Теорема. Если
,
то справедлива оценка устойчивости
,
, , .
Доказательство. Сводя криволинейный интеграл к определенному интегралу и применяя преобразование Фурье по переменной , имеем:
или
где
.
Дифференцируем (2) по переменной :
так как
,
.
Учитывая, что , и используя лемму 4 А.Л. Бухгейма [20], имеем оценку
, .
Отсюда
, (4)
где
, .
Рассмотрим пространство Соболева ,
с нормой
– преобразование Фурье по переменной функции ,
Тогда, согласно известной лемме А.Л.Бухгейма на основе неравенства (4), получим оценку устойчивости на множестве корректности :
Отсюда получаем логарифмическую оценку.
4. Об устойчивости решения пространственной задачи интегральной геометрии с не гладкими кривыми
Здесь рассматривается задача восстановления функции в полосе
через интегралы от нее по семейству кривых , точки которых удовлетворяют следующим условиям:
,
, ,
, , .
Такие задачи интегральной геометрии возникают, как известно, при исследовании корректности обратных задач для дифференциальных уравнений математической физики.
По известной функции из уравнения
требуется определить функцию . Эта задача интегральной геометрии является переопределенной, так как функция - функция четырех переменных, а искомая функция – функция лишь трех переменных.
Преобразуем уравнение (1):
Замена переменной позволяет записать последнее уравнение в следующем виде
К обеим частям уравнения (2) применяем преобразование Фурье по переменным и :
Введем новые переменные
, .
Тогда получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода
с ядром
В пространстве образов Фурье переходим к полярным координатам , :
Пользуясь переопределенностью исходной задачи интегральной геометрии в уравнений (4) положим при фиксированных .
Дифференцируя последнее уравнение по , получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
Если предположить, что решение и левая часть уравнения (5) как функции от , принадлежат , то верна оценка
, (6)
где постоянная не зависит от .
Рассмотрим пространство Соболева снормой
где
– преобразование Фурье функции по переменным .
Достарыңызбен бөлісу: |
