ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

13. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Усовершенствована статистическая теория нелинейных волн в системах, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Выделены два класса этих систем: «слабо интегрируемые» (КП-1, уравнение трех волн) и «сильно интегрируемые» (КдВ, НУШ, КП-2). При этом статистическая теория слабоинтегрируемых систем дается кинетическими уравнениями весьма специального вида. Сильно же интегрируемые системы имеют множество термодинамически равновесных состояний. Все корреляционные функции для них являются действительными. Кинетика сильноинтегрируемых систем – это приближение к одному из равновесных состояний, которое описывается системой уравнений для нескольких корреляционных функций низких порядков. (ФИАН)

Рассмотрены конкретные примеры нелинейных динамических систем из областей механики и экономики, включая классический пример Э. Хопфа. Все эти системы описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа и имеют в качестве аттракторов, при подходящем изменении параметров, инвариантные торы сколь угодно высоких размерностей. Получен ряд строгих математических результатов, связанных с теорией развития турбулентности по Ландау. Анализ этих примеров в некоторых случаях позволяет придать строгий смысл понятию «турбулентный аттрактор» и выявить основные свойства такого аттрактора, среди которых следует отметить фрактальность и бесконечномерность. (МИАН)

Исследована гамильтонова система с быстрой и медленной степенями свободы в предположении, что при фиксированных значениях медленных переменных на плоскости быстрых переменных имеется сепаратриса. При некоторых условиях симметрии в традиционно считающейся хаотической области пересечения сепаратрисы доказано существование большого количества устойчивых периодических траекторий. При этом суммарная мера соответствующих островков устойчивости имеет порядок единицы. Изучена задача о существовании эллиптических периодических траекторий внутри сепаратрисных лунок, ограниченных отрезками устойчивой и неустойчивой сепаратрис гиперболической неподвижной точки. Доказано, что такие траектории существуют в типичных симплектических отображениях, произвольно близких к интегрируемым. Причем эллиптические периодические траектории, как правило, порождают островки устойчивости. Площадь такого островка оказывается того же порядка, что и площадь лунки. (МИАН)

Предложена гипотетическая картина массивных возбуждений 4-мерного поля Янга-Миллса в виде замкнутых заузленных струн. Такая интерпретация основывается на разновидности нелинейной 4-мерной сигма-модели. (ПОМИ)

Рассмотрены нелинейные уравнения с самосогласованными источниками, полученные из солитонных уравнений добавлением членов квадратичных по собственным функциям ассоциированных линейных операторов. Ранее они были введены в работах Мельникова и Захарова-Кузнецова. На примере периодических решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили с самоподобными источниками показано, что эти уравнения не являются изоспектральными, но сохраняют все мультипликаторы Флоке ассоциированного линейного оператора. При этом деформация спектральной кривой сводится к появлению и исчезновению кратных точек и поэтому все законы сохранения исходного солитонного уравнения, которые выражаются в терминах мультипликаторов Флоке, остаются законами сохранения и уравнения с самоподобными источниками. Впервые этот эффект был установлен для конформных потоков на пространстве погруженных торов в трехмерном евклидовом пространстве. (ИТФ РАН, ИМ СО РАН)

Построено приводимое представление фактор алгебры Гекке, так называемой алгебры Темперли-Либа, в тензорном произведении n-мерных пространств. Это эквивалентно существованию R-матрицы Гекке с проектором ранга 1. Найдена квантовая алгебра симметрии соответствующей спиновой системы с кольцом представлений, которое изоморфно кольцу представлений алгебры Ли sl_2. Спектр энергии спиновой системы совпадает со спектром цепочки XXZ спинов 1/2. (ПОМИ РАН)

