ІІ Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешудің әдістері

1. 
   Жоғары дәрежелі теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешіңдер:
   

болғандықтан берілген теңдеу және теңдеулері жиынтығымен мәндес болады. Мұнда бірінші теңдеудің түбірі ,ал екінші теңдеудің бүтін сандар жиынында шешімі болмайтындықтан, берілген теңдеудің жалғыз бүтін шешімі бар: -2.

2. теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек, мұндағы және жай сандар.

Шешуі: Берілген теңдеуді түрінде жазамыз. сандарының тақ немесе жұптығы әртүрлі және болғандықтан, болады. Сонымен қатар, саны -қа бөлінуі керек, ал саны -қа бөлінбегендіктен (-жай сан), саны -қа бөлінуі керек. Ал бұл қатынас болғанда ғана орындалады.Сонымен -жай сан және немесе . Бұл теңдік және болғанда ғана орындалады. Онда және =3.

3. теңдеуінің барлық бүтін түбірлерін табу керек.

Соңғы теңдіктен және 10 санының бөлгіштері екендігі шығады. Ал 10 санының 8 бөлгіші бар: Осыдан 8 теңдеулер жүйесі шығады:

Теңдеулер жүйесін шешсек, берілген теңдеудің 8 бүтін шешімі бар екенін көреміз: (-2,12); (-4,-8); (-1,7); (-5,-3); (2,4); (7,3); (-8,0); (-13,1).

4. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек, мұндағы -жай сан.

Шешуі: десек,

теңдеуі шығады. Ал -жай сан болғандықтан, санының 6 бөлгіші бар: Сонымен 5 теңдеулер жүйесі шығады:

Теңдеулер жүйесін шешсек, берілген теңдеудің 5 шешімі бар екенін көреміз: ; ; ; .

5. теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.

Ескереміз, (әйтпесе тақ саны 2 санының бөлгіші болар еді), сондықтан және , сондай-ақ . Тексеру барысы жалғыз мәні тек қана болғанда теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетеді.

6. теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін және сандар жұбын табу керек.

Шешуі: Теңдеудің екі жағын да 4-ке көбейтіп, оған 1-ді қоссақ,

теңдігін аламыз. Егер -бүтін және -1,0,1,2 сандарына тең болмаса, онда және , сонымен қатар

Бұл теңсіздіктер санының қатарлас екі санның квадраттарының арасында жатқандығын көрсетеді, ал бүтін саны үшін бұлай болу мүмкін емес. Теңдеуге =-1,=0,=2 мәндерін қойсақ, есептің жауаптарын аламыз:

(0,-1); (0,0); (-1,-1); (-1,0); (5,2); (-6,2).

7. теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.

Егер соңғы квадрат теңдеуді шешсек, екендігі шығады, сондықтан 1, 2, 3 мәндерін қойып, келесі квадрат теңдеулерді шешеміз:

8. 33 теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Берілген теңдеудің бүтін шешімі бар деп ұйғарайық. Мұндағы , себебі: . Егер , онда , +, -, + 2, -2 сандары өзара бөлек сандар. Сондықтан 33 санын 5 көбейткішке жіктеу керек, бірақ 33 саны өзара бөлек ең көбі 4 көбейткішке жіктеледі:

Демек, бұл теңдеудің шешімдері жоқ.

1. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

а) , , ; сандарының ең үлкен оратқ бөлгіші болсын. Демек, , , және -өзара жай сандар болады. Алынған мәндерді белгісіздерінің орнына қойсақ, мынандай теңдеу шығады:

мұндағы , -жұп сандар болғандықтан, -жұп сан болады. Демек, -жұп сан, болады. Ал ауыстыруын (1) теңдеуге қойып, қысқартсақ теңдеу мына түрге келеді:

Демек, сандарының ортақ бөлгіші 2 екені көрініп тұр және өзара жай сандар екеніне қарама-қайшы.

б) сандарының біреуі нөлге тең болсын. Мысалы, , онда теңдеуін аламыз. Егер сандарының біреуі нөлге тең болса, екіншісі де нөлге тең болады. Егер және нөлге тең болмасын деп алсақ, а пунктіндегі қарама-қайшылыққа келеміз. Демек, берілген теңдеуіміздің бір-ақ шешімі бар: (0,0,0).
2. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: сандары теңдеуді қанағаттандырсын, сонда

мұндағы . Егер , онда

Демек, саны екі қатарлас натурал сандардың квадраттарының арасында жатуы керек, бірақ бұлай болу мүмкін емес. Сондықтан теңсіздігінен екендігі шығады. Ал

мәндерін кезегімен қойсақ, саны бүтін санның квадраты болады, егер де мына сандарға тең болса: -9,-8,-7,-4,-1,0,1. Осылай берілген теңдеудің барлық шешімдерін табамыз: (-9,12); (-9,-12); (-8,0); (-7,0); (-4,12) (-4,-12); (-1,0); (0,0); (1,12); (1,-12).

3. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: Теңдеуді сандар жұбы қанағаттандырсын, деп ұйғарайық. Сонда

,

демек, саны бүтін бола алмайды, себебі:

Осындай қайшылыққа болғанда да кездесеміз. Шындығында, бұл жағдайда , демек,

осыдан шығатын қатынас ешқандай бүтін үшін орындалмайды. Ары қарай, болғанда теңдеу мүмкін емес теңдігіне айналады. Соңында, үшін теңдігін аламыз. Теңдеудің шешімі: , .

4. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: Қандай-да бір сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырсын. Алдымен деп ұйғарайық, сонда

.

Сондықтан , және

болғандықтан , ал саны қатарлас екі санның арасында жатуы мүмкін емес. Енді деп ұйғарайық, сонда , сандар жұбы бастапқы теңдеуді қанағаттандыратынын көреміз:

Бірақ жоғарыда дәлелденгендей десек, қайшылыққа келеміз. Сондықтан -2 деп бағалаймыз, осыдан теңдеудің жалғыз шешімін аламыз: , .

5. теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімдері шектеулі болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі: Берілген теңдеудің шешімі болсын, мысалы, . Ал енді, ізделінді теңдеуді және теңсіздігін қанағаттандыратын сандар тізбегінің шектеулі жиыны бар болсын. Шындығында, кез -келген мұндай тізбек үшін, мына қатынас орындалады:

, ,

осыдан келіп, теңсіздігі шығады. Сондықтан белгісіз шамасы санынан артық мән қабылдамайды. Әрбір шамасы үшін

осыдан

және белгісіз шамасы санынан аспайды. Егер де және белгілі болса, онда белгісіз шамасы теңдеуден бірмәнді анықталады. Демек, шартын қанағаттандыратын шешімдер санынан аспайды.

6. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: сандар тізбегі теңдеудің шешімі болады. Ал енді теңдеудің басқа да шешімдері болсын деп ұйғарайық. Олардың ішінен сондай тізбегін таңдаймыз,

шамасы ең кіші мән қабылдайтындай. Әрбір үшін орынды: , , сонда

Сондықтан санын 4-ке бөлгендегі қалдық (не 0-ге тең, не 1, не 2), санын 4-ке бөлгендегі қалдықпен (не 0-ге, не 3-ке тең) сәйкес келеді, сонда тек сонда ғана, егер әрбір сандары жұп болса. Сондай-ақ , , , мұндағы . Бастапқы теңдеуге алып барып қойсақ, болады. Сонымен қатар

шамасы шартын қанғаттандырады, бұл сандар тізбегін таңдауға қайшы. Сондықтан берілген теңдеудің жалғыз шешімі бар.

7. теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімдері жоқ екенін дәлелдеу керек.
Шешуі: сандары теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарайық. Сонда біздің теңдеуіміз былайша жіктеледі:

.

Сонымен қатар

өзара жай сандар немесе тақ сандар және

Сондықтан

теңдіктерін қанағаттандыратын сандары табылады және

Осыдан

теңсіздігін аламыз. Алынған қайшылық есептің шартын дәлелдейді.

8. Кез-келген , үшін

теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек.

ал одан

теңдігін аламыз. Сондықтан жұп сан, ал үшін тақ болғанда (mod ) болуы керек еді, онда және , бұлай болу мүмкін емес. Ары қарай, Ньютон биномына сүйенсек, жұп болғанда келесі салыстырулар орынды:

Осыдан келіп (mod ), шығады. Шыққан теңдікті және сандарына бөлсек,

қатынасын аламыз. Басқа жағынан Бернулли теңсіздігіне сүйеніп,

теңсіздігін аламыз. Алынған қайшылық бастапқы теңдеудің шешімі жоқ екенін дәлелдейді.

9. теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: Кейбір сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырсын деп ұйғарайық. Онда жұп сан болады. Шындығында, қарсы жағдайда

(mod 4),

осыдан

болуы мүмкін емес. Ал санының жұптығынан

екендігі шығады, сондықтан

Енді

деп белгілейік, сонда теңдеуден мынаны аламыз:

осыдан

Ескерейік, санының жай бөлгіштерінің ең болмағанда біреуі түрінде болады, мұндағы . Шындығында, саны тақ болғандықтан, оның барлық жай бөлгіштері тақ болады. Сонымен

сондықтан

Біз Ферма теоремасына қайшы келдік, теорема бойынша

болуы керек еді. Есептің шарты дәлелденді.