Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии


Лемма. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде Доказательство леммы



бет7/13
Дата19.09.2023
өлшемі477.38 Kb.
#477944
түріЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
Дильман. ЕИУНЗИГ. Кызылорда-Саарбрюккен, 2016. - 58 с.

Лемма. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде

Доказательство леммы. Из формулы (2)

или, учитывая формулу (3), имеем

В силу условия , оператор

является сжимающим оператором в пространстве непрерывных функций и поэтому уравнение (5) имеет единственное решение, которое будет пределом последовательных приближений :



… … … … … … …


или

где - сумма ряда

Лемма доказана.

Пользуясь формулами (3), (4) вычислим якобиан





где функция

дважды непрерывно дифференцируема по . Таким образом, после замены переменных, вместо уравнения (1), имеем


где

В силу финитности функции по первым двум аргументам в ограниченной области :




где

достаточно гладкая функция.

К обеим частям последнего уравнения применяем оператор усреднения по кругу радиуса с центром в точке :










С помощью полярных координат с центром в точке изучим первое слагаемое функции :






где

Введем новые переменные



тогда







Поэтому уравнение (6) запишем в виде


где




К уравнению (7) применяем оператор Лапласа по переменным :




Учитывая, что [21] и вспоминая свойство дельта-функции Дирака, имеем


или

Исследуем ядро уравнения (8). Если, как хорошо известно, ввести полярные координаты с центром в точке


, , (9)
то
,
следовательно, ядро уравнения (8) будет иметь вид

Преобразуем первые два одномерных интеграла функции с помощью формулы (9)

где

Следовательно,



или, в силу периодичности подынтегральной функций, имеем

При функция является достаточно гладкой функцией, т.к.



сходящийся несобственный интеграл второго рода.
Для изучения двойного интеграла функций кроме преобразования (9) используем следующее преобразование , , тогда







В силу периодичности функции, лежащей под внешним интегралом, получаем


Заметим, что
, (13)
где функции , определяются соответственно формулами (11), (12). Таким образом, задача оценки ядра уравнения (8), записанного в виде (10), сводится к задаче исследования гладкости функции по переменным , так как, как отмечается выше, функция из (13) является достаточно гладкой функцией при .

При достаточно малых можно всегда выбрать так, чтобы


, .
Разбиваем внутренний интеграл в формуле (12): один по отрезку , другой по отрезку , получаем
,
где




В интеграле введем новую переменную , тогда


достаточно гладкая функция.

Для оценки функции и ее производных порядка сама функцию запишем в следующем виде




где функция

удовлетворяет условию

[1, c. 25]. При вычислении производных

от функции мы можем внести символ под знак внутреннего интеграла. В силу достаточной гладкости функции

и функция

будет достаточно гладкой в интеграле . Далее существенно используем это замечание. Вычисление производной по от внутреннего интеграла функции приводит к появлению ряда слагаемых за счет вычисления производных по верхнему и нижнему пределам и интеграла за счет дифференцирования подынтегральной функции. Первые из слагаемых ограничены, так как функция на нижнем пределе ограничена и не зависит от , а на верхнем пределе совпадает с аналитической функцией

Интеграл, возникающий при дифференцировании подынтегрального выражения, имеет вид



и в силу неравенства (14) оценивается интегралом


Отсюда вытекает следующая оценка

которая справедлива в окрестности точки . Вне этой окрестности функция непрерывна и ограничена вместе с производными до второго порядка.

По известной лемме Адамара [24]


,
где гладкость функции на единицу меньше гладкости функции . Учитывая, что на самом деле зависит только от переменных , имеем

отсюда

На основе формулы (10) и используя неравенства (15), (16), оценим ядро интегрального уравнения второго рода (8) в окрестности


Таким образом, показали, что уравнение (8) является интегральным уравнением типа Фредгольма с особенностью вида

Учитывая, что при и , а также подбирая , получаем

Отсюда

т.е. интегральное уравнение (8) является уравнением со слабой особенностью в окрестности точки , а вне этой окрестности интегральное уравнение (8) имеет ограниченное ядро, то есть является интегральными уравнением Фредгольма второго рода.

Известно, что интегральное уравнение (8) с ядром такого типа имеет при фиксированных , ( - показатель степени роста функции по ) единственное решение , принадлежащее классу по переменным , если только диаметр области достаточно мал [23]. В силу условий теоремы, по образу Лапласа однозначно восстанавливается оригинал .




5. Единственность решения одной задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве

Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии



где - семейство конусов , или с вершинами в точках , опирающихся на плоскость .

Учитывая, что




поверхностный интеграл (1) можно свести к повторному интегралу

где - проекция поверхности на плоскость . Вводим полярную систему координат , , тогда имеем

Применяем преобразование Фурье к обеим частям уравнения по переменным :





Далее, вводя замену переменных , , последнее уравнение преобразуем к виду



где – преобразование Фурье функции по переменным . Меняя порядок интегрирования получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно функции :

где

Замена позволяет получить уравнение



Дифференцируя это уравнение по получаем

Продифференцировав еще раз по приходим к уравнению




Вычислим интеграл [22, формула (3.715)], где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Как известно, , поэтому . Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода [23]




.
Таким образом, доказана


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет