Классический пример теории возмущений

Приближает ли к ответу приближение?

Немного ниже мы обсудим вопрос об определении константы связи струны в каждой из пяти теорий, однако сначала необходимо уточнить, что означают слова «большая» и «малая» применительно к константе связи. Оказывается, что с точки зрения математического формализма теории струн границей между областями «больших» и «малых» констант связи является число 1. Это означает, что при константах связи, меньших 1, молниеносное вырывание большого числа пар виртуальных струн становится крайне маловероятным. Однако если константа связи больше или равна 1, то краткосрочное появление на сцене таких виртуальных пар становится весьма вероятным и увеличивается с увеличением константы связи струны⁵). В итоге, при константах связи струны, меньших 1, вклады диаграмм с петлями при увеличении числа петель уменьшаются. Это как раз то, что нужно для подхода с использованием теории возмущений: уменьшение вкладов говорит о том, что мы получим

194 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

достаточно точные результаты, если будем пренебрегать всеми вкладами, кроме вкладов диаграмм, содержащих лишь несколько петель. Но если константа связи струны больше 1, то по мере увеличения числа петель старшие петлевые вклады становятся все более важными. Как и в случае тройной системы звезд, теория возмущений здесь неприменима. И первое приближение, которое дают диаграммы без петель, приближением не является. (Все это в равной мере относится к каждой из пяти теорий струн, так как применимость приближенного подхода с использованием теории возмущений к любой заданной теории определяется значением константы связи.)

Поэтому возникает еще один важнейший вопрос: чему же равно значение константы связи (точнее, чему равны значения констант связи струны в каждой из пяти теорий струн)? Найти ответ до сих пор никому не удалось. Этот вопрос является одним из главных нерешенных вопросов в теории струн. Можно с уверенностью утверждать, что выводы, полученные в рамках теории возмущений, справедливы лишь в случае, если константа связи струны меньше единицы. Кроме того, точное значение константы связи струны непосредственно влияет на массы и заряды частиц, соответствующих ее различным колебательным модам. Таким образом, значение константы связи струны определяет большинство физических свойств теории. Сейчас мы подробнее обсудим причины того, почему на вопрос о значении константы связи во всех пяти теориях струн до сих пор нет ответа.

Уравнения теории струн

В каждой из пяти теорий струн существует уравнение, с помощью которого можно вычислить значение константы связи в этой теории. Однако к настоящему времени для всех пяти теорий физикам удалось найти лишь приближенный вид этого уравнения, полученный в рамках теории возмущений путем вычисления небольшого числа определенных диаграмм. И во всех пяти теориях приближенный вид уравнения говорит лишь о том, что если умножить значение константы связи на нуль, должен получиться нуль. Результат крайне удручающий, так как любое число при умножении на нуль дает нуль, и уравнению удовлетворяет любое значение константы связи струны. Поэтому во всех пяти теориях приближенные уравнения для определения константы связи не дают никакой информации о ее значении.

Кроме того, в каждой из пяти теорий струн должно существовать уравнение, с помощью которого в принципе можно определить точный вид как протяженных, так и свернутых пространственно-временных измерений. Известный на данный момент приближенный вид этого уравнения приводит к гораздо более жестким ограничениям, чем вид уравнения для константы связи, но допустимых решений все равно оказывается очень много. Например, допустимы решения с четырьмя протяженными и шестью свернутыми измерениями Калаби—Яу, но даже этим широким классом решений все они не исчерпываются: возможны и другие разбиения числа измерений на протяженные и свернутые⁶).

Что означают эти результаты? Возможны три ситуации. В первом, наихудшем случае даже при наличии уравнений для определения константы связи струны, а также уравнений для определения размерностей и точного вида пространства-времени (этим не может похвастаться ни одна теория), до сих пор не найденные точные уравнения могут допускать широкий спектр решений, что значительно ослабляет их предсказательную силу. Если это так, это будет крахом гипотезы о том, что теория струн способна объяснить свойства природы без необходимости экспериментального определения этих свойств и более или менее произвольной подгонки теории под эти свойства. Мы вернемся к анализу этого случая в главе 15. Во втором слу-

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-теории 195

чае избыточная свобода выбора при решении приближенных уравнений теории струн может говорить об изъянах в нашей аргументации. Мы пытаемся использовать методы теории возмущений для определения значения самой константы связи струны. Но, как обсуждалось выше, методы теории возмущений имеют смысл лишь в случае, если константа связи меньше 1, и поэтому возможно, что при таких расчетах делается неоправданное предположение о самом результате, а именно, что этот результат будет меньше 1. Наша неудача вполне может объясняться неправильностью исходной предпосылки: в любой из пяти теорий струн константа связи может быть больше 1. Наконец, в третьем случае нежелательный произвол в решениях может быть просто следствием того, что мы используем приближенные, а не точные уравнения. Например, даже если константа связи в данной теории струн меньше 1, уравнения теории могут быть чувствительны к вкладам всех диаграмм. То есть учет небольших поправок, соответствующих всем многопетлевым диаграммам, может быть важным для сведения приближенного уравнения, допускающего множество решений, к точному уравнению с ограниченным числом решений.

К началу 1990-х гг. анализ двух последних возможностей убедил большинство теоретиков в том, что повсеместное использование теории возмущений является помехой на пути прогресса. По мнению подавляющего большинства ученых, следующее серьезное продвижение возможно лишь при использовании подхода, не скованного приближенными методами и, следовательно, далеко выходящего за рамки теории возмущений. Еще в 1994 г. разработка такого подхода казалась несбыточной мечтой. Однако иногда и такие мечты сбываются.

Дуальность

Когда подошло время заявленного выступления Эдварда Виттена, он поднялся на кафедру и сделал доклад, который вызвал вторую революцию в теории суперструн. Вдохновленный результатами более ранних работ Даффа, Халла и Таунсенда, а также замечательными идеями Шварца, Ашока Сена и других теоретиков, Виттен объявил о новой стратегии выхода за рамки теории возмущений в теории струн. Главным элементом этой стратегии было понятие дуальности.

Физики используют это понятие для описания теоретических моделей, которые кажутся различными, но приводят к идентичным физическим следствиям. Есть «тривиальные» примеры дуальности, в которых совершенно одинаковые теории могут казать-

196 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

ся различными лишь вследствие того, как эти теории представлены. Человек, понимающий только английский язык, не поймет, что речь идет о теории относительности, если объяснять ему эту теорию на китайском языке. Однако физик, свободно владеющий обоими языками, легко переведет ее на свой язык и установит эквивалентность двух теорий. Мы называем этот пример «тривиальным», поскольку с точки зрения физики при переводе не обнаруживается ничего нового. Для владеющих разными языками теоретиков получить новый результат в теории относительности одинаково сложно вне зависимости от того, на каком языке эта теория сформулирована. Переход от английского к китайскому и обратно не приводит к появлению новых физических результатов.

Нетривиальными являются те примеры дуальности, в которых различные описания одной и той же ситуации приводят к различным взаимодополняющим физическим выводам и математическим методам исследования. На самом деле, выше мы уже дважды сталкивались с такими примерами. В главе 10 обсуждалось, что теория струн во вселенной с циклическим измерением радиусом R может быть с тем же успехом описана в рамках теории во вселенной с циклическим измерением радиусом 1/R. Геометрически два варианта различны, но физические явления оказываются совершенно идентичными. Второй пример — зеркальная симметрия. Имеются два различных многообразия Калаби—Яу в дополнительных шести пространственных измерениях, но две вселенные, кажущиеся на первый взгляд совершенно разными, имеют одни и те же физические свойства. Существенным отличием от перевода с одного языка на другой является то, что эти дуальные описания могут привести к новым физическим результатам, например, к предсказаниям минимального размера циклического измерения или переходов с изменением топологии в теории струн.

В своей лекции на конференции «Струны-95» Виттен привел пример нового и фундаментального типа дуальности. Как кратко отмечено в начале этой главы, он предположил, что пять теорий струн, имеющих совершенно разную структуру, на самом деле являются лишь разными способами описания одного и того же физического мира. Работая с пятью теориями струн, мы просто смотрели в пять разных окон, обращенных в сторону одного теоретического фундамента.

До событий середины 1990-х гг. возможность существования дуальности такого масштаба была одной из лелеемых физиками идей, о которой можно было упоминать лишь шепотом — настолько она представлялась фантастической. Если две теории существенно расходятся в деталях формулировки, трудно вообразить, что эти теории могут быть просто двумя разными описаниями одной и той же физической реальности, лежащей в основе. Тем не менее, с развитием теории струн появляются все более убедительные свидетельства в пользу того, что все пять теорий струн являются дуальными. Кроме того, как будет пояснено ниже, из доводов Виттена следует, что в физике есть место и для шестой теории.

Эти результаты тесно переплетены с вопросами о применимости методов теории возмущений, обсуждавшихся в конце предыдущего пункта. Причина в том, что пять теорий струн сильно отличаются друг от друга, если в каждой из них предполагается наличие слабой связи, т. е. если константа связи меньше 1. Долгое время физики опирались на теорию возмущений, в рамках которой невозможна постановка вопроса о том, какими будут свойства любой из теорий, если окажется, что константа связи в этой теории больше 1, т. е. связь будет сильной. По утверждениям Виттена и других исследователей, сейчас можно ответить на этот важнейший вопрос. Их результаты убедительно свидетельствуют о том, что для сильной связи в каждой из теорий (включая шестую теорию, которую мы опишем ниже) есть дуальное описание в терминах слабой связи в другой теории, и наоборот.

Чтобы яснее понять смысл последнего утверждения, можно взять на вооружение следующую аналогию. Представим себе двух, мягко говоря, слегка чудаковатых индивидуумов. Один из них обожает лед, но, как ни странно, никогда не видел воды. Второй обожает воду, но, что не менее странно, никогда не видел льда. Однажды они

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-теории 197

встречаются и решают отправиться в поход по пустыне. В начале похода каждый из них изумлен снаряжением другого. Любитель льда пленен гладкой поверхностью прозрачной жидкости, которую принес с собой любитель воды, а любителя воды странным образом притягивают твердые кубики, принесенные любителем льда. Ни один из них и не подозревает о близком родстве между льдом и водой; для них эти субстанции совершенно различны. Но, продвигаясь по палящей жаре пустыни, они поражены тем, что лед начинает медленно превращаться в воду. А позже, дрожа от дикого холода пустынной ночи, они столь же сильно поражены тем, что жидкая вода начинает медленно превращаться в твердый лед. И тут до них доходит, что вода и лед, которые они считали совершенно разными веществами, тесно связаны между собой.

Дуальность в пяти теориях струн в чем-то похожа на этот пример: грубо говоря, константы связи струны играют роль, аналогичную температуре в пустыне. Подобно воде и льду, любые две из пяти теорий с первого взгляда кажутся совершенно различными. Но при изменении соответствующих констант связи эти теории превращаются одна в другую. Так же, как лед превращается в воду при увеличении температуры, одна из теорий переходит в другую при увеличении константы связи. Эта аналогия, в конце концов, может привести нас к выводу о том, что все теории струн являются дуальными описаниями единой структуры — аналога Н₂О для воды и льда.

Аргументация в пользу такого вывода почти целиком основана на принципах симметрии. Обсудим эти принципы.

Мощь симметрии

к вычислению отдельных масс и зарядов), проявляющихся в области физики сильной связи для данной теории, но все же находящихся в пределах наших вычислительных возможностей. Такие вычисления, с необходимостью выходившие за рамки теории возмущений, сыграли главную роль во второй революции суперструн и стали возможными во многом благодаря соображениям симметрии.

Принципы симметрии дают мощные средства для изучения многих свойств реального мира. Мы уже упоминали о том, что хорошо подтверждающаяся уверенность в том, что законы физики не выделяют никакое конкретное место во Вселенной и никакой конкретный момент времени, позволяет нам предположить, что законы «здесь и сейчас» будут теми же самыми, что и «там и тогда». Это всеобъемлющий пример; но принципы симметрии могут с тем же успехом применяться в более скромных случаях. Например, если свидетель ограбления разглядел лишь правую половину лица преступника, в полиции его информация все равно окажется ценной для составления фоторобота. Симметрия тому причиной. Хотя правая и левая половина лица отличаются, большинство лиц достаточно симметричны для того, чтобы отраженный образ одной половины лица можно было бы с успехом использовать в качестве приближения для другой половины.

В каждом из разнообразных применений роль симметрии состоит в возможности восстановления свойств по косвенным признакам, что часто гораздо проще прямого подхода. Для изучения законов физики в созвездии Андромеды можно было бы направить туда экспедицию, найти подходящую планету у одной из звезд, построить там ускорители и проводить эксперименты, аналогичные экспериментам на Земле. Но косвенный подход с использованием симметрии при сдвиге места действия куда проще. Можно было бы в деталях ознакомиться с чертами левой половины лица грабителя, изловив преступника и отправив его в участок. Но часто гораздо проще сначала воспользоваться лево-правой симметрией человеческих лиц⁷⁾.

198 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

Суперсимметрия принадлежит к более абстрактным типам симметрии, который связывает физические свойства элементарных объектов с различными спинами. Эксперимент дает лишь косвенные намеки на то, что в микромире реализуется такой механизм симметрии, но по описанным выше причинам физики твердо убеждены, что он действительно реализуется. Естественно, этот механизм является неотъемлемой частью теории струн. В 1990-е гг. после пионерской работы Натана Зайберга из Института перспективных исследований физики осознали, что суперсимметрия дает мощный инструмент, используя который можно косвенным методом ответить на ряд очень сложных и важных вопросов.

