Теорема. Если функция имеет финитную непрерывность по переменным и дважды дифференцируема по , то решение рассматриваемой задачи интегральной геометрии единственно в классе финитных непрерывных функций.
6. Единственность решения одной задачи интегральной геометрии в многомерном пространстве
Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии
где , – векторы, - семейство поверхностей
или
Учитывая, что
поверхностный интеграл (1) к виду
где - проекция поверхности на гиперплоскость .
Вводим замену переменных
,
где - направляющие косинусы нормального вектора к заданной поверхности семейства ; .
Учитывая соотношение
получим
Якобиан такого преобразования (приложение 1) , где
Тогда
К обеим частям этого уравнения применяем преобразование Фурье по вектору :
Теперь изменяем порядок интегрирования
С помощью замены , имеем
отсюда
где - преобразование Фурье функции по вектору .
Замена переменной позволяет написать последнее уравнение в виде
где
или
где
Дифференцируем по семейство (5) интегральных уравнений Вольтерра первого рода
Учитывая, что , продифференцируем последнее уравнение еще раз по
Найдем производную функции – порядка по переменной
где - количество сочетаний,
Из формулы производной следует, что
Тогда из формулы
получим
так как можно доказать неравенство (приложение 2)
Таким образом, дифференцируя интегральное уравнение (2) всего раз по получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода
или
Следовательно, справедлива
Теорема. Если функция имеет финитную непрерывность по вектору и раз дифференцируема по , то решение поставленной задачи (1) интегральной геометрии единственно в классе финитных непрерывных функций.
Приложение 1.
Якобиан
Приложение 2.
При
При
При
так как
где
По методу математической индукции при предполагаем выполнение неравенства
При докажем выполнение следующего неравенства
где
Следовательно, для любого натурального справедливо неравенство
Достарыңызбен бөлісу: |
