интегральной геометрии с возмущением
Пусть в полосе двумерного пространства дано семейство дано двупараметрическое семейство кривых , такое же, что и в 2. Рассмотрим задачу интегральной геометрии, в которой из уравнения
где - области ограниченные кривыми и осью , и - заданные функции. Неинвариантность весовой функции к сдвигу вдоль оси не позволяет применить метод исследования, использованный в 2.
В дальнейшем функция функция предполагается финитной функцией с носителем , причем эта функция дважды непрерывно дифференцируема по , непрерывна по . Множество таких функций обозначим через . Заметим, что семейство кривых и весовая функция инвариантны к сдвигу вдоль оси .
Теорема. Пусть функций , удовлетворяют условиям (1) из 2, весовые функций , непрерывно дифференцируемы, причем и
Тогда решение уравнения (1) единственно в классе функций .
Доказательство. Сводя криволинейный интеграл (1) к определенному интегралу, двойной интеграл – к повторному, имеем
К обеим частям последнего уравнения применяем преобразование Фурье по , предварительно подставив во втором интеграле вместо выражение
где - преобразование Фурье по от функции :
После изменения порядка интенгрирования в кратных интегралах и перехода к новым переменным во внутреннем интеграле с помощью , , имеем
где
непрерывно дифференцируемые функции.
Условия теоремы позволяют нам продифференцировать (2) по . Учитывая, что , и разделив обе части получаемого уравнения на
получим интегральное уравнение
где
непрерывные функции.
Временно полагая функцию
известной, мы можем формально решить семейство интегральных уравнений Вольтерра второго рода с вещественным параметром :
В самом деле
где
резольвента ядра . В (4) вместо подставим ее значение, тогда
где
Из теории интегральных уравнений известно, что для полосы с достаточно малой шириной , при условии
решение уравнения (5) существует и единственно для любой непрерывной функции .
Используя оценки
можно убедиться в справедливости неравенства (6). Из единственности следует единственность , что и требовалось доказать.
4. Единственность решения пространственной задачи
Достарыңызбен бөлісу: |