Лемма. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде
Доказательство леммы. Из формулы (2)
или, учитывая формулу (3), имеем
В силу условия , оператор
является сжимающим оператором в пространстве непрерывных функций и поэтому уравнение (5) имеет единственное решение, которое будет пределом последовательных приближений :
… … … … … … …
или
где - сумма ряда
Лемма доказана.
Пользуясь формулами (3), (4) вычислим якобиан
где функция
дважды непрерывно дифференцируема по . Таким образом, после замены переменных, вместо уравнения (1), имеем
где
В силу финитности функции по первым двум аргументам в ограниченной области :
где
достаточно гладкая функция.
К обеим частям последнего уравнения применяем оператор усреднения по кругу радиуса с центром в точке :
С помощью полярных координат с центром в точке изучим первое слагаемое функции :
где
Введем новые переменные
тогда
Поэтому уравнение (6) запишем в виде
где
К уравнению (7) применяем оператор Лапласа по переменным :
Учитывая, что [21] и вспоминая свойство дельта-функции Дирака, имеем
или
Исследуем ядро уравнения (8). Если, как хорошо известно, ввести полярные координаты с центром в точке
, , (9)
то
,
следовательно, ядро уравнения (8) будет иметь вид
Преобразуем первые два одномерных интеграла функции с помощью формулы (9)
где
Следовательно,
или, в силу периодичности подынтегральной функций, имеем
При функция является достаточно гладкой функцией, т.к.
сходящийся несобственный интеграл второго рода.
Для изучения двойного интеграла функций кроме преобразования (9) используем следующее преобразование , , тогда
В силу периодичности функции, лежащей под внешним интегралом, получаем
Заметим, что
, (13)
где функции , определяются соответственно формулами (11), (12). Таким образом, задача оценки ядра уравнения (8), записанного в виде (10), сводится к задаче исследования гладкости функции по переменным , так как, как отмечается выше, функция из (13) является достаточно гладкой функцией при .
При достаточно малых можно всегда выбрать так, чтобы
, .
Разбиваем внутренний интеграл в формуле (12): один по отрезку , другой по отрезку , получаем
,
где
В интеграле введем новую переменную , тогда
достаточно гладкая функция.
Для оценки функции и ее производных порядка сама функцию запишем в следующем виде
где функция
удовлетворяет условию
[1, c. 25]. При вычислении производных
от функции мы можем внести символ под знак внутреннего интеграла. В силу достаточной гладкости функции
и функция
будет достаточно гладкой в интеграле . Далее существенно используем это замечание. Вычисление производной по от внутреннего интеграла функции приводит к появлению ряда слагаемых за счет вычисления производных по верхнему и нижнему пределам и интеграла за счет дифференцирования подынтегральной функции. Первые из слагаемых ограничены, так как функция на нижнем пределе ограничена и не зависит от , а на верхнем пределе совпадает с аналитической функцией
Интеграл, возникающий при дифференцировании подынтегрального выражения, имеет вид
и в силу неравенства (14) оценивается интегралом
Отсюда вытекает следующая оценка
которая справедлива в окрестности точки . Вне этой окрестности функция непрерывна и ограничена вместе с производными до второго порядка.
По известной лемме Адамара [24]
,
где гладкость функции на единицу меньше гладкости функции . Учитывая, что на самом деле зависит только от переменных , имеем
отсюда
На основе формулы (10) и используя неравенства (15), (16), оценим ядро интегрального уравнения второго рода (8) в окрестности
Таким образом, показали, что уравнение (8) является интегральным уравнением типа Фредгольма с особенностью вида
Учитывая, что при и , а также подбирая , получаем
Отсюда
т.е. интегральное уравнение (8) является уравнением со слабой особенностью в окрестности точки , а вне этой окрестности интегральное уравнение (8) имеет ограниченное ядро, то есть является интегральными уравнением Фредгольма второго рода.
Известно, что интегральное уравнение (8) с ядром такого типа имеет при фиксированных , ( - показатель степени роста функции по ) единственное решение , принадлежащее классу по переменным , если только диаметр области достаточно мал [23]. В силу условий теоремы, по образу Лапласа однозначно восстанавливается оригинал .
5. Единственность решения одной задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве
Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии
где - семейство конусов , или с вершинами в точках , опирающихся на плоскость .
Учитывая, что
поверхностный интеграл (1) можно свести к повторному интегралу
где - проекция поверхности на плоскость . Вводим полярную систему координат , , тогда имеем
Применяем преобразование Фурье к обеим частям уравнения по переменным :
Далее, вводя замену переменных , , последнее уравнение преобразуем к виду
где – преобразование Фурье функции по переменным . Меняя порядок интегрирования получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно функции :
где
Замена позволяет получить уравнение
Дифференцируя это уравнение по получаем
Продифференцировав еще раз по приходим к уравнению
Вычислим интеграл [22, формула (3.715)], где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Как известно, , поэтому . Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода [23]
.
Таким образом, доказана
Достарыңызбен бөлісу: |