бөлшек ауыр болған сайын оның тосқауылдан өту ықтилмалыдылығы аз болатындығын байқауға болады. Бұл фактілерді сәйкестік принципі негізінде алдын ала болжауға болады. Енді, Е энергиясы бар бөлшектер түсетін кез-келген формадағы тосқауылды қарасытырайық. х1 және х2 нүктелері арасындағы кесінді классикалық тиым салынғын аймақ болып табылады. О л өрнегінен анықталады. Бөлшектің щағылыспай х1-нүктесіне дейін жету ықтималдылығы 1-ге жуық болады. (х1,х2) кесіндісін бірнеше кішкентай -шамалы кесінділерге бөлейік. Олардың әрқайсысында потенциалдық энергия аз өзгереді. Осы кескіндердің әрқайсысын тікбұрышты тосқауыл ретінде қарастыпы, оның өту ықтималдылығын мына формула арқылы бағалауға болады: (19) Мұнда, - бірге жуық көбейткіш. Егер бөлшек барлық -енді жұқа тосқауылдан өтсе, онда бөлшек (х1,х2) нүктелері арасындағы бүкіл тосқауылдан өтеді. Ықтималдылықтарды көбейту теоремасы бойынша тәуелсіз оқиғаларды бірлестіру ықтималдылығы ықтималдылықтар қосындысына тең. Сол себепті, (20) Мұнда . кезінде шекке өте отырып мынаны аламыз: (21). Туннельдік эффект техникада қолданылатын көптеген процессетр мен қара, табиғатта да маңызды рөл атқарады. Техникада қоладылатын процесстер мен табиғи құбылыстардың толық теориясын қарастырмай, туннельдік эффекті туындауының бірқатар мысалдарын қарастырып өтейік. Туннельдік эффектінің арқасында, арасында ластану мен қышқылдардың жұқа диэлектрлік қабаты бар, екі металдың жалғасуының орындары арқылы электр тогы өтеді. Бұл өткізгіштерді желімдеусіз қосуға мүмкіндік береді. Туннельдік эффекті негізінде металдан электрондардың суық эмиссиялану түсіндіріледі. Металлдағы электрондар потенциалдық шұңқырда орналасады: металл ішінде олар еркін қозғалады, бірақ металлдан оларға белгілі бір энрегия берілген соң ғана шыға алады, мысалы, қыздыру жолымен (термоэмиссия) немесе жарықпен сәулелендіру жолымен (фотоэффект). Бетке бағытталған кернеулігі бар, металл беті аймағында күшті электр өрісінің беттесуі металлдан сәулелендірусіз немесе қыздырусыз электрондарды жұлып алуға, яғни электрондардың салықын эмиссиясына әкеледі. Металл ішінде бетке жағындаған кезде потенциалдық энергия артады, ал беттің сыртына келтірілген кернеу нәтижесінде – кемиді. Осылайша, металлдан жұлынып алынатын электрондар потенциалдық тосқауыл арқылы өтеді. Я дролық физикадағы туннельдік эффектінің көрінісі -ыдырау болып табылады. Ядроның ішінде -бөлшек потенциалдық шұңқырда орналасасатын болады. Ядроның бетінде потенциалдық энергия максимал мәнге ие болса, ядроның сыртында тебілістің куландық күштері әсер етеді де, ядродан -бөлшекер бөлініп шыққан кезде потенциалдық энергия кемиді. -бөлшектің ядродан ұшып шыққан кезінде потенциалдық тосқауылдан туннельдік эффектінің арқасында өтеді. Термоядролық реакцияда туннельдік эффект шешуші рөл атқарады. 106-107 К реттік температуралар кезінде жеңіл элементтердің ядролары интенсивті жылулық қозғалыс салдарынан өте жиі соқтығысады (Күн центрінде, атомдық бомба жарылысының центрінде, токамак қондырғыларының плазмалық бауында). Бірақ, осындай жоғары температураларда да ядролардың кинетикалық энергиялары куландық тебілістерді және ядролық күштер әсері қайқалатын арақашықтыққа ядролардың жақындауын өткеру үшін жеткіліксіз. Атомдық ядролардың бірігуі және осының салдарынан термоядролық энергияның бөлінуі туннельдік эффектінің арқасында жүреді. Туннельдік эффект жартылай жартылайөткізгіштік құралдар жұмысында туннельдік диодтарда өте үлкен рөл ойнайды. Жеке жағдайларды, туннельдік эффект шешуші рөл атқарады. Щвейцар физиктері Биннинг пен Рорер құрастырған туннельдік микроскоптың жұмыс істеу принциптері туннельдік эхффектіге негізделген. Бұл микроскоп атом өлшемдеріндей шамалардың өлшемдерін зерттеуге мүмкіндік береді, яғни 10-10м жуық өлшемдерді. Туннельдік эффект көптеген химиялық реакциялардың жүруін анықтайды. Туннельдік эффектіге негізделген жоғарыда келтірілген құбылыстар мен процесстердің мысалдары бұл құбылыстың табиғатта кеңінен таралатындығын және қазргі таңдағы жаңа техникада қолданылатындығын көрсетеді. Бақылау сұрақтары: Классикалық механика заңдарына сай тосқауылдары бар бір өлшемді потенциалдық өрісте үйкеліссіз материялық нүкте қалай қозғалады? Тосқауылдары бар понециалдық өрісте қозғалатын микробөлшектер күйінің ерекшеліктері неде? Потенциалдық тосқауыл арқылы бөлшектің өту ықтималдылығын немен анықталады? Туннельдік эффектінің табиғатта және техникалық процесстердегі көрінісінің мысалдарын келтіріңдер? М ысал: Электрондар ағыны тосқауылға түседі, оның кескіні суретте көрсетілген. Егер , , болса, мөлдірлік коэффициенті қалай болады? Егре электрондар энергиясы дейін артса, онда мөлдірлік коэффициенті қалай өзгереді? Шешімі: функциясының түрі: (22) (21) өрнегіне енген интегралды есептейміз. Осы жағдайда , ал шамасын төмендегі теңдеуден табамыз: (23) (24) (24) формуланы (21) формуласына қойып: Мәндерін қойып табамыз: кезінде , ал кезінде . жүктеу/скачать 1.13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|