ДЩрістіЈ ›ыс›аша тезистері
§ векторлардыЈ арасында“ы µ § б±рышты
жүктеу/скачать 4.79 Mb.
|
|
На›ты евклид кеЈістігінде берілген екі µ § векторлардыЈ арасында“ы µ § б±рышты µ § (4.5)
Егер µ § теЈсіздігін ескерсек, онда (4.5) формуладан Коши теЈсіздігін аламыз. Теорема. Егер берілген µ § векторын кез келген на›ты сан“а кйбейтсек, онда µ §х вектордыЈ ±зынды“ы µ § берілген x вектордыЈ ±зынды“ы µ § мен µ § саныныЈ модулініЈ кйбейтіндісіне теЈ: µ § ДЩлелдеуі.НорманыЈ аны›тамасын ескерсек, онда µ § Теорема дЩлелденді. в) Ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі жЩне оныЈ ›асиеттері. Аны›тама. Егер евклид R кеЈістігіндегі µ § (4.6) векторлар жЇйесіне µ §
теЈдіктері орындалса, онда (4.6) векторларды ортонормалдан“ан векторлар дейміз, егер (4.7) теЈдіктердіЈ тек бірінші теЈдіктері “ана орындалса, онда оны ортогоналды векторлар деп атаймыз. Теорема. Нйлдік вектор кез келген вектор“а ортогонал: (х, 0) = 0, µ §. ДЩлелдеуі. Кез келген уµ § вектор“а (х, у) = 0 теЈдеуі орындалсын делік. ДЩлелдеу керек х=0. у = х бол“анда (х, х)=0. Б±дан х = 0. Теорема дЩлелденді. Теорема (Пифагор). Егер х, у векторлары ортогонал болса: (х, у) = 0, онда µ § ДЩлелдеуі. Егер (х, у)=0 болса, онда (4.5) формуладан соsµ § = 0, я“ни µ § Ендеше х, у векторлары бір-біріне перпендикуляр: хµ §у. Олай болса, µ § тік б±рышты Їшб±рыштыЈ катеттері, µ §оныЈ гипотенузасы ретінде ›арастырылады. НорманыЈ аны›тамасы бойынша: µ § Теорема дЩлелденді. Теорема. Ортонормалдан“ан µ § векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелсіз. ДЩлелдеуі. Берілген векторлардыЈ сызы›ты тЩуелсіз екенін дЩлелдеу Їшін µ § (4.8) теЈдеуді ›арастырып, оныЈ тек µ § бол“анда “ана орындалатынын дЩлелдесек жеткілікті. Ол Їшін (4.8) теЈдеудіЈ екі жа“ында lµ § векторына скаляр кйбейтелік, я“ни: µ § µ § Осыдан µ § µ § i-діЈ біртіндеп 1,2,...,n мЩндерін ›абылда“анын жЩне µ § ортонормалдан“ан векторлар екенін ескерсек, онда µ §. Теорема дЩлелденді. Теорема. Егер евклид R кеЈістігіндегі µ § µ § µ §сызы›ты тЩуелсіз векторлар жЇйесі болса, онда о“ан сызы›ты тЩуелді µ § ортогоналды векторлар жЇйесі мына тймендегі µ § µ § µ § (4.9) формулалармен йрнектеледі, м±нда“ы µ § µ § (4.10) ДЩлелдеуі. Теореманы индукция Щдісімен дЩлелдейміз. Іздеп отыр“ан µ § векторын берілген µ §вектор“а теЈ деп аламыз: µ § ал µ § векторды µ § (4.11) теЈдеуінен аны›таймыз, м±нда“ы µ § белгісіз т±ра›ты коэффициент. Егер µ § болса, онда µ § векторлары сызы›ты тЩуелді, ал б±л теореманыЈ шартына ›арама ›айшы, себебі µ § сызы›ты тЩуелсіз. Сонды›тан, µ § . Белгісіз µ § коэффициентті табу Їшін (4.11) тендікті µ § векторына скаляр кйбейтеміз: µ § Іздеп отыр“ан µ § вектор белгілі µ § векторына ортогонал болу керек: µ §= 0. Онда µ §µ § Сонымен, (4.9), (4.10) формулалардыЈ i = 2 ,j=1 теЈ жа“дайлары дЩлелденді. µ § ортогонал векторларын (4.9)-дан, оныЈ µ § коэффициенттерін (4.10) формуламен йрнектелетіндей етіп µ §µ § векторын ізделік. Ол ек векторды µ § (4.12) теЈдігінсн аны›таймыз, м±нда“ы µ § белгісіз т±ра›ты коэффициенттер. Егер µ §, онда µ §векторлары сызы›ты тЩуелді, ал ол теореманыЈ шартына ›арама ›айшы. Ендеше, µ §. Белгісіз