Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии
Теорема. На множестве корректности справедлива оценка условной устойчивости Доказательство
жүктеу/скачать 477.38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лемма.
- 3. Обобщение оценки на семейство кривых типа парабол
| Теорема. На множестве корректности
справедлива оценка условной устойчивости Доказательство. Сведем криволинейный интеграл к определенному интегралу Применяя преобразование Фурье к обеим частям данного уравнения по переменным и меняя порядок интегрирования, имеем Таким образом, мы получили уравнение где С помощью формул 3.693.1 и 3.693.2 из [22] вычислим интеграл (3) при Тогда при имеем Отсюда или В силу финитности функции , утверждаем, что существует постоянное число , удовлетворяющее условию Тогда, пользуясь предположениями, сделанными относительно , имеем или Покажем сходимость следующего несобственного интеграла который понадобится нам в дальнейшем. Для этого, разбивая область интегрирования на части, это интеграл запишем в следующем виде Теперь достаточно показать сходимость интегралов, находящихся в правой части последей формулы. Пользуясь неравенством (6), оцениваем первый интеграл в формуле (7): Аналогично для третьего интеграла в формуле (7) получим подобную оценку Для доказательства сходимости второго интеграла в формуле (7) потребуется Лемма. Для любого натурального справедлива оценка где - производная порядка от функции по переменной . Доказательство леммы. Заметим, что В силу непрерывности по обеим переменным, имеем Оценивая ее убеждаемся в справедливости неравенства (8): тогда Поэтому где Лемма доказана. Далее, в силу регулярности преобразования Фурье, функцию можно разложить в сходящийся ряд Тейлора по степеням в окрестности точки нуль: Вспоминая дополнительное предположение или , имеем так как ряд Тейлора сходится абсолютно. В последней формуле используем оценку (8), доказанную в лемме: или В силу (9), непосредственно оцениваем второй интеграл в (7): Таким образом, интеграл (7) сходится. Учитывая этот факт, получаем Теперь согласно равенству Парсеваля и неравенству Гёльдера, получим Следовательно, что и требовалось доказать. 3. Обобщение оценки на семейство кривых типа парабол Теперь изучим условную устойчивость задачи интегральной геометрии, где по известным интегралам от функции по семейству кривых : , , , требуется определить саму функцию . Предполагаем, что функция - непрерывная финитная функция в области , функция – непрерывна по переменной , непрерывно дифференцируема по переменной а области . жүктеу/скачать 477.38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|