Динамикалық айнымалылардың орташа мәндері
§9 Қозғлыстың кванттық теңдеулері. Эренфест теоремасы
жүктеу/скачать 1.13 Mb.
|
| §9 Қозғлыстың кванттық теңдеулері. Эренфест теоремасы.
Бұл параграфта классикалық және кванттық механика арасындағы байланыс анықталады. Сәйкестік принципі бойынша, ескі теорияға қарағанда физикалық шынайылықтың толығырақ сипаттамасын беруге лайықты әрбір жаңа теорияға шекаралық немесе жекеше жағдай ретінде ескі теорияның негізгі жағдайларымен нәтижелері енуі керек. Сәйкестік принципі физиканың обьективті және салыстырмалы ақиқат туралы диалектикалық материализм ілімінің нақты өрнегі болып табылады. Тәжірибелік фактілермен дәлелденген әрбір физикалық заң обьективті ақиқат болып табылады, сондықтан да ғылымның ары қарайғы дамуында жоққа шыарылмайды. Бірақта физикалық заңдар (ортақ немесе жалпы, мысалы, энергия және импульстің сақталу заңдарын санамағанда) нақты қозғалыс формаларына, нақты материалдық обьектілерге жатады. Сондықтан да физикалық заңдардың қолданылуы шектеулі болады. Осы мағынада олар салыстырмалы ақиқат болады. Жаңа теорияда ескі теорияның заңдарын қолдану шекарасы нақты қойылады, бірақта бұл заңдар тек қана алынып тасталынбай, олар жаңа теорияға жекеше немес шекаралық жағдайларда орынды заңдар ретінде енеді. Осы тұрғыдан кванттық және классикалық механика арасындағы қатынасты қарастыру керек. Кванттық механика микробөлшектердің қозғалыс теориясы, ал классикалық механика микроскопиялық денелердің қозғалыс теориясы. Бөлшектің массасы артқанда, кванттық механика негізінде алынған қорытындылар классикалық механика негізінде алынған қорытындыларға жуық болуы керек. Алайда, шындығында, классикалық механиканың қолданылу аумағына ауысу шарты біршама күрделірек әрі тек қана бөлшектердің массасына ғана тәуелді емес. Белглі шарттарда тіпті электрондар қозғалысын да классикалық механика заңдарымен сипаттауға болады (мысалға, Вильсон камерасында электрондар траекториясын қарастыруға болады), сондай ақ өте ауыр бөлшектер болып келетін, ядролардың қозғалысын ылғи классикалық механика негізінде қарастыра алмаймыз. Кванттық механикада материалдық нүкте қозғалысының классикалық теңдеулеріне, динамикалық айнымалыларының орташа мәндері мен олардың операторлары арасындағы қатынастар сәйкес келетіндігін көрсетейік. Бұл үшін бөлшектердің уақыт өте келе координаттары мен импульстерінің өзгерістерін қарастырайық. Координаттар мен импульстер операторлары уақытқа тәуелді емес екенін ескере отырып алатынымыз: , , (1) , , (2) Мұнда Гамильтон операторы мына түрде сипатталады (3) мәнін өрнектеп көрейік. Х координатасы гамильтониан өрнегіндегі тек бір мүшемен ғана, нақты айтсақ мүшесімен коммутирленбейді. Сондықтан (4) формуласына сәйкес, мынаны аламыз: және (5) (5) формуласын (4) өрнегіне қойып алатынымыз: (6) мәні бөлшек жылдамдығын құрайтын оператор болып табылады. Осылайша, бөлшектің импульсі мен жылдамдығы құрайтын оператолар арсындағы қатынас, классикалық механикада жылдамдық пен импульстің құраушылары арасындағы қатынастарға ұқсас болып келеді. Ары қарай мәнін есептейік. операторы кинетикалық энергия операторымен коммутирленеді, бірақ потенциалдық энергия операторымен коммутирленбейді. Сондықтан (2) формуладағы Пуссон тік жақшасы мына түрге келеді: (7) Классикалық механикадан білетініміздей потенциалдық өрістегі бөлшекке әсер ететін күштің құраушысы. Сондықтан да (7) формуласы операторы үшін Ньютонның ІІ заңын тұжырымдайды. (6) және (7) формулаларына ұқсас өрнектер, импульстер мен координаттардың басқа да құраушыларының уақыт бойынша туындылары үшін, де орынды. (6) және (7) операторлары теңдіктерінен сәйкесінше тікелей орташа мәндер үшін теңдіктер алынады: (8) (9) (8) және (9) теңдіктері Эренфест теоремасын өрнектейді: динамикалық айнымалылардың кванттық механикалық орташа мәндері үшін, қозғалыс теңдіктері мен классикалық механиканың басқа да қатынастары ақиқатты болады. Бұл теореманы біз декарттық координат жүйесінде бір ғана бөлшектің қозғалысын сипаттау жағдайы үшін дәлеледік. Осыған ұқсас қорытындыларды кезкелген жалпыланған координаттар мен импульстер көмегімен бір немесе көптеген бөлшектер қозғалысын сипаттау кезінде де жасауға болады. (9) өрнегінен классикалық механиканың қолданылу аумағын тауып алу қиын емес. Егер де бөлшекті локалдау аумағында ( мәні нөлден едәуір өзгеше болғанда) күшті құраушының мәні әлсіз өзгеретін болса, онда мәнін тұрақты шама деп есептеп, (9) формуласында интеграл белгісінің алдына шығаруға болады: (10) шамасын, бүкіл масса шоғырланған бөлшектің массалар центрінің импульсі ретінде қарастыруға болады. Осылайша, біз массалар центрінің қозғалысы үшін Ньютонның ІІІ заңының қарапайым теңдігін аламыз. Бұл, мысалға, Вильсон камерасындағы бөлшектің қозғалысы кезінде орынды, ал егер де атомдағы электронның қозғалысы қарастырылатын болса, онда потениалдық энергия мен күш атом шеңберінде өте тез өзгереді, сондықтан да шамасын (9) формуласында интеграл таңбасының алдына шығаруға болмайды. Бұл жағдайда классикалық механика заңдарын қолдана алмайтындықтан, қозғалысты сипаттау үшін кванттық механика заңдарын пайдалануға тура келеді. Осы орайда Эренфест мысалдарын қарастыруды ұсыамыз. жүктеу/скачать 1.13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|