Дербес жағдайдан жалпы жағдайға өту әдісі

1. теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.

Демек, -натурал сан, , . мәнін (2) теңдеуге қойсақ, теңдігі шығады. Бірақ

сондықтан

болады.Ал бұлай болу мүмкін емес. Осы себепті (1) теңдеудің 1-ақ шешімі бар: (0,0).

Егер теңдеудің сол жағында 3 түбір белгісі болса, мына теңдеуді аламыз:

, (3)

,

, . (4)

(4) теңдеу (1) теңдеуге ұқсас, сондықтан (3) теңдеудің де 1-ақ шешімі бар: (0,0). Ары қарай осылай жалғастыра берсек, берілген теңдеудің жалғыз (0,0) шешімі бар деген қорытындыға келеміз.

2. Кез-келген мәні үшін

теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеу керек.

Кез-келген үшін

сандары бар болсын және тақ саны

теңдігін қанағаттандырсын. үшін ұйғарым дұрыс, деп алу жеткілікті. Ұйғарым кейбір мәні үшін дәлелденсін. Сәйкесінше сандар жиынын қарастырайық және

деп ұйғарайық. Мұндағы тақ және болғандықтан, және . Сонда

сандар жиыны үшін

теңдіктері орынды болғандықтан, тұжырым үшін де дұрыс.

3. сандары берілсін, әрбір мәні үшін және сандары өзара жай болсын.

теңдеуінің натурал сандар жиынында шексіз көп шешімі бар екенін дәлелдеу керек.

сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырады. Ал енді болса, қалдықтар туралы теоремаға сәйкес, шексіз көп сандары бар болады және мына шартты қанағаттандырады:

Сонымен санының әрбір мәніне

натурал сандары сәйкес келеді және олар өз кезегінде

белгісіздер тізбегін құрайды. Алынған әрбір тізбек теңдеуді қанағаттандырады, себебі:

Әрбір мәні үшін, әртүрлі мәндеріне әртүрлі белгісіздер тізбегі сәйкес келеді. Сондықтан берілген теңдеудің натурал сандар жиынында шексіз көп шешімі бар.

1. теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.

а) болғанда, теңдеудің шешімі жоқ екенін көреміз:

б) болғанда

Ал болғандықтан, теңдеудің 2 шешімі бар: (2,3,6); (2,4,4).

в) болғанда, түрлендіруден соң

теңдігін алмыз. Егер , онда . Осыдан (3,3,3) шешімдерін табамыз. Егер , онда . Осыдан

теңсіздігі шығады. Бірақ бұл теңсіздік мүмкін емес.

г) үшін және , сонымен қатар келесі теңсіздік орынды:

Бұлай болу мүмкін емес. Сонымен үшін теңдеудің 3 шешімі бар:

(2,3,6); (2,4,4); (3,3,3). Ал олай ұйғармайтын болып, қалған 8 шешімін табамыз: (4,2,4); (4,4,2); (2,6,3); (3,2,6); (2,4,4); (3,6,2); (6,2,3); (6,3,2).

2. Сондай натурал сандар жұбын табыңдар, олардың әрқайсысының қосындысы 1 санымен бірге екінші санға бөлінетіндей.

Ал және болғандықтан, келесі теңсіздікті аламыз:

Осыдан бүтін саны мына 3 мәннің біреуін қабылдайды: 1,2,3.

а) болғанда

теңдеуінің шешімі: (1,1).

б) ; . Шешімі жоқ.

в) ; . Теңдеудің (2,3) шешімі болады.Сонымен берілген теңдеудің 3 шешімі бар: (1,1); (2,3); (3,2).

3. теңсіздігін қанағаттандыратын кез-келген мәні үшін

жүйесінің теріс емес бүтін сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеу керек.

Келесі теңдікті:

пайдаланып, мына қатынасты аламыз:

Егер болса

сонда . Ал болса

сонда , сондай-ақ немесе . Егер болса

сонда , сондай-ақ . Ал 3 болса

сонда , сондай-ақ . Енді 4 болғанда

сандары мына теңдіктерді қанағаттандырады:

демек, берілген жүйені де қанағаттандырады.

4. Әрбір жай саны үшін

теңдеуінің шешімдері жоқ екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: Егер кейбір саны үшін

саны бүтін болса, онда бұл сан 5-тен аспайды немесе құрама сан болады. Шындығында, егер болса онда саны бүтін емес. Ары қарай, және үшін , . Егер , болса, онда

саны да құрама болады, оның әрбір көбейткіші 1-ден үлкен, ал болғанда . Демек, егер жай сан болса, онда теңдігі ешқандай мәні үшін орындалмайды.

5. 
   Тақтада
   

теңдеуі жазылған. Екі ойыншы ойын ойнап жатыр. Бірінші ойыншы кез-келген бос орынға нөлден өзге бүтін санды жазады. Одан соң екінші ойыншы қалған бос орынның біреуіне бүтін сан жазады. Ақыры, бірінші ойыншы соңғы бос орынға бүтін сан жазады. Екінші ойыншының жүрісіне байланыссыз, шыққан теңдеудің 3 түбірі де бүтін сандар болатындай етіп бірінші ойыншы ойнай алатынын дәлелдеңдер.