µ §,т±ра›ты коэффициенттерді табу Їшін, (4.12) теЈдеуді µ §векторларына біртіндеп скаляр кебейтіп жЩне µ § ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз µ § коэффициенттері (4.10), µ §формулалардан аны›талатынын дЩлелдейміз. Теорема дЩлелденді. Жо“арыда“ы теореманы дЩлелдеу Щдісін, я“ни берілген сызы›ты тЩуелсіз векторлар жЇйесінен ортогоналды векторлар жЇйесін ›±ру Щдісі, ортогонализациялау тЩсілі деп аталады. Теорема. Егер евклид кеЈістігіндегі µ § ортогоналды векторлар жЇйесі болса, онда о“ан сызы›ты тЩуелді µ § ортонормалдан“ан векторлар жЇйесін мына тймендегі µ § (4.13) (4.13) формулалармен йрнектеуге болады. ДЩлелдеуі. Теореманы дЩлелдеу Їшін (4.13) формулалармен йрнектелген µ §ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі екенін дЩлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер µ § болса, онда: µ § ал егер i= j болса, онда µ § Теорема дЩлелденді. Теорема. Кез келген п йлшемді евклид R кеЈістігінде п вектордан ›±рыл“ан ортонормалдан“ан базис бар. ДЩлелдеуі. µ § векторлар жЇйесі евклид R кеЈістігініЈ базисі болсын делік. Сонды›тан, 4.7-теорема бойынша µ § векторларына сызы›ты тЩуелді µ § ортогонал векторлар жЇйесін ›±рамыз: µ § Енді 4.8-теореманы пайдаланып, µ § векторларына сызы›ты тЩуелді µ §, ортонормалдан“ан вектор жЇйесін ›±рамыз, ал ол жЇйе 4.6-теорема бойынша сызы›ты тЩуелсіз, я“ни µ § евклид R кеЈістігініЈ ортонормалды базисі. Теорема дЩлелденді. Мысал. [-1,1] сегментте аны›тал“ан дЩрежесі Їштен аспайтын кйпмЇшеліктер кеЈістігіндегі ортогонал базисті табалы›. Ортогонал базисті табу Їшін µ § µ § µ § µ § элементтерін базис ретінде ›арастыралы›. Енді 1,µ § элементтеріне сызы›ты тЩуелді µ § ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша: µ § µ § М±нда“ы µ §. Сонымен, µ § (.9) формуладан µ § м±нда“ы µ § Сонымен, µ § ЕЈ соЈында (4.9) формуладан: µ § м±нда“ы µ § µ § Сонымен, µ § г) Ортонормалдан“ан базисте координаттарымен йрнектелген екі вектордыЈ скаляр кйбейтіндісі Теорема. Евклид Rп кеЈістігіндегі кез келген екі вектордыЈ µ § µ § скаляр кйбейтіндісі µ § (1) формуламен йрнектелу Їшін, оныЈ µ § базисі ортонормалдан“ан болуы ›ажетті Щрі жеткілікті. љажеттілігі. (4.14) формула орындалсын деп, µ § базис ортонормалдан“ан болуын дЩлелдейік. х пен у векторларын берілген базисте жіктелік: µ § µ § (4.14) формуладан µ §СоЈ“ы теЈдіктіЈ орындалуы Їшін евклид µ § кеЈістіктіЈ базисі ортонормалдан“ан болуы жеткілікті: µ § Жеткіліктігі. Евклид µ § кеЈістігініЈ µ § базисі ортонормалдан“ан болсын деп ±й“арып, (1) формуланы дЩлелделік. Ол Їшін х пен у векторларыныд скаляр кйбейтіндісін ›арастырамыз: µ §
Теорема дЩлелденді. Теорема. Евклид µ § кеЈістігіндегі µ §ортонормалдан“ан базисте µ § вектордыЈ координаттары µ §: µ § µ § (4.15) формуламен йрнектеледі. ДЩлелдеуі. Берілген µ § векторды µ §базис бойынша жіктейік: µ §
Осы жіктеудіЈ екі жа“ында µ § векторына скаляр кйбейтсек жЩне µ §ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі екенін ескерсек, онда µ §
