Глава 1. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Единственность решения плоской задачи интегральной геометрии для специального семейства кривых
Пусть в полосе двумерного пространства дано семейство кривых , порождаемое кривой, которая задана явной функцией с областью определения и с областью значений . Предположим, что функция удовлетворяет следующим условиям:
Для того, чтобы провести через произвольно взятую точку кривую семейства с вершиной в рассматриваемой точке, которую далее будем обозначать через , надо: 1) провести через эту точку, с помощью сдвига кривой вдоль оси , кривую , 2) отложить полученную кривую симметрично относительно прямой , тогда кривая, состоящая из двух симметричных относительно прямой дуг, опирающихся нижними концами на ось и примыкающих одна к другой в точке , и есть искомая кривая .
Из вышесказанного, в частности, следует, что 1) через точку можно провести лишь одну кривую из рассматриваемого семейства, 2) все кривые семейства непрерывны и только в своих вершинах теряют гладкость. Требуется найти функцию в полосе по известным от нее интегралам по семейству кривых
где , - элемент длины кривой .
Теорема. Если , то решение единственно.
Доказательство. Уравнениями гладких дуг и , составляющих кривую , будут соответственно
и
Поэтому , где
Возьмем производную от по направлению касательной к кривой в точке (пусть положительное направление касательной с осью составляет острый угол)
Учитывая, что
,
имеем
Достарыңызбен бөлісу: |
