Динамикалық айнымалылардың орташа мәндері
§7. Стационарлық күйлер. Стационарлық күйлерге арналған Шредингер теңдеуі
жүктеу/скачать 1.13 Mb.
|
§7. Стационарлық күйлер. Стационарлық күйлерге арналған Шредингер теңдеуі. Бөлшек немесе бөлшектер жүйесі болуы мүмкін түрлі күйлер ішінде қызығушылық тудыратын стационарлық күйлер болып табылады. Бөлшектің толық энергиясының операторы (гамильтониан) уақытқа тәуелді емес делік. Онда стационарлық күйлердің келесі анықтамаларын берейік. Бөлшектің немесе бөлшектер жүйесінің стационарлық күйлері деп толық энергиясы уақытқа тәуелсіз, белгілі бір мәнге ие болатын күйлерді айтамыз. «Стационарлық күйлер» атауының мағынасы төменде анықталатын болады. Бұл §-та тек қана бір бөлшектің стационарлық күйлері ғана зерттелетін болады, себебі бөлшектер жүйесінің күйлерін зерттеу үшін ең алдымен микробөлшектердің жүйелеріне тән кейбір ерекшеліктермен танысу қажет. §3-тен белгілі болғандай, динамикалық айнымалының операторының өздік функциясы болса, белгілі бір мәнге ие болады. Бұл шарт толық энергия үшін мына түрде болады: (1) ( толық энергия операторы мен Е энергия мәні түрлі әріптермен белгіленетін болады). (1) теңдігі стационарлық күйлерге арналған Шредингер теңдеуі деп аталады. (1) теңдігі мен Шредингердің жалпы теңдігін салыстыра отырып осы теңдіктердің сол жақ бөліктері тең екенін көреміз. Оң жақ бөліктерді теңестіріп: (2) Бұл теңдікті мына түрде қайта көшіріп жазамыз: (3) Уақыт бойынша интегралдап аламыз: (4) Мұнда t айнымалысына қатысты кез келген тұрақтының рөлін атқарады. (4) ті потенциалдап, алатынымыз: (5) (5) -өрнегінен көретіндей, стационарлық күйлер жағдайында толқындық функция, координаттан функцияға тәуелді, функцияның уақытқа тәуелді туындысы ретінде ұсынылады. Бөлшекті анықтау ықтималдылығының тығыздығын қарастырайық: (6) (6) өрнегінен көретініміздей, стационарлық күйлер жағдайында бөлшекті анықтау ықтималдылығының тығыздығы уақытқа тәуелді емес. Осы жерден «стационарлық күй» атауының мағынасы анық болады. Жалпы жағдайда де Бройль толқындарының дисперсиясының арқасында толқындық пакеттер уақыт те келе үлкен кеңістік бойымен «таралады» немес «жайылады». Бірақ нақты бөлшектер «жайылмайды». Сондықтан, жалпы жағдайда, толқындық функциясының модульінің квадратын, осы нүктедегі бөлшектің тығыздығына пропорционал, шама ретінде қарастыруға болмайды. Стационарлық күйлер жағдайында толқындық пакеттер кеңістік бойынша «таралмайды», сондықтан бөлшектің тығыздығы ретінде қарастыруға болса, ал шамасының бөлшек зарядына туындысын зарядтың тығыздығы ретінде қарастыруға болады. (5) өрнегін (1) теңдігіне қоя отырып, операторының уақыттық көбейткішке әсер етпейтіндгін, ескере отырып оны ға қысқарту арқылы, теңдікті мына түрде жазуға болады: (7) Төменде «о» таңбасын оны, бөлшектің стационарлық күйінің нөмірінің, таңбасымен шатастырмау үшін алып тастап отырамыз. Кез келген күйлердің толқындық функциялары сияқты, стационарлық күйлердің толқындық функциялары үздіксіз әрі бір таңбалы болу керек. Сонымен қатар, интегралы болу керек, мұнда интегралдау бөлшекті локальдау облысы бойынша жүргізілед. Осы шарттарды қанағаттандыратын, шешімдер Е энергияның барлық мәнінде бола бермейді, ал тек олардың жиыныэнергия оператрының спектрін құрайтын, мәндерде ғана болады. (7) теңдігін шешу кезінде сонымен бірге энергия спектрі де анықталуы керек. Спектрге жататын, энергияның әрбір мәні, бөлшектің энергия деңгейін анықтайды. Егер спектр дискреттік болса, онда энергия деңгейлері нөмірленген болады. Егер энергия деңгейлері төмендемеген болса, онда әрбір деңгейге, толқындық функциясы деңгейдің нөмірімен бірдей таңбамен нөмірленетін, бір стационарлық күй сәйкес келеді. Бұл жағдайда (7) теңдеуі мына түрде жазылады: (7а) Төмендемеген деңгейлер жағдайында әрбір деңгейге толқындық функциясы қатысты күйді нөмірлейтін қосымша индекспен (немесе тіпті бірнеше индекстермен) нөмірленетін, бірнеше стационарлық күйлер сәйкес келе алады: (7б) Әртүрлі деңгейлерге қтысты, екі немесе одан да көп стационарлық күйлердің толқындық функцияның суперпозициясы стационарлық болмайтын күйге сәйкес келетіндігін, атап өтейік. Мысалға, мына түрдегі толқындық функция (8) кезінде (5) түріне келмейді, ал сондықтан да стационарлық күйдің толқындық функциясы бола алмайды. Сонымен қатар (8) толқындық функциясы Шредингердің жалпы (16) (§6) теңдігін қанағаттандыра алады, егер және (7а)теңдігін қанағаттандырса, сондықтан (8) функциясы бөлшектің мүмкін болатын күйіне сәйкес келеді. §8 Динамикалық айнымалылылардың уақыт бойынша өзгеруі. Қозғалыстың кванттық механикалық интегралдары. жалпы айтқанда уақытқа анық тәуелді бола алатын, қандай да бір динамикалық айнымалының операторы болсын делік (мысалға, потенциалдық энергия қарастырылып отырған бөлшек қозғалатын өрісті тудыратын, денелердің қозғалысы кезінде уақытқа тәуелді). шамасының орташа мәні мына түрде жазылады: (1) шамасы уақыт бойынша қалай өзгеретіндігін қарастырайық, яғни туындысын табамыз. (1) өрнегінің t бойынша дифференциалдануы кезінде туынды таңбасын интеграл астына кіргізуге болады және де функциясын, функция туындысын дифференциалдағандай дифференциалдауға болады: (2) және шамаларын Шредингер теңдігінен өрнектейік: (3а) (3б) (2) теңдігіндегі екінші интегралды мәнінің орташа мәні ретінде қарастыруға болады. Егер шамасы анық түрде уақытқа тәуелсіз болса, онда бұл мүше нөлге тең. (3а) мен (3б) теңдіктерін (2) өрнегіне қоя отырып, алатынымыз: (4) Бірінші мүшені операторының эрмиттілігін қолана отырып қайта өрнектейміз. , эрмиттілік анықтамасынан шығатындай (4) өрнегіндегі бірінші интегралды мына түрде жазамыз: (5) (5) теңдікті (4)өрнегіне қоя отырып және де интегралдарды біріктіре отырып, алатынымыз: (6) (6) теңдеуін өрнегімен салыстырып, өрнекті жақшада тұрған, операторды динамикалық айнымалының уақыт бойынша толық туындысының операторы ретінде қарастыру керек: (7) операторы операторының өзгеруінен туындаған, орташа мәннің уақыт бойыша өзгеруін анықтайды. Бөлшек күйінің өзгеруінен туындаған орташа мәннің уақыт бойынша өзгеруін анықтайтын операторын Пуассонның кванттық жақшасы деп атап түрінде белгілейді. Бұл термин классикалық механикадан алынған. Классикалық механикада динамикалық айнымалының толық уақыт бойынша туындысы мына түрде болады: (8) Гамильтон теңдеуінін және өрнектерін алып қоямыз (9) (9) өрнегіндегі қосынды арқылы белгіленеді және де ол Пуассон жақасы деп аталады. Енгізілген операторы Пуассон жақшасына сәйкес келетін оператор болып табылады, міне осы жерден оның аталуы шыққан. Енді қозғалыстың кванттық механикалық интегралдар