Одно то, что теория обладает суперсимметрией, позволяет даже без понимания всех тонкостей теории накладывать существенные ограничения на ее допустимые свойства. Приведем пример из лингвистики. Пусть известно, что в некоторой последовательности букв буква «у» встречается ровно три раза, и задача состоит в том, чтобы угадать эту последовательность. Не имея дополнительной информации, невозможно найти однозначное решение: подойдет любая последовательность с тремя буквами «у», например mvcfojziyxidqfqzyycdi и т. п. Но теперь допустим, что нам последовательно дают две подсказки: во-первых, ответ должен быть существующим английским словом, и, во-вторых, это слово должно содержать минимальное количество букв. Бесконечное количество первоначальных вариантов сокращается этими двумя подсказками сразу до одного кратчайшего английского слова с тремя «у»: syzygy (сизигия).

Суперсимметрия также дает подсказки, позволяющие конкретизировать ситуацию в теориях, которым свойственны такие принципы симметрии. Чтобы понять это, представьте, что вы столкнулись с физической задачей, аналогичной только что описанной задаче из лингвистики. Внутри черного ящика находится нечто неопознанное с определенным зарядом. Заряд может быть электрическим, магнитным, или иметь иную природу; для определенности примем, что этот заряд равен трем единицам электрического заряда. Без дополнительной информации определить содержимое ящика невозможно. В нем могут находиться три частицы с зарядом 1, подобные позитронам или протонам, или четыре частицы с зарядом 1 и одна частица с зарядом -1 (например, электрон), или девять частиц с зарядом 1/3 (например, и-кварки) плюс любое число незаряженных частиц (например, фотонов) и т. д. Подходит любая комбинация частиц с суммарным зарядом 3. Как и в лингвистической задаче, где единственным условием было наличие трех букв «у», число возможных вариантов содержимого черного ящика бесконечно.

Но теперь, как и в примере из лингвистики, предположим, что нам даны еще две подсказки: во-первых, теория, описывающая мир (а, следовательно, и содержимое черного ящика) является суперсимметричной, и, во-вторых, содержимое черного ящика должно иметь минимальную массу. Пользуясь результатами работ Е. Богомольного, Маноджа Прасада и Чарльза Соммерфилда, физики показали, что такая жесткая структура формализма (формализм суперсимметрии — аналог английского языка) и «условие минимальности» (минимальность массы с данным электрическим зарядом — аналог минимальной длины слова с данным числом букв «у») приводят к тому, что скрытое содержимое определяется однозначно. То есть требование минимальности массы содержимого черного ящика при условии, что заряд внутри него будет равен заданному, позволяет однозначно определить это содержимое. Состояния с данным значением заряда, в которых суммарная масса частиц минимальна, называют Б ПС-состояниями в честь трех открывших эти состояния ученых⁸⁾.

Важность БПС-состояний состоит в том, что их свойства однозначно, легко и точно определяются без привлечения теории возмущений. Это справедливо вне зависимости от значения констант связи. Даже если константа связи струны велика, и, следовательно, подход с использованием теории возмущений неприменим, все равно можно вычислить точные параметры БПС-состояний. Эти параметры часто называют непертурбативными массами и зарядами, так как их значения вычислены вне рамок приближен-

Глава 12. За рампами струн: в поисках М-твории 199

ного подхода по теории возмущений. Поэтому для читателя, владеющего английским языком, BPS можно расшифровать и как beyondperturbative states — состояния вне рамок теории возмущений.

БПС-свойства описывают лишь малую долю всех физических явлений в конкретной теории струн при больших константах связи, но эти состояния позволяют четко прояснить некоторые характеристики теории в области сильной связи. При выходе константы связи струны за рамки применимости теории возмущений, привязка к БПС-состояниям позволяет расширить границы нашего понимания теории. Как и знание лишь нескольких выборочных слов в иностранном языке, эти состояния могут нам помочь продвинуться довольно далеко.

Дуальность в теории струн

Когда значение константы связи струны типа I превысит единицу, методы теории возмущений станут неприменимыми, так что мы сфокусируем наше внимание на ограниченном наборе масс и зарядов БПС-состояний, которые мы еще будем в состоянии понять. Согласно гипотезе Виттена, подтвержденной затем в совместной работе с Джо Польчински из университета Санта Барбары, свойства теории струн типа I в области сильной связи в точности совпадут с известными свойствами теории О-гетеротической струны со слабой связью. Иными словами, если константа связи в теории струн типа I велика, конкретные массы и заряды, которые мы умеем вычислять, в точности совпадут с массами и зарядами в теории О-гетеротической струны с малой константой связи. Это явно указывает на то, что две теории струн, которые, подобно воде и льду, сначала казались совершенно разными, в действительности дуальны друг другу. При этом появляется убедительный довод в пользу того, что физические процессы в теории струн типа I для больших констант связи идентичны физическим процессам в теории О-гетеротической струны для малых констант связи. Схожие соображения наталкивают на мысль, что справедливо и обратное. Физические процессы в теории струн типа I для малых констант связи идентичны физическим процессам в теории О-гетеротической струны для больших констант связи⁹⁾. Несмотря на то, что при анализе приближенными методами теории возмущений две теории струн кажутся не связанными, при изменении констант связи происходит переход одной из них в другую, подобный взаимным превращениям воды и льда.

Этот существенно новый результат — возможность описания физических свойств одной теории в области сильной связи в рамках другой теории в области слабой связи — называют дуальностью сильной и слабой связи. Как и рассмотренные выше примеры дуальности, эта дуальность показывает, что две теории на самом деле не являются разными. Точнее, они дают различные описания одной и той же лежащей в их основе теории. В отличие от «тривиальной» дуальности английского и китайского языков, дуальность силь-

200 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

ной и слабой связи дает мощный инструмент исследования теорий. Если константа связи в одной из двух теорий мала, можно анализировать физические свойства с помощью хорошо известных приемов теории возмущений. Однако если константа связи велика, и теория возмущений неприменима, можно перейти к дуальной теории и вернуться к методам теории возмущений. Переход позволяет использовать количественные методы применительно к ситуациям, анализ которых, как казалось ранее, выходит за рамки наших возможностей.

Строгое доказательство того, что физические процессы в теории струн типа I для малых констант связи идентичны физическим процессам в теории О-гетеротической струны для больших констант связи и обратно, является очень сложной и до сих пор не решенной задачей. Одна из двух предположительно дуальных теорий не может быть исследована по теории возмущений, так как ее константа связи слишком велика. Это не позволяет провести прямой расчет многих физических характеристик теории. И именно этим объясняется мощный потенциал предполагаемой дуальности: если гипотеза дуальности верна, она дает новый инструмент исследования теории в области сильной связи. Нужно лишь использовать теорию возмущений для дуальной теории в области слабой связи.

Даже если нельзя доказать, что две теории дуальны, полное согласие результатов, которые можно получить строго, является неоспоримым свидетельством в пользу гипотезы дуальности сильной и слабой связи теории типа I и теории О-гетеротической струны. Эта гипотеза проходила проверку с использованием все более изощренных вычислительных методов, и неизменно находила свое подтверждение. Большинство теоретиков, занимающихся струнами, убеждены в справедливости гипотезы дуальности.

Тем же самым методом можно изучить свойства других теорий струн, например, типа IIВ. Согласно первоначальному предположению Халла и Таунсенда, которое затем было подтверждено исследованиями ряда физиков, в этой теории происходит нечто столь же необычное. При увеличении константы связи те физические свойства, которые еще можно определить, начинают совпадать со свойствами той же теории струн типа ПВ в области слабой связи. Другими словами, теория струн типа ПВ является самодуальной¹⁰⁾. Тщательный анализ показывает, что теория струн типа ПВ с константой связи, большей 1, совершенно идентична той же теории струн с константой связи, обратной изначальной (и, следовательно, меньшей 1). Ситуация аналогична рассмотренному выше стягиванию циклического измерения до планковской длины: если уменьшать значение константы связи в теории типа ПВ до значения, меньшего 1, то вследствие самодуальности мы придем к эквивалентной теории типа ПВ с константой связи, большей 1.

Предварительные итоги

В настоящее время физики научились рассчитывать определенные характеристики каждой теории струн в области сильной связи, используя мощный формализм суперсимметрии. Ко всеобщему изумлению всех теоретиков, свойства теории О-гетеротических струн в области сильной связи оказались идентичными свойствам теории струн типа 1

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-теории 201

в области слабой связи, и наоборот. Более того, свойства теории струн типа IIВ в области сильной связи оказались идентичными свойствам той же теории в области слабой связи. Эти неожиданные открытия побуждают нас, следуя Виттену, перейти к анализу двух оставшихся теорий струн, струн типа IIА и Е-гетеротической струны, и выяснить, как эти теории вписываются в общую картину. И здесь нас ожидают еще более удивительные неожиданности. Для того чтобы подготовиться к ним, необходимо совершить краткий исторический экскурс.

Супергравитация

Урок, смысл которого, вероятно, стал более ясен после работы сотрудников Парижской высшей технической школы Юджина Креммера, Бернара Джулиа и Шерка (1978 г.) состоял в том, что успешнее остальных оказались попытки построить теории супергравитации не в четырех, а в большем числе измерений. А именно, наиболее перспективными оказались варианты теорий в десяти или одиннадцати измерениях, при этом число одиннадцать оказалось максимально возможным числом измерений¹¹⁾. Связь с четырьмя наблюдаемыми измерениями в этих теориях также обеспечивалась путем использования формализма Калуцы—Клейна: лишние измерения сворачивались. В десятимерных теориях, как и в теории струн, сворачивалось шесть измерений, а в 11-мерной теории сворачивалось семь измерений.

Когда в 1984 г. теория струн увлекла многих физиков, виды на будущее у теорий супергравитации для точечных частиц резко ухудшились. Как уже неоднократно подчеркивалось, при точности, доступной сегодня и в обозримом будущем, струны выглядят, как точечные частицы. Это неформальное замечание можно сформулировать и в строгой форме: при изучении низкоэнергетических процессов в теории струн, т. е. процессов, в которых энергии недостаточно велики для того, чтобы прощупать протяженную ультрамикроскопическую структуру струны, можно аппроксимировать струну бесструктурной точечной частицей в формализме квантовой теории поля. Для процессов на малых расстояниях или процессов при больших энергиях такое приближение не подходит, так как мы знаем, что протяженность струны является важнейшим свойством, позволяющим разрешить конфликты между общей теорией относительности и квантовой теорией, которые теория точечных частиц разрешить не в состоянии. Однако при достаточно низких энергиях или на достаточно больших расстояниях эти проблемы не возникают, и такое приближение часто делается для удобства вычислений.

Примечательно, что квантовой теорией поля, дающей наилучшее приближение теории струн в указанном смысле, является десятимерная теория супергравитации. Особые свойства этой теории, обнаруженные в 1970-х и 1980-х гг., теперь находят свое объяснение: они являются низкоэнергетическими отголосками свойств теории струн. Исследователи, изучавшие десятимерную супергравитацию, обнаружили лишь вершину

202 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

огромного айсберга конструкции теории суперструн. В действительности оказывается, что существуют четыре различных теории десятимерной супергравитации, и эти теории отличаются в деталях конкретной реализации суперсимметрии. Три из них являются низкоэнергетическими приближениями струн типа ПА, типа ИВ и Е-гетеротических струн точечными частицами. Четвертая теория является низкоэнергетическим пределом как струн типа I, так и О-гетеротических струн; в ретроспективе, этот факт был первым указанием на близость двух последних теорий.

Схема выглядит безупречной, вот только 11-мерная супергравитация осталась не у дел. В теории струн, которая формулируется в десяти измерениях, кажется, нет места для 11-мерной теории. На протяжении нескольких лет большинство физиков за редким исключением рассматривали 11-мерную супергравитацию в качестве математического курьеза, не имеющего никакого отношения к физике теории струн¹²⁾.

Проблески М-теории

Когда Виттен объявил о своем открытии, все присутствовавшие в аудитории потеряли дар речи, а позже весть об этом открытии громом пронеслась по всем институтам, где занимаются теорией струн. Почти для всех специалистов в этой области результат был полной неожиданностью. Первая реакция читателя этой книги, возможно, тоже будет напоминать реакцию большинства экспертов: какое отношение может иметь теория, характерная для одиннадцати измерений, к другой теории в десяти измерениях?

Ответ несет в себе глубокий смысл. Чтобы понять его, нужно описать результат Виттена более точно. На самом деле, сначала проще обратиться к другому тесно связанному с этим результату, полученному чуть позже Виттеном и стажером Принстонского университета Петром Хофавой для теории Е-гетеротической струны. Для этой теории в области сильной связи ими также было найдено описание в терминах 11-мерной теории; это поясняется на рис. 12.7. Слева на этом рисунке схематически показана теория Е-гетеротической струны с константой связи, много меньшей 1. Эта область констант связи рассматривалась в предыдущих главах и изучалась теоретиками на протяжении более десяти лет. При переходе вправо на рис. 12.7 значение константы связи постепенно увеличивается. До 1995 г. теоретикам было известно, что при этом вклады петлевых диаграмм (см. рис. 12.6) будут становиться все более важными, и при дальнейшем увеличении константы связи весь формализм теории возмущений перестает быть справедливым. Но никто не мог даже вообразить того, что при увеличении константы связи проявится новое измерение! На рис. 12.7 это измерение соответствует вертикали. Нужно помнить, что двумерная сетка на рисунке, с которого мы начали обсуждение, представляет все девять пространственных измерений Е-гетеротической струны. Новое измерение по вертикали будет десятым пространственным, так что вместе с временным измерением в сумме получается одиннадцать пространственно-временных измерений.

Кроме того, на рис. 12.7 иллюстрируется важнейшее следствие существования этого нового измерения. Структура Е-гетеротической струны меняется по мере роста этого измерения. При увеличении константы связи из одномерной петли она растягивается в ленту, а затем — в деформированный цилиндр! Другими словами, Е-гетеротическая струна становится двумерной мембраной, ширина которой (протяженность по вертикали на рис. 12.7) определяется значением константы связи. Более десятилетия теоретики всегда использовали методы теории возму-

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-твории 203

Рис. 12.7. При увеличении константы связи Е-гетеротической струны появляется новое измерение, и сама струна вытягивается, принимая вид цилиндрической мембраны

щений, основанные на предположении малости константы связи. Как показал Виттен, в этом предположении фундаментальные объекты микромира выглядят и ведут себя подобно струнам, даже если у них имеется скрытое второе пространственное измерение. Если отказаться от предположения о малости константы связи и рассмотреть физические характеристики Е-гетеротической струны при больших константах связи, второе измерение станет явным.

Это утверждение не обесценивает ни одного из выводов предыдущих глав, но побуждает рассмотреть их в рамках нового формализма. Возникает, например, вопрос, как можно состыковать новые результаты с тем, что в теории струн требуется одно временное и девять пространственных измерений? Что же, как обсуждалось в главе 8, это ограничение возникает при расчете числа различных направлений, в которых может колебаться струна, и число измерений выбирается так, чтобы квантово-механические вероятности гарантированно имели осмысленные значения. Новое измерение не является измерением, в котором может колебаться Е-гетеротическая струна, так как оно зафиксировано в самой структуре «струны». Кроме того, в формализме теории возмущений, который использовался физиками для вывода ограничения на число пространственно-временных измерений, предполагалась, что константа связи Е-гетеротической струны мала. И хотя это было осознано гораздо позднее, в таком предположении неявно используются два взаимосогласованных приближения: малая ширина мембраны на рис. 12.7, при которой она выглядит, как струна, и малый размер одиннадцатого измерения, не влияющий на вид уравнений теории возмущений. В рамках этой приближенной схемы мы вынуждены представлять себе Вселенную десятимерной и заполненной одномерными струнами. Теперь мы видим, что она 11-мерная и заполнена двумерными мембранами.

По техническим причинам, впервые Виттен столкнулся с одиннадцатым измерением при исследовании сильной связи струны типа ПА, для которой ситуация вполне аналогична. Как и в случае Е-гетеротической струны, размер одиннадцатого измерения в случае струны типа ПА определяется значением ее константы связи. При увеличении этого значения новое измерение расширяется. По мере расширения, однако, струна типа ПА превращается в «велосипедную камеру» (см. рис. 12.8), а не в ленту, как в случае Е-гетеротической струны. И снова, согласно Виттену, традиционные представления физиков о струнах типа IIА как об одномерных объектах, имеющих длину, но не имеющих толщины, есть следствие использования ими формализма теории возмущений, в котором константа связи струны предполагается малой. Если законы природы требуют, чтобы константа связи действительно была малой, то это приближение оправдано. Однако результаты Виттена и других физиков, полученные в ходе второй революции в теории суперструн, убедительно свидетельствуют о том, что «струны» типа ПА и Е-гетеротические «струны» имеют фундаментальную структуру двумерных мембран, живущих в 11-мерной вселенной.

Рис. 12.8. По мере увеличения константы связи для струны типа НА струны расширяются, превращаясь из одномерных петель в двумерные объекты, похожие на велосипедную камеру

204 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

Но что представляет собой 11-мерная теория? Согласно Виттену и другим исследователям, при низких (по сравнению с планковской) энергиях она аппроксимируется почти позабытой всеми 11-мерной квантово-полевой теорией супергравитации. А как же тогда описать эту теорию при высоких энергиях? Сейчас этот вопрос тщательно исследуется. Как показано на рис. 12.7 и 12.8, в такой 11-мерной теории существуют двумерные протяженные объекты — двумерные мембраны. Как мы вскоре увидим, важную роль играют и протяженные объекты других размерностей. Однако об этой 11-мерной теории ничего не известно, кроме набора разнородных фактов. Являются ли мембраны ее фундаментальными объектами? Каковы ее определяющие свойства? Благодаря каким ее свойствам она может быть связана со знакомой нам физикой? Если соответствующие константы связи малы, то лучшие ответы, которые можно дать сейчас, уже описаны в предыдущих главах, так как при малых константах связи мы возвращаемся обратно к теории струн. Но для больших констант связи в настоящее время ответов не знает никто.

Для этой II-мерной теории, что бы она собой ни представляла, Виттен придумал рабочее название: М-теория. Все расшифровывают это название по-разному. Вот примеры: мистическая теория, материнская теория («мать всех теорий»), мембранная теория (так как мембраны в любом случае играют в ней роль), матричная теория (после недавних работ Тома Бэнкса из университета Ратгерса, Вилли Фишлера из Техасского университета в Остине, Стивена Шенкера из университета Ратгерса, Сасскинда и других, предложивших новую интерпретацию теории). Однако и без точной расшифровки названия или знания ее свойств уже сейчас ясно, что М-теория дает основу для объединения всех пяти теорий струн.

М-теория и паутина взаимосвязей

В этой главе мы обсудили, как изменилось наше понимание теории струн при выходе за рамки теории возмущений, неявно использовавшейся в предыдущих главах. На рис. 12.9 подведен итог тем взаимосвязям, которые обсуждались до этого момента. Стрелками на этом рисунке обозначены дуальные теории. Видно, что мы имеем паутину взаимосвязей, но она соткана еще не полностью. Включая дуальности из главы 10, можно довести дело до конца.

Вспомним о дуальности, возникающей при замене радиуса циклического измерения R на радиус 1/jR. Выше мы слегка сгладили один аспект этой дуальности, но теперь его нужно рассмотреть подробнее. В главе 10 обсуждались свойства струн во вселенной с одним циклическим измерением; при этом не указывалось конкретно, с какой из пяти теорий струн мы работаем. Как утверждалось, взаимная замена колебательных мод струны на топологические позволяет переформулировать описание (в рамках теории струн) вселенной с циклическим измерением радиуса 1/jR в терминах вселенной с циклическим измерением радиуса R. Факт, который был нами опущен, состоит в том, что теории струн типов ПА и ПВ, а также теории Е- и О-гетеротических струн в действительности не переходят сами в себя, а меняются местами при замене радиусов. Поэтому применительно к этим теориям точная формулировка дуальности при замене радиусов такова: законы физики в теории струн типа ПА во вселенной с циклическим измерением радиуса R идентичны законам физики в теории струн ПВ во вселенной с циклическим измерением радиуса 1/R. Аналогич-

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-теории 205

Рис. 12.10. С учетом дуальностей, включающих геометрию пространства-времени (как в главе 10) все пять теорий вместе с М-теорией связываются воедино паутиной дуальностей

Дело в том, что с учетом дуальности при замене радиусов в теориях струн типов IIА и II В, а также с учетом той же дуальности для теорий О- и Е-гетеротических струн можно достроить до конца паутину взаимосвязей, как показано на рис. 12.10 пунктирными линиями. Видно, что все пять теорий, а также М-теория, дуальны друг другу. Все они скреплены в единую теоретическую конструкцию и дают пять разных подходов для описания одной и той же физики, лежащей в основе этой формулировки. Для различных приложений может быть более удобным язык той или иной теории. Например, с теорией О-гетеротических струн в случае слабой связи работать гораздо удобнее, чем с теорией струн типа I в случае сильной связи. Тем не менее эти теории описывают одни и те же физические явления.

Общая панорама

У каждой теории был свой набор характеристик: своя константа связи, геометрическая структура, радиусы свернутых измерений и т.д. Физики надеялись (и продолжают надеяться) на то, что фундаментальные свойства должны определяться в рамках самой теории. Однако, не имея возможности определить их при помощи известных приближенных уравнений, теоретики, естественно, начали исследовать физические свойства во всех возможных диапазонах. Это показано на рис. 12.1, где каждая точка затушеванной области соответствует конкретному выбору константы связи и геометрии свернутых измерений. Без учета дуальности при этом все равно оставалось пять несвязанных (наборов) теорий.

Но сейчас, когда рассмотренные выше дуальности учтены, при изменении констант связи и геометрии можно переходить от одной теории к другой, если при этом включить в анализ и объединяющую их центральную область — М-теорию (рис. 12.2). И хотя наши познания в области М-теории очень скудны, приведенные косвенные соображения дают веские аргументы в пользу того, что М-теория является основой объединения пяти на первый взгляд различных теорий струн. Более того, выясняется, что М-теория тесно связана с шестой теорией — 11-мерной супергравитацией. Это отражено на рис. 12.11, более точном варианте рис. 12.2¹³⁾.

Как показано на рис. 12.11, несмотря на то, что сегодня фундаментальные идеи и уравнения М-теории еще мало исследованы, они объединяют все формулировки теории струн. Могущественная М-теория ука-

206 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

Рис. 12.11. С учетом дуальностей все пять теорий струн, 11-мерная супергравитация и М-теория сливаются вместе в единую схему

зала физикам дорогу к новой и гораздо более глубокой единой формулировке.

Сюрприз в М-теории: демократия в протяжении

Возникают два вопроса. Во-первых, являются ли двумерные мембраны подлинно фундаментальными объектами теории струн? Во-вторых, если вспомнить о смелом рывке от нульмерных точечных частиц к одномерным струнам в 1970-х и начале 1980-х гг. и учесть только что обсужденные результаты о существовании двумерных мембран в теории струн, возможно ли, что в теории присутствуют объекты старших размерностей? На момент написания этой книги