Впервые показано, что в двухкомпонентной среде реакционно-диффузионного типа возможно существование неодномерных устойчивых локализованных структур. Последние представляют собой уединенные группы элементов в состоянии синхронной активности на фоне остальных элементов в состоянии покоя. Ключевое значение для формирования таких структур имеет свойство автоколебательности элемента среды и наличие у него двух порогов возбуждения. Такие параметры как ширина, высота и профиль структур могут быть как постоянными (стационарные структуры), так и изменяться во времени (нестационарные структуры). Установлено, что ширина и высота структур изменяются во времени периодически, квазипериодически и хаотически. Показано, что существование нестационарных структур связано с подавляющим и перезапускающим свойствами границ среды. Полученные результаты имеют значение для понимания процессов обработки и передачи информации в нейронных сетях, для формирования структур в гелях, микроэмульсиях, жидких кристаллах, гранулированных материалах и др. (ИПФ РАН)

Показано, что в результате взаимодействия ударной волны от взрыва сверхновой со звездой-компаньоном формируется токовый слой. Решена нелинейная задача формирования такого слоя и генерации сверсильных магнитных полей. Рассмотрена также его нелинейная эволюция после прохождения ударной волны. Показано, что особенность (опрокидывание) возникает за конечное время в рамках идеальной магнитной гидродинамики (МГД). Заряженные частицы (электроны) ускоряются вблизи особенности, а их функция распределения постоянна вплоть до энергий порядка 10⁴ mc². Эти ускоренные частицы излучают в гамма-диапазоне в сильном магнитном поле токового слоя (B = 10⁶ Гаусс). Излучение сильно коллимировано относительно токового слоя, направленность – 3·10^-4, и максимум в его спектре достигается при энергиях порядка нескольких сотен кэВ. Таким образом подтверждается модель, предложенная Истоминым и Комбергом в 2002 г. для объяснения космологи-ческих гамма-всплесков. (ФИАН)

Проведено исследование коллапса – образование точек с аномально большой величиной поля, имеющее место при распространении волновых пучков в средах с мгновенно релаксирующей кубичной нелинейностью диэлектрической проницаемости. Для описания полей в таких средах использовалось нелинейное параболическое уравнение. Основная идея работы заключается в утверждении того, что поведение поля вблизи особенности зависит от поля на «крыльях» пучка. Показано, что различное поведение поля вблизи фокальной точки, полученное разными авторами, объясняется их предположениями о структуре поля на крыльях пучка. Получены численные решения нелинейного параболического уравнения, показывающие зависимость поведения поля вблизи особенности от всей мощности пучка. А также проведено исследование много волновых взаимодействий в квазипериодических системах. (ИПФ РАН)

Показано экспериментально и теоретически, что приложение умеренных напряжений (0.1–1) kV, к кристаллам LiNbO₃:Fe при достаточно высоких температурах, T = 550–700^°C, приводит к формированию ультра-медленных ударных волн электронной плотности благодаря удалению электронов с центров Fe²⁺. Позади резкого фронта ударной волны почти все ионы железа находятся в состоянии Fe³⁺, образец оптически прозрачен, а его транспортные свойства сильно модифицированы. Скорость фронта уменьшается при распространении и определяется электронной подвижностью. Зарядовая компенсация осуществляется благодаря термоактивированному вкладу ионной проводимости. (ИАиЭ СО РАН)

Впервые найдены стационарные и динамические топологические солитоны с конечной энергией и ненулевым индексом Хопфа в ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось» путем численного интегрирования, а также определена их структура и области существования.

С помощью оригинальных численных алгоритмов детально исследованы неподвижные и динамические солитоны в одноосном ферромагнетике, которые классифицируются гомотопическими классами ?3(S2)=Z и характеризуются топологическим инвариантом Хопфа. Показано, что для таких устойчивых структур вектор намагниченности в центре и на бесконечности направлен вдоль оси анизотропии. Энергия солитона сконцентрирована внутри торообразной аксиально-симметричной поверхности. Характерные размеры солитона опреде-лены параметром ширины доменной стенки. Стационарные солитоны существуют при частоте прецессии меньше частоты ФМР. Предсказаны и изучены прецес-сионные солитоны, движущиеся с постоянной скоростью вдоль оси анизотропии. Характерным изменением структуры в этом случае является увеличение размеров области локализации солитона в направлении перпендикулярном оси анизотро-пии. Эти исследования представляют как академический, так и технический интерес в связи с работами по созданию новых устройств памяти на тополо-гических солитонах в одноосных ферромагнетиках. Найденные локализованные структуры могут найти применение в устройствах записи информации, если будут разработаны механизмы генерации и управления их свойствами, как это в настоящее время выполнено для магнитных вихрей. Это дало бы потенциальную возможность записи информации в трехмерных образцах. (ИФМ УрО РАН)

Исследовано свойство стабильности в задачах о сближении: в задаче о сближении стационарной управляемой системы с терминальным множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени и в соответствующей задаче о сближении с нефиксированным моментом окончания. С использованием конструкций негладкого анализа получены критерии совпадения множеств разрешимости (максимальных стабильных мостов) в этих задачах. (ИММ УрО РАН)

Предложен подход, позволяющий ввести характеристики «долгосрочного» воздействия процессов друг на друга в условиях дефицита данных. Предложен набор параметров процедуры оценки причинности по Грейнджеру, обеспечивающий ее применимость при анализе нелинейных колебательных процессов по коротким временным рядам. Предложены новые оценки для выявления и количественной характеристики направленных связей в ансамбле осцилляторов по временному ряду и характеристики нелинейной связи между осцилляторами при высокой степени нелинейности. (ИФА РАН, Саратовский филиал ИРЭ РАН)

Проанализирован вопрос о точности усредненного пондеромоторного описания движения заряженных частиц в высокочастотных плавно неоднородных электромагнитных полях в нерелятивистском приближении. В рамках гамильтоновой теории возмущений, с помощью техники канонических преобразований приведен вывод усредненных уравнений движения. Найдены поправки к пондеромоторному потенциалу, в том числе инерционные, то есть, зависящие от дрейфового импульса. А также показано, что изменение энергии частицы после взаимодействия с полем экспоненциально мало по параметру адиабатичности \omega L\v. (ИПФ РАН)

Для развитой гидродинамической турбулентности разработана последова-тельная статистическая теория, основанная на анализе уравнений Навье-Стокса, которая позволила построить лагранжевы структурные функции флуктуаций скорости K_n(t) в инерционном интервале. Вплоть до n=10 теория прекрасно согласуется с экспериментом (Bodenschatz 2007).

Разработанная теория позволяет построить лагранжевы структурные функции скорости K_n(t)=<|v(t+t')-v(t')|ⁿ>. На временах t, малых по сравнению с корреляционным временем t_c крупномасштабной турбулентности, они подчиняются скейлинговым соотношениям K_n(t) ~t^{?_n}. Получены аналитические выражения для параметров ?_n, при больших n существенно отличающиеся от значений по теории Колмогорова (1941), что свидетельствует о сильной перемежаемости турбулентности. Проведено детальное сопоставление теории с результатами экспериментов. Продемонстрировано их полное количественное согласие. Введено новое понятие в теории турбулентности: пространственные корреляции положений точек вдоль лагранжевой траектории R_n(t). Показано, что все высшие корреляторы положения R_n при n>3 имеют универсальный скейлинг. (ФИАН)

Впервые сформулированы количественно некоторые критерии возникновения интенсивных атмосферных вихрей – ураганов, что объясняет многие известные факты. Так критерий возникновения объясняется диаграммой зависимости разности температур между океаном и атмосферой и влажностью атмосферы, что определяет целую область возможного возникновения на этой плоскости параметров. (ИФА РАН)

Исследовано хаотическое орбитальное движение 16-го и 17-го спутников Сатурна – Прометея и Пандоры. Хаос в их орбитальном движении, как было выявлено в 2003 г. Голдрайхом и Раппапорт, а также Реннером и Сикарди, проявляется благодаря взаимодействию резонансов в резонансном мультиплете, соответствующем соизмеримости 121:118 средних движений этих спутников. Показано, что система находится в адиабатическом режиме. Ляпуновское время, то есть «горизонт времени предсказуемости» движения, рассчитано аналитически и сопоставлено с имеющимися численно-экспериментальными оценками. Для этой цели был использован метод аналитического оценивания максимального показателя Ляпунова в модели нелинейного резонанса как возмущенного маятника. Метод основывается на теории сепаратрисных отображений. В рамках этой же теории сделаны аналитические оценки ширины хаотического слоя и показано, что пределы хаотической диффузии по среднему движению почти вдвое больше по сравнению с предыдущими оценками для обоих спутников. (ГАО РАН)

Предложено объяснение эффекта стабилизации аэродинамического сопротив-ления поверхности моря при ураганных условиях, обусловленное экранированием ветрового потока во впадинах поверхностных волн. Проведены количественные расчеты коэффициента сопротивления в рамках оригинальной модели турбулентного пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью. Показано их хорошее согласие с экспериментальными данными для широкого диапазона скоростей ветра: от умеренных до ураганных. На основании расчетов в рамках разработанной модели предложена простая параметризация коэффициента сопротивления и инкремента поверхностных волн при ураганных ветрах, удобная для использования в моделях прогноза ветра и волн. (ИПФ РАН)

Рассмотрены ограничения на представление вихревых линий, связанные с нулями завихренности. Для идеальной жидкости в представлении вихревых линий эти точки могут быть характеризованы как топологические дефекты поля завихренности со своим топологическим зарядом. Продемонстрировано, что разложение Кузьмина в точности соответствует преобразованию Вебера. В случае вязкой жидкости приведен вывод уравнений для инварианта Коши. Показано, что это уравнение диффузионного типа с тензором диффузии, определяемым метрикой представления вихревых линий. При этом установлено, что имеет место точное разделение различных временных масштабов, ответственных за инерционные, по сути – нелинейные, и вязкие процессы. (ФИАН)

Теоретически изучено поведение везикулы (мембранного мешка) с малой избыточной площадью в потоке жидкости. Найдено динамическое уравнение, описывающее эволюцию везикулы, которое выведено из решения уравнения Навье-Стокса для внутренней и внешней задач, дополненного соответствующими граничными условиями на мембране. Найденное уравнение дает несколько режимов поведения везикулы, которые известны, как прокручивание, кувыркание и покачивание. Показано, что динамическое поведение везикулы может быть охарактеризовано универсальной фазовой диаграммой, которая строится в терминах двух безразмерных параметров, зависящих от избыточной площади, вязкостей внутренней и внешней жидкостей, вязкости и упругости мембраны, значения неоднородности потока, а также отношения его вращательной и растягивающей составляющей. Найдены особенности динамики везикулы (критическое замедление) вблизи переходов от прокручивания к кувырканию и от прокручивания к покачиванию, которые реализуются через бифуркацию седло-узел и бифуркацию Хопфа соответственно. Предсказано существование нового динамического режима, которое названо прецессией везикулы. (ИТФ РАН)

Рассмотрена локальная структура турбулентной спиральности. Показано, что из точных соотношений для спиральной составляющей тензора парных тройных корреляций, можно определять диссипацию спиральности по одновременным измерениям скорости и отдельных компонент завихренности. Получено уравнение для спектра спиральности, следствием которого при предположении о постоянстве асимметрии является спектр спиральности -5/3, ранее полученный лишь качественно. Этот спектр наблюдается как в естественных условиях, так и при численном моделировании. Как частный случай получается также и предложенный ранее более гипотетический спектр спиральности -4/3 для области спирального каскада. Спектр -5/3 получается также и при использовании, как дополнительного управляющего параметра, эффективного угла между скоростью и завихренностью. (ИКИ РАН)