Аны›тама. Егер кез келгенµ § векторы кез келген µ § векторына ортогонал болса, я“ни (х, у) = 0, онда евклид R кеЈістігініЈ екі ішкі µ § менµ § кеЈістіктерін: µ § µ § йзара ортогонал деп атаймыз, я“ни µ § Теорема. Евклид R кеЈістігініЈ ішкі µ § мен µ § кеЈістіктегі бір-бірімен ортогонал болу Їшін, я“ни µ § кеЈістігініЈ барлы› базистері µ §кеЈістігініЈ барлы› базистеріне ортогонал болуы ›ажетті Щрі жеткілікті. љажеттілігі: µ § мен µ § кеЈістіктері йзара ортогонал болсын деп ±й“арайы›, я“ни µ § Онда аны›тама бойынша µ § кеЈістігініЈ барлы› базистері µ § кеЈістігініЈ барлы› базистеріне ортогонал болады. Жеткіліктілігі: µ § векторлар жЇйесі µ § кеЈістігініЈ базисі, ал µ § кеЈістгініЈ базисі болсын жЩне µ § µ § µ § теЈдіктері орындалсын деп есептелік. Енді кез келген µ § µ § векторлардыЈ сЩйкес базистерде жіктеулерін µ § µ § алып, олардыЈ скаляр кебейтіндісін ›арастыралы›. Онда µ §
я“ни кез келген µ § µ § векторлары ортогонал немесе µ § Теорема дЩлелденді. Теорема. Егер евклид µ § кеЈістігініЈ екі ішкі µ § мен µ § кеЈістіктері йзара ортогонал болса: µ § онда олардыЈ ›иылысуы нйл вектор болады: µ § ДЩлелдеуі. Кез келген х вектор µ § кеЈістігініЈ элементі болсын деп ±й“аралы›, я“ни µ § Онда µ § µ § жЩне (х, х) = 0. Б±дан х = 0. Теорема дЩлелденді. Айталы›, евклид R кеЈістігініЈ кез келген ішкі µ § кеЈістігі берілсін: µ § ал µ § оныЈ ортонормалдан“ан базисі болсын делік. Енді ол базисті евклид µ § кеЈістігініЈ ортонормалдан“ан базисіне дейін толы›тыралы›, я“ни µ § м±нда“ы п ЎЄ diт R, k = dimµ §. µ § векторлар жЇйесі евклид R кеЈістігініЈ йлшемі (n - k)-“а теЈ ішкі µ § кеЈістігін ›±растырады, я“ни µ § µ § Теорема. Егер кез келген µ § вектор ішкі µ § кеЈістігініЈ кез келген векторына ортогонал болса: µ § , онда х ішкі µ § кеЈістігініЈ векторы: µ § ДЩлелдеуі. ТеореманыЈ шарты бойынша µ § жЩне µ §, я“ни µ §, µ § Енді х вектордыЈ жіктелуініЈ екі жа“ында µ § µ § векторларына біртіндеп скаляр кйбейтелік: µ §
µ § µ § Демек, х вектордыЈ жіктелуі мына тЇрде жазылады: µ § Б±дан, µ § . Теорема дЩлелденді. Аны›тама. Егер µ § векторлар жиыны ішкі µ § кеЈістігініЈ кез келген векторына ортогонал болса, онда ондай µ § векторлар жиынын µ § ішкі µ § кеЈістігініЈ ортогонал толы›тауышы деп атаймыз, ал ол ішкі µ § кеЈістікті µ § символымен белгілейміз µ § м±нда“ы µ § ЎЄ пернендикуляр таЈбасы. Теорема. Егер µ § жЩне dіт µ §=k, dіт µ § онда µ § немесе dіт µ §+dim µ §. ДЩлелдеуі. µ § векторлар жиыны ішкі µ § кеЈістігініЈ базисі, ал µ § на›ты сандар жиыны µ § вектордыЈ координаттары болсын деп ±й“аралы›: µ § µ § µ § векторлар жиыны евклид R кеЈістігініЈ ортонормалдан“ан базисі болсын (4.9-теорема). Онда: µ § µ § µ § (4.16) м±нда“ы µ § берілген µ § вектордыЈ координаттары. Берілген вектор µ § ішкі µ § кеЈістігініЈ элементі болу Їшін, я“ни µ §, µ § (4.17) теЈдіктердіЈ орындалуы ›ажетті Щрі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) теЈдіктерге ›ойып, жЩне µ § ортонормалдан“ан векторлар екенін ескерсек, онда µ § (4.18) м±нда“ы µ § вектор х-тіЈ координаттары. Б±л (4.18) біртекті сызы›ты теЈдеулер жЇйеніЈ матрицасыныЈ рангісі k. Сонды›тан, (4.18) жЇйеніЈ (n - k) сызы›ты тЩуелсіз шешімі бар. Олай болса, µ §. Теорема дЩлелденді. Жо“арыда“ы теоремаларды ескеріп, мына тймендегі т±жырым“а келеміз.
