Лемма. На отрезке прямой можно восстановить функцию .
Доказательство леммы. Продифференцируем по , тогда
Условия теоремы позволяют перейти к пределу при :
так как
Таким образом,
известная функция, Лемма доказана.
Согласно лемме, вместо (2) имеем формулу
где
известная функция.
Возьмем теперь производную от по направлению касательной к кривой в точке (пусть положительное направление касательной с осью составляет тупой угол)
Используя симметричность кривой относительно прямой , имеем
поэтому
В силу последних соотношений
или
Интегрируя обе части этого уравнения по от 0 до , имеем
Таким образом, относительноискомой функции мы получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
где
достаточно гладкие функций. Отсюда следует утверждение теоремы.
2. Теорема единственности решения плоской задачи интегральной геометрии с весовыми функциями,
Достарыңызбен бөлісу: |