5. 
   Жалғыздылық әдісі
   

теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.

...............................

Шыққан теңсіздіктер ,, мәндерінде теңдікке айналады. Мүшелерін жеке-жеке көбейтсек, мына теңсіздікті аламыз:

Демек, ,, екені келіп шығады. Сондықтан берілген теңдеудің жалғыз шешімі бар: .

теңдеуінің бүтін сандар жиынында төрттен артық шешімі болмайтынын дәлелдеу керек. Қандай да мәндері үшін әртүрлі төрт шешімі болатынын анықтау керек.

теңдеуі

теңдеулер жүйесіне пара-пар, мұндағы , теңдігін қанағаттандырады. Мұндай жүйенің 1-ден артық шешімі болуы мүмкін емес, себсбі: белгісіздердің мәндері бұл жүйеден бірмәнді анықталады:

Әртүрлі бүтін жұбы төртеу-ақ: (1,2); (-1,-2); (2,1); (-2,-1). Сондықтан әртүрлі сандар жұбына белгісіз әртүрлі жұптары сәйкес келеді. Демек, біздің ізделінді теңдеуіміздің төрттен артық шешімі болалмайды, сонымен қатар шешімдер саны төртеу болады, сонда тек сонда ғана, түріндегі әрбір сан бүтін болса және . Ол үшін мына айырым:

бүтін болуы қажет, сонымен қатар 2. Егер , онда саны бүтін болады, сонда тек сонда ғана, саны тақ болса. Теңдеудің 4 шешімі болады, егер де келесі шарттар орындалса:

З. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

егер де тақ болса, онда

16 санына бөлінеді, сондай-ақ

Теңдеудің сол жағын 16-ға бөлгендегі қалдық тізбегінің тақ сандарына тең, сондай-ақ 14-тен аспайды. Басқаша қарастырғанда да

1599=1600-1=15 (mod 16),

демек, теңдеудің оң және сол жағындағы теңдік белгісіздердің ешқандай бүтін мәнінде мүмкін емес.

4. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: теңдеудің шешімі болады. Теңдеудің тағы басқа шешімі бар деп ұйғарайық. Сонда теңдеудің оң жағы 4-ке бөлінеді. Қарсы жағдайда, және тақ сандар, одан

(mod 4), (mod 4), (mod 4)

немесе жұп үшін

теңдігі, ал тақ болғанда

теңдігі шығады, сондай-ақ мүмкін емес. Теңдеудің сол жағы 4-ке бөлінеді, сонда тек сонда ғана, егер сандарының әрқайсысы жұп болса (немесе сол жағын 4-ке бөлгендегі қалдық тізбегіндегі тақ сандар өлшеміне тең), сондықтан , , , сонымен қатар

Соңғы теңдеудің сол жағы 4-ке бөлінеді, осыдан аналогиялық пайымдау арқылы , , және

теңдеуін аламыз. Осылай жалғастыра берсек, бүтін сандар тізбегін аламыз:

мұндағы . Бірақ нөлден басқа ешқандай бүтін сан екінің кез-келген дәрежесіне бөліне алмайды, сондықтан сандарының әрқайсысы нөлге тең. Демек, теңдеудің тек қана жалғыз шешімі бар.

5. 
   Кез-келген өзара жай сандары үшін және кез-келген
   

теңдеуінің бүтін оң сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеу керек.

шартын қанағаттандыратын бүтін саны бар болады. Сондықтан кейбір мәндері үшін болады. Сондай-ақ , онда

Ақыры,

теңсіздігінен

сондай-ақ екенін көреміз. Осылай сандар жұбы берілген теңдеудің шешімін береді.

5. 
   Егер саны тақ болса
   

теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімі болатынын дәлелдеңдер, сонда тек сонда ғана, егер үшін болса.

теңдігі орындалады. Сондай-ақ теңдеудің шешімдері болады. Ал енді , сандары теңдеуді қанағаттандырсын, мұндағы , -тақ сандар. Егер болса, онда

саны болғанда ғана тақ болады, олай болу мүмкін емес. Сондықтан және тақ сандарының қосындысы 4 санына бөлінеді, демек, олардың әрқайсысын 4-ке бөлгенде әртүрлі қалдық береді. Егер түріндегі барлық жай сандар сандарының бірдей дәрежелі жай көбейткіштерге жіктелуіне кірсе, онда (mod 4) орындалар еді, бұл дұрыс емес. Осыдан келіп

шартын қанағаттандыратын жай саны бар болады, мұндағы сандары санына бөлінбейді. Енді болсын, сонда және

саны санына бөлінеді де, мына түрге келеді:

Дәлелдеу осымен аяқталды.