Аны›тама. Егер екі евклид R мен R' кеЈістіктерініЈ элементтері (векторлары) арасында бір мЩнді сЩйкестік аны›талып: µ § µ § µ § тймендегі шарттар орындалса, онда олар изоморфты болады. Б±л жа“дайда: 1) егер R кеЈістігініЈ х, у элементтеріне R' кеЈістігініЈ µ § элементтері сЩйкес келсе: µ § онда µ § элементіне µ § элементі сЩйкес келеді, 2) егер µ § онда µ § м±нда“ы µ § ЎЄ кез келген на›ты сан, 3) егер µ § онда µ § Сонымен, олар сызы›ты кеЈістіктер ретінде изоморфты болса жЩне олардыЈ екі сЩйкес элементтерініЈ (векторларыныЈ) скаляр кйбейтінділері йзара теЈ болса, онда екі Евклид R мен R' кеЈістіктері изоморфты болады. Теорема. Бірдей йлшемді барлы› евклид кеЈістіктері йзара изоморфты. ДЩлелдеуі. Теормеманы дЩлелдеу Їшін барлы› п-йлшемді евклид кеЈістіктері арнаулы алын“ан бір n-йлшемді евклид кеЈістігіне изоморфты болатынын дЩлелдесек жеткілікті. Б±л арнаулы n-йлшемді евклид R' кеЈістігі ретінде 4.1-та›ырыпта“ы 2-мысалды ›арастырайы›, я“ни онда х' вектор кез келген п на›ты µ § сандарыныЈ жиыны: µ §ал µ § векторларыныЈ скаляр кйбейтіндісі (4.2) формуламен йрнектеледі, я“ни µ §
п-йлшемді евклид R кеЈістігін ›арастыралы›, ал µ § векторлар жЇйесі оныЈ ортонормалды базисі болсын деп ±й“аралы›. µ § вектор“а на›ты µ § сандар жиынын, я“ни µ § векторын сЩйкестендірейік. Б±л келтірілген сЩйкестік бір мЩнді. Енді оныЈ изоморфты екенін дЩлелдейік. Ол Їшін аны›тамада“ы Їш шартты тексерсек жеткілікті. Бірінші мен екінші шарттар орындалады. ®шінші шартты тексерелік. µ § мен µ § векторларыныЈ скаляр кйбейтіндісі 4.10-теорема бойынша мына формуламен йрнектеледі: µ §
ал µ § пен µ § векторлардыЈ скаляр кйбейтіндісі 4.1-та›ырыпташ 2-мысал бойынша (4.2) формуламен йрнектеледі: µ §
Сонымен, µ § Теорема дЩлелденді. Шдебиеті: [1], [3], [4]. ДЩріс 14-15. Та›ырып: Жазы›ты›та“ы тЇзу. Ма›саты: Студенттерге аналитикалы› геометрия ±“ымдарымен, соныЈ ішінде жазы›ты›та“ы сызы› теЈдеулерін беру, олар“а ›олданылатын амалдарды Їйрету. Жазы›ты›та“ы тЇзу Ї“ымы, оныЈ берілу тЩсілдерін ›арастыру. љарастыратын с±ра›тар: ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі. Екі тЇзудіЈ арасында“ы б±рыш. ТЇзудіЈ б±рышты› коэффицент ар›ылы берілу жолы. ТЇзудіЈ б±рышты› коэффициентпен берілген теЈдеуі. ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі. ТЇзудіЈ нормальды› теЈдеуі. ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі. ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуін нормалды› тЇрге келтіру. Бір (а) тЇзуі ордината осініЈ бойынан в кесіндісін ›иып йтсін, абцисса осініЈ оЈ ба“ытымен а б±рыш жасасын. Осы тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›. ТЇзу сызы›ты координаталар системасында берілген шартына сЩйкес жЇргізіп, оныЈ бойынан еркімізше бір М нЇктесін алайы›. Осы М нЇктесінен обцисса осіне МД перпендикулярын жЇргізіп, осы оске парраллель ЕГ сызы“ын жЇргіземіз. ЕМГ тік б±рышты ±шб±рышынан: µ § µ §
