Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии


интегральной геометрии с возмущением



бет5/13
Дата19.09.2023
өлшемі477.38 Kb.
#477944
түріЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Дильман. ЕИУНЗИГ. Кызылорда-Саарбрюккен, 2016. - 58 с.

интегральной геометрии с возмущением

Пусть в полосе двумерного пространства дано семейство дано двупараметрическое семейство кривых , такое же, что и в 2. Рассмотрим задачу интегральной геометрии, в которой из уравнения



где - области ограниченные кривыми и осью , и - заданные функции. Неинвариантность весовой функции к сдвигу вдоль оси не позволяет применить метод исследования, использованный в 2.

В дальнейшем функция функция предполагается финитной функцией с носителем , причем эта функция дважды непрерывно дифференцируема по , непрерывна по . Множество таких функций обозначим через . Заметим, что семейство кривых и весовая функция инвариантны к сдвигу вдоль оси .




Теорема. Пусть функций , удовлетворяют условиям (1) из 2, весовые функций , непрерывно дифференцируемы, причем и

Тогда решение уравнения (1) единственно в классе функций .
Доказательство. Сводя криволинейный интеграл (1) к определенному интегралу, двойной интеграл – к повторному, имеем


К обеим частям последнего уравнения применяем преобразование Фурье по , предварительно подставив во втором интеграле вместо выражение

где - преобразование Фурье по от функции :



После изменения порядка интенгрирования в кратных интегралах и перехода к новым переменным во внутреннем интеграле с помощью , , имеем

где


непрерывно дифференцируемые функции.

Условия теоремы позволяют нам продифференцировать (2) по . Учитывая, что , и разделив обе части получаемого уравнения на



получим интегральное уравнение

где



непрерывные функции.

Временно полагая функцию



известной, мы можем формально решить семейство интегральных уравнений Вольтерра второго рода с вещественным параметром :

В самом деле

где


резольвента ядра . В (4) вместо подставим ее значение, тогда

где


Из теории интегральных уравнений известно, что для полосы с достаточно малой шириной , при условии



решение уравнения (5) существует и единственно для любой непрерывной функции .
Используя оценки



можно убедиться в справедливости неравенства (6). Из единственности следует единственность , что и требовалось доказать.


4. Единственность решения пространственной задачи


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет