Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

3.1.6. Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Материялық нүктенің m массасы мен жылдамды-ғының көбейтіндісіне тең =m векторын оның қозғалыс мөлшері дейміз.

Бұл теңдеудің екі жағын да dt -ға көбейтеміз:

(3.32) – теңдеудің оң жағын-дағы dt көбейтіндісін күштің элементар импульсі деп атайды, олай болса (3.18)–теңдеу теоре-ма түрінде былай айтылады: материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің дифференциалы кү-шінің элементар импульсіне тең.

Уақыт t = to болғанда нүкте жылдамдығы = ₀ болады дейік. (3.32)–теңдіктің сол жағынан ₀-ден -ға дейінгі шектерде, ал оң жағынан t₀-ден t-ға дейінгі шектердегі интегралдар алайық:

. (3.33)

Элементар импульстерден t=to уақыт аралығында алынған интегралмен анықталатын векторын күштің сол уақыт аралығындағы импульсі деп атайды:

_.

Күш импульсінің координаттар өстеріндегі проекциялары мынадай теңдіктермен анықталынады:

(3.33) теңдігінің оң жағында тұрған интеграл күштің t –to уақыт аралығындағы импульсін анықтайды, сондықтан да оны мына түрде қайталап жазайық:

(3.33) және (3.35) теңдіктері материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың айырым түріндегі өрне-гін береді: ќандай да уақыт аралығындағы нүктенің қозғалыс мөлшерлерінің өзгеруі сол уақыт аралығындағы күш импульсіне тең.

Векторлық теңдеу (3.33)-ді координаттық өстерге проекция-ласақ осындай үш скалярлық теңдеуді аламыз:

. (3.36)

Күш импульсінің координаттық өстердегі проекциялары-ның (3.34) теңдеулерінде көрсетілген анықтамаларын пайдалан-сақ, онда соңғы скалярлық теңдеулерді мына түрде жазамыз:

. (3.37)

Теореманың координаттық өстерге проекциясы былай айтылады: нүктенің қозғалыс мөлшерінің берілген өстегі проекциясының қандайда бір уақыт аралығындағы өзгеруі сол уақыт аралығындағы күш импульсінің осы өстегі проекциясына тең.




1-мысал. Материялық нүкте М шең-бер бойымен бірқалыпты қозғалады (3.9-сурет). Нүктенің массасы және оның жылдамдығы .

Нүкте жарты шеңбер жол жүріп, орнынан орнына орын ауыстырған уақыт аралығындағы нүктеге түсірілген күштің импульсін анықтау керек.

,

мұндағы, және сәйкес және нүктелерінің жылдамдық векторлары.

Есептің берілгені бойынша , яғни:

_,

импульс -тің бағыты -нің бағытымен бағыттас, ал оның шамасы:

.

3.10-сурет

Есептің шартында уақыт сұралғандықтан есепті шешуге қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманы қолданған жөн:

Біз (а) жүйесін құрарда М нүктесіне әсер етуші күштерін алдымен өсіне, одан кейін өсіне проекцияладық. (а) жүйесіндегі екінші теңдеуден:

(а) жүйесіндегі бірінші теңдеуден:

мұндағы, F нормаль қысымға пропорционал үйкеліс күші:

Сондықтан да:

Соңғы теңдеудің екі жағын да P-ға қысқартып және айнымалыларын бөлектеп жазу арқылы мынаны аламыз:

Бұл теңдеудің сол жағын 0-ден l-ѓа дейін, ал оң жағын

Соңғы теңдеуден керекті уақыт Т-ны табамыз:

мұндағы, және – тұрақты шамалар. Үйкеліс күшін есепке алмаймыз.

3.11-сурет

Денеге салмақ күші, бағыттаушының реакциясы және күші әсер етеді. Салмақ және реакция күштері теңгеріледі. Яғни күші күшіне тең.

(3.37)-теңдеулердің біріншісін пайдаланамыз:

, (

мұндағы, .

Сондықтан теңдеуін мына түрде жазамыз:

,

немесе:

.

Осыдан уақыт мезгілінде дене жылдамдығының өсіне проекциясын анықтаймыз:

.

( және - сантиметрмен , және секундпен берілген).

Шешуі.

