интегральной геометрии для семейства кривых типа
парабол, инвариантных относительно вертикального сдвига
Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии. В области трехмерного пространства задано семейство плоских кривых типа параболы с вершинами в точках и опирающихся двумя концами на плоскость Плоскости, содержащие кривые из семейства , предполагаются перпендикулярными плоскости Текущие координаты кривой из семейства :
Учитывая, что функция означает длину проекции из заданного семейства на плоскости , по заданной функции нужно определить функцию из уравнения
Аналогичная постановка задачи интегральной геометрии, когда кривые инвариантны к сдвигу по переменным исследована в работе .
В данной работе рассматриваемые кривые инвариантны к сдвигу лишь по переменной . Доказывается теорема единственности решения.
Теорема. Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема по всем переменным и удовлетворяет условиям
Тогда решение рассматриваемой задачи интегральной геометрии единственно в достаточно малой области в классе финитных функций с носителем , принадлежащих по переменным , а по переменной удовлетворяющей условию , если ; , если , , .
Доказательство. Исходное уравнение преобразуем к виду
где
К функции применяем преобразование Лапласа по переменной :
где
,
Далее, после некоторого преобразования, имеем
В силу четности функции по переменной (производная - нечетная функция, следовательно, ). Тогда
Интегрируя по от до , получаем двойной интеграл по всей плоскости :
Сделаем замену переменных:
(2)
Из системы (2) надо найти , рассматривая как параметры. Далее, вычислим якобиан
Нетрудно из системы (2) найти
Достарыңызбен бөлісу: |