µ §б±рышы белгілі болса, µ § да табылады, оны былайша белгілейік: µ § Б±л тангенсті немесе к-ны тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенті деп атайды. Жо“арыда“ы теЈдік енді былай жазылады: µ § Б±дан ізделінді теЈдеуді табамыз: µ § (1)
м±нда“ы х пен у айнымалы шамалар, в мен к т±ра›ты шамалар. (1) теЈдеуді тЇзудіЈ бойында барлы› нЇктелердіЈ координаталары ›ана“аттандырады. Б±л (1) теЈдеу тЇзудіЈ б±рышты› коэффициентімен берілген теЈдеуі деп аталады. Егер тЇзу координаталар бас нЇктесінен йтсе, Онда теЈдеу мына тЇрде болады: µ §
ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі. ТЇзу бас нЇктеден йтпей, координаталар остерін ›иып йтсін .Сонда ОВ=а6 ОД=в В(а;0)6 Д(0;в) болады.Осы тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›. ЕсептіЈ шартына сЩйкес берілген кесінділерді белгілеп, тЇзуді жЇргізеік. ТЇзудіЈ бойынан еркімізше бір М(х;у) нЇктесін алып, сол нЇктеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын тЇсірейік. ОВ=а, ВЕ=а-х, ОД=х, ЕМ=у ОДВ жЩне ЕМВ Їшб±рышыныЈ ±›састы“ынан:µ § Осыдан іздеген тЇзудіЈ теЈдеуіЈ табайы›: µ § µ § (2)
м±нда а мен в берілген кесінділер, х пен у бойында“ы кез келген нЇктеніЈ координаталары. Осы теЈдеуді (2) тЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі деп атайды. Мысал: Обцисса осінен 3-ке теЈ жЩне ордината осінен 4-ке теЈ кесі,нділерді ›иятын тЇзудіЈ теЈдеуін табу керек. Шешуі: Берілген кесінділер: а=3; в=4. Сонда (2) формула бойынша тЇзудіЈ теЈдеуі мынандай болады: µ §. ТЇзудіЈ нормалды› теЈдеуі. КоординаталардыЈ ьбас нЇктесінен бір (а) тЇзуіне жЇргізілген перпендикуляр обцисса осініЈ оЈ ба“ытымен а б±рыш жасайды. Б±л перпендикулярдыЈ ±зынды“ы р болсын Осы (а) тЇзуініЈ теЈдеуін іздейік. (а) тЇзуініЈ бойынан ерекше бір М(х,у) нЇктесін алайы›. Осы нЇкттеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын тЇсірейік.. Онда МЕВ тік б±рышты ±шб±рышы шы“ады. М±нда ЕМВ=µ § ОЕ=х, ЕМ=у болады. ОДВ тік б±рышты Їшб±рышынан µ §
Осыдан µ § ЕМВ тік б±рышты Їшб±рышынан µ § Осыдан ЕВµ § Осы ЕВ- ныЈ мЩнін жо“ары теЈдікке ›ойса›, іздеген тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›: µ § µ § (3)
(3) теЈдеуі тЇзудіЈ нормальды› теЈдеуі деп аталады. Мысал: КоординаталардыЈ бас нЇктесінен тЇзуіне жЇргізілген перпендикулярдыЈ ±зынды“ы 4-ке теЈ. Осы перпендикуляр обцисса осімен 30 б±рыш жасайды. Ізделіп отыр“ан тЇзудіЈ теЈдеуін жазайы›. Шешуі: Есеп шарты бойынша; µ § µ § µ § µ § µ § µ §
ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі. Жазы›ты›та екі нЇкте берілген. µ §Осы екі нЇктеден бірдей ›ащы›ты›та жат›ан нЇктелердіЈ геометриялы› орнын табайы›.Берілген екінЇктеден бірдей ›ашы›ты›та жататын нЇкте М(х,у) болсын. Осы нЇктеден берілген нЇктедніЈ арасында“ы ›ашы›ты›тар есептіЈ шарты бойынша йзара теЈ. µ § Осыдан
µ §Енді коэффициенттер мен бірге бос мЇшелерді белгілейік: М±нда“ы, А,В,С ЁCт±ра›ты шамалар, х пен у тЇзудіЈ бойында жат›ан кез келген нЇктеніЈ координатасы (L` тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі. ШртЇрлі жа“дайда ›арастырайы›: А=0 µ §Bµ §, Cµ § By + c=0 У=-µ §=Bµ §-ке параллель тЇзу. В=0 A µ § Cµ § Ax+C=0 X=-µ §=a µ §OУ-ке параллель тЇзу 3) А=0 С=0 Ву=0 У=0µ § Ох осі 4) A µ §µ §Bµ § С=0 Ах+Ву=0 бас нЇктесінен йтетін тЇзу болады. 5) В=0 С=0 онда х=0 µ §ОУ осі 6) А=0 В=0 Cµ §жа“дайыныЈ болуы мЇмкін емес тЇзудіЈ жалпы теЈдеуін коэфицентпен жЩне кесінділік тЇрге келтіруге болады. 1) Ах+Ву+с=0 Ву=-Ах-с У=-µ §х-µ §, ал -µ §=к -µ §=в деп белгілесек у=кх+в 2) Ах+Ву=-с µ §+µ §=1 µ §+µ §=1 µ §=а, µ §=в десек, µ §+µ §=1 Мысал 1µ §+µ §=1 тЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі берілсін. Осыны жалпы тЇрге келтіретін бйлшектен ›±тылып, берілген теЈдеуді тЇрлендіріп, мынаны табамыз: 2х+3у=6 2х+3у-6=0 Мысал 2 у=2х-6 теЈдеуін жалпы жЩне кесінділік теЈдеуге келтір 2х-у-6=0 А=2 В=-1 С=-с 2х-у-6=0 µ §µ § а=3 в=-6 Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттар Жазы›ты›та“ы тЇзЇдіЈ теЈдеулері. Аны›тама. Ах+Ву+С=0 теЈдеу тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы к=µ § - тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенты. Ба“ыттауыш векторы µ § (тЇзуге параллель), М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі µ § . Нормаль векторы µ §, М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі A(x-x0)+B(y-y0)=0. Б±рышты› коэффициенті к белгілі жЩне М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі y-y0=k(x-x0). Берілген екі нЇкте М1(x1,y1) жЩне М2(x2,y2) нЇктелері йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі µ § . Координаталар йстерін А(a,0), B(0,b) нЇктелерінде ›иып йтетін тЇзудіЈ теЈдеуіµ §. Екі тЇзу арасында“ы б±рыш. Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттары. НЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы. d1 жЩне d2 тЇзулері йздерініЈ сЩйкес жалпы теЈдеулері ар›ылы берілсін дейік: А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0 Б±рышты› коэффициенттері к1=µ §, к2=µ § Егер d1 „К„К d2, онда к1 = к2. Егер d1 µ § d2, онда к1 =µ §. Екі тЇзу арасында“ы б±рыш tgµ §. M(x0,y0) нЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы d=µ § љайталау с±ратары: Жазы›ты›та“ы тЇзЇдіЈ теЈдеулері. Екі тЇзу арасында“ы б±рыш. Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттары. НЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы. Шдебиеті: [1], [3], [4]. ДЩріс 16-17. Та›ырып: Екінші ретті сызы›тар жЩне олардыЈ канонды› теЈдеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола. Ма›саты:Екінші ретті сызы›тар, олардыЈ кононды› теЈдеулерін ›арастыру. љарастыратын с±ра›тар: Жазы›ты›та“ы екінші ретті сызы›тар. ШеЈбер. Эллипс, оныЈ ›асиеттері. Гипербола, оныЈ ›асиеттері. Парабола, оныЈ ›асиеттері Екінші ретті сызы› тймендегі теЈдеу ар›ылы беріледі:
Б±л теЈдеу тйменде келтірілген теЈдеулердіЈ біріне келтірілетіндей координаталар жЇйесі (тік б±рышты болуы міндетті емес) болуы мЇмкін. µ § - эллипстіЈ теЈдеуі. µ § - “жорамал” эллипстіЈ теЈдеуі. µ § - гиперболаныЈ теЈдеуі. a2x2 ЁC c2y2 = 0 ЁC екі ›иылысушы тЇзудіЈ теЈдеуі. y2 = 2px ЁCпараболаныЈ теЈдеуі. y2 ЁC a2 = 0 ЁCекі параллель тЇзудіЈ теЈдеуі. y2 + a2 = 0 ЁC“жорамал” екі параллель тЇзулердіЈ теЈдеуі. y2 = 0 ЁC беттесуші тЇзулер. (x ЁC a)2 + (y ЁC b)2 = R2 ЁCшеЈбердіЈ теЈдеуі.
(x ЁC a)2 + (y ЁC b)2 = R2 (1) шеЈбердіЈ центрініЈ координаталары (a; b) болады. Мысал. 2x2 + 2y2 ЁC 8x + 5y ЁC 4 = 0 теЈдеуі ар›ылы берілген шеЈбердіЈ центрініЈ координаталары мен радиусын тап. . Шешу. ШеЈбердіЈ центрі мен радиусын табу Їшін теЈдеуді (1) теЈдеу тЇріне келтіріп аламыз. Ол Їшін теЈдеудіЈ сол жа“ында“ы кйпмЇшеніЈ толы› квадратын бйлеміз. x2 + y2 ЁC 4x + 2,5y ЁC 2 = 0 x2 ЁC 4x + 4 ЁC4 + y2 + 2,5y + 25/16 ЁC 25/16 ЁC 2 = 0 (x ЁC 2)2 + (y + 5/4)2 ЁC 25/16 ЁC 6 = 0 (x ЁC 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16 Б±л теЈдеуден мынаны табамыз: О(2; -5/4); R = 11/4. Эллипс жЩне оныЈ ›асиеттері Аны›тама. Эллипс деп фокустары деп аталатын нЇктелерден ›ашы›ты›тарыныЈ ›осындысы сол фокустары ара›ашы›ты“ынан (F1F2 = 2c) арты› болатын т±ра›ты 2а санына теЈ болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ геометриялы› орнын айтады, оны былайша белгілейді: F1М + F2М = 2а (2) . у
r1
r2 µ § F1 O F2 µ § F1, F2 ЁC эллипстіЈ фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c. с ЁC фокустары ар ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F1М жЩне F2М ›ашы›ты›тарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) теЈдік мына тЇрде жазылады: r1 + r2 = 2а (21) Екі нЇктені ара ›ашы›ты“ыныЈ формуласы бойынша: µ § µ §. Б±л теЈдеуді тЇрлендіріп, эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін табайы›: µ § µ §
х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 ЁC 4аµ § аµ § теЈдіктіЈ екі жа“ын а - “а бйліп, квадраттайы›: х2 -2сх+с2+у2 = (а - µ § х2 -2сх+с2+у2 =µ § а2х2+а2у2+а2с2= а4 + с2х2,
аѓ® с бол“анды›тан, а2 - с2ѓ® 0 болады, сонды›тан а2 - с2ѓ в2 (3) деп белгілейміз. Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шы“ады, осыдан µ § (4), м±нда“ы х пен у - эллипстіЈ бойында“ы кез келген нЇктелердіЈ координаталары, а ЁC эллипстіЈ Їлкен жарты йсі, в ЁC оныЈ кіші жарты йсі. (4) теЈдеу эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуі деп аталады. Теорема. ЭллипстіЈ фокусты› ара ›ашы›ты“ы мен жарты йстері мынадай ›атынас бойынша байланысады: a2 = b2 + c2. Дэлелдеу: Егер М нЇкте эллипстіЈ вертикаль осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = 2µ §( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нЇкте эллипстіЈ горизонталь осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = a ЁC c + a + c. ЭллипстіЈ аны›тамасы бойынша r1 + r2 ЁC ›осынды т±ра›ты шама, ендеше жо“арыда“ы екі теЈдікті теЈестіріп, мынадай теЈдік аламыз: a2 = b2 + c2 . Аны›тама. µ § = с/a ›атынас эллипстіЈ эксцентриситеті деп аталады. с < a бол“анды›тан, µ § < 1 болады. ЭллипстіЈ тЇрін оныЈ жабайы теЈдеуі бойынша зерттеу.
х=-а
у у=в
М М2 В2 х А1 А2 О 1). (4) теЈдеудегі х пен у екінші дЩрежелі бол“анды›тан, ол теЈдеуді М(х;у) нЇктесініЈ координаталарымен ›оса М1(х;-у), М2(-х;у), М3(-х;-у) нЇктелерініЈ де координаталары ›ана“аттандырады. у=-в М1
В1 Ендеше эллипс координат осьтеріне, Координата басына ›ара“анда симметриялы . 2) у=0 болса, µ § болады, б±дан х = „b а. Сонды›тан эллипс ох осін А1(-а; 0) жЩне А2(а;0) нЇктелерінде ›ияды. Ал х=0 бол“анда µ § шы“ады да, у=„b в. Демек, эллипс оу осін В1(0;-в), В2(0; в) нЇктелерінде ›ияды. ЭллипстіЈ осьтермен ›иылысу нЇктелері (А1, А2, В1, В2 ) тйбелері деп аталады. 3) (4) теЈдеуден µ §. Б±дан ѓмхѓм „T а жЩне ѓмуѓм„T в. Б±дан ЁC а „T х „T а жЩне ЁCв „T у „T в. Сййтіп, эллипстіЈ нЇктелері жазы›ты›тыЈ ›абыр“алары 2а жЩне 2в болатын тік тйртб±рышпен шектелген бйлігінде жатады. Теорема. ЭллипстіЈ кез келген М(х, у) нЇктесі Їшін тймендегі ›атынас орындалады: r1 = a ЁCµ §x, r2 = a + µ §x. ДЩлелдеу. Жо“арыда r1 + r2 = 2a болатыны кйрестілген. Сонымен ›атар,геометьриялы› кескіндеме бойынша: µ §. Осы формулаларда“ы у2 ЁCты эллипстіЈ канонды› теЈдеуінен тауып алып, алдыЈ“ы формулалар“а ›ойып тЇрлендірсек, тймендегі теЈдік шы“ады: µ §
µ § ДЩл осылайша r2 = a + µ §x. Аны›тама. x = a/µ §; x= -a/µ §. теЈдеулерімен аны›талатын екі тЇзу эллипстіЈ директрисалары деп аталады. Теорема. НЇкте эллипсте жату Їшін оныЈ фокус›а дейінгі ›ашы›ты“ыныЈ сЩйкес директриса“а дейінгі ›ашы›ты“ына ›атынасы µ § эксцентриситетке теЈ болуы ›ажетті жЩне жеткілікті. Мысал. µ § теЈдеуімен берілген эллипстіЈ сол жа› фокусы мен тйменгі тйбесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуін ›±р. ЭллипстіЈ тйменгі тйбесініЈ координаталары: x = 0; y2 = 16; y = -4. Сол жа› фокусыныЈ координаталары: c2 = a2 ЁC b2 = 25 ЁC 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). Екі нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі: µ § Мысал. F1(0; 0), F2(1; 1) фокустары мен Їлкен осі 2 ЁCге теЈ болатын эллипстіЈ теЈдеуін жаз. ЭллипстіЈ теЈдеуі мынадай: µ §. М±нда а мен b жарты йстерін табу керек. ФокустарыныЈ ара ›ашы›ты“ы: 2c = µ §, сонды›тан a2 ЁC b2 = c2 = Ѕ жүктеу/скачать 4.79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|