Нүктенің жылдамдық векторы

үдеу векторы

мұндағы және остерінің бірлік векторлары; жылдамдық пен үдеудің координаталар остеріне проекциалары. Жылдамдық пен үдеудің проекциаларын табу үшін (1) теңддеулерінін уақыт бойынша туынды аламыз:

1-сурет. ;

Табылған проекциалар арқылы жылдамдық пен үдеудің сандық мәндерін анықтаймыз:

, .

Нүктенің жанама үдеуінің модулі:

немесе

Нүктенің нормалы үдеуі:

Мұндағы - нүктенің қозғалыс троекториясының қисықтық радиусы. Егер қарастырылып отырған нүкте троекториясының қисықтық радиусы белгісіз болса, онда жалпы жағдайда төмендегі өрнекпен анықталады:

(2)

Егер нүкте жазықтықта қозғалыс онда (2) өрнек төмендегі түрде жазылады:

Нүктенің нормаль үдеуін басқаша да табуға болады:

(2) немесе (4) өрнектерінен нормаль үдеуді тапқаннан кейін, траекторияның қисықтық радиусы келесі теңдікпен анықталады:

. (5)

с уақыт мезетіне сәйкес табылған шамалар 1- кестеде келтірілген. Берілген уақыт мезетіне сәйкес М нүктесінің орны 1-суретте көрсетілген. құраушыларын пайдаланамыз. Жылдамдық векторының бағыты траекторияға жүргізілген жанамаға бағыттас. векторын және проекцияларын пайдаланып салғаннан кейін, оны және екі құраушыға жіктейміз. Сызба бойынша табылған мәндерінің шамалары аналитикалық әдіспен табылған мәндерге тең болуы, есептің дүрыс шығарылғанын көрсетеді.

1-кесте.

Координаталар		Жылдамдық			Үдеу					Қисықтық радиусы
2,0	3,0	4,0	16,0	16,5	0	32,1	33,5	31,0	7,8	35,0

К2-Тапсырма. Айналмалы қозғалыстардың дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтау
Тапсырманы орындау үлгісі. Есеп шарттары: тетік схемасы (2-сурет),

R₂=50см, r₂=25см , R₃=65см, r₃=40см, x₀=14см, v₀=5см/с, x₂=168см.тапсырмадағы t=0, t₂ =2 с кездегі бастапқы шарттарға сәйкес жүктің қозғалыс теңдеуін және t=t₁ мезетте жүк пен М нүктесінің жылдамдығы мен үдеуін анықтаңдар.

с₀, с₁, с₂ коэфициенттері төмендегі шарттардан табылады:

1-жүктің жылдамдығы:

(10) мен (11) теңдіктердегі координаталар мен жылдамдық мәндерін (9) бен (12) теңдеулерге қойсақ, коэфициенттер мәндері төмендегідей болады: .

Ендеше 1- жүктің қозғалыс теңдеуі:
^.

1-жүктің жылдамдығы:

1-жүктің үдеуі

Тетік схемасына сәйкес :

Бұл теңдеулерден:

М нүктесінің жылдамдығы, жанама, нормаль және толық үдеулері төмендегі формулалармен анықталады:

1-жүк пен М нүктесінің жылдамдығы мен үдеулері 3-суретте көрсетілген.

2-сурет.

3-сурет.
2-кесте.

77	72	2,37	2,22	94,8	224	88,6	241

1-5-варианттар (53,1-сурет). Горизонтпен бұрыш құратын көлбеу жазықтықтың АВ=l аралығын дене секундта өтеді. Дененің бастапқы жылдамдығы , жазықтықпен сырғанау үйкеліс коэффийенті f.

Жазықтықтың В нүктесін дене жылдамдықпен өтіп, T с уақыттан кейін, горизонтпен бұрыш құратын BD жазықтығының С нүктесіне жылдамдықпен келеді. Есепті шығарғанда денені материялық нүкте ретінде қарастырыңдар.

1-вариант. Есеп шарттары: мен h-ты анықтаңдар

2-вариант. Есеп шарттары: ұзындығын және нүктенің ВС аралығындағы траектория теңдеуін табыңдар.

3-вариант. Есеп шарттары: жылдамдықпен уақытты анықтаңдар.

Есеп шығарғанда шаңғышыны материялық нүкте деп алып, ауа кедергісін ескермеңдер.