түснігін қарастырайық. Классикалық механикада қозғалыс интегралдары деп жүйенің қозғалысы кезінде тұрақты мәндерін сақтап қалатын динамикалық айнымалыларды айтады. Мысалы, тұйықталған жүйелер жағдайында қозғалыс интегралдары толық энергия, импульс проекциясының үш құраушысы, импульс моментінің үш құраушысы болып табылады. Барлық тұйықталған жүйелер осы қозғалыстың жеті әмбебап интегралдарына ие болады. Қозғалыс итегралдарының толық саны еркіндік дәрежелерінің екі еселенген санына тең. Кванттық механикада, шамасы бөлшектің немесе бөлшектер жүйесінің қозғалыс интегралы болу үшін екі шарт орындалу керек: Бөлшектің бұл күйінде шамасы белгілі бір мәнге ие болуы керек. Бұл белгілі бір мән уақытқа тәуелді болмауы керек. Егер шамасы белгілі бр мәнге ие болса, онда оның орташа мәні белгілі мәнмен сәйкес келеді. Сондықтан да (6) және (7) формулаларынан көретініміздей, егер болса, онда (7) операторы нөлге тең болады. Егер де және операторлары жеке жеке нөлге тең болмай , ал олардың қосындысы нөлді беретін болса, онда бұл жағдай ақылға сыймайтын болар еді. Сондықтан да (7) операторының нөлге теңерілуінен мынаны аламыз: (10) және (11) Сондыұтан динамикалық айнымалы қозғалыстың кванттық механикалық интегралы болуы үшін, оның операторы уақытқа тәуелді болиауы керек және де гамильтонианмен коммутирленуі керек. Бірнеше динамикалық айнымалылар (10) және (11) шарттарын қанағаттандырады деп елестетейік. Осы барлық шамалар бір уақыттта қозғалыс интегралдары болуы үшін, әбір шамасы үшін (10) және (11) шарттарының орындалуы жеткілікті ме? Жоқ, жеткілікті емес! Екі шама бір уақытта белгілі бір мәнге ие болуы үшін олардың операторлары коммутирленуі керек екенін біз білеміз. Сондықтан да бірнеше динамикалық айнымалы бір уақытта қозғалыс интегралдары болуы үшін олардың операторлары (11) шартына сәйкес тек қана толық энергия операторымен коммутирленіп қана қоймай, олар өзара да коммутирленуі керек. Операторлары уақытқа тәуелді емес, гамильтонианмен коммутирленетін, бірақ та өзара коммутирленбейтін, бірнеше динамикалық айнымалыларды алатын болсақ, онда олардың ішінен тек қана гамильтонианмен ғана емес, сонымен қатар бір бірімен коммутирленетін динамикалық айнымалылар тобын таңдап алу қажет, сонда ғана бұл динамикалық айнымалыларды қозғалыс интегралдары деп есептеуге болады. Біз білетндей кванттық механикада күй өлшеу тәсіліне тәуелді, яғни өлшеу құралы тек қана күй параметрлерін өлшеп қана қоймай, ол сонымен қатар күйді өзгертеді де орнықтырады. Осылайша жүйеге әсер ететін құрал қозғалыс интегралдары ретінде қай шамаларды алуға болатындығын орнықтырады. Мысалға, жоғарыда көрсетілгендей , қозғалыс мөлшері моментінің квадратының операторы қозғалыс мөлшері моментінің проекция операторларымен коммутирленеді, бірақ соңғылары өзара коммутирленбейді ары қарайда центрлі симметриялық өрісте , , , операторлары гамильтонианымен коммутирленетіндігін көрсететін боламыз. Егер жүйені осімен бағытталған, өріске орналастыратын болсақ, онда ол анықталған мәнді, бірақ та анықталмаған және мәнді күйге өтеді. Дәл осылай жүйені біз анықталған және бар күйге ауыстыра аламыз, бірақ та векторының 2 және 3 проекциясы белгілі бір мәнге ие болатын күйді құру мүмкін емес. жүктеу/скачать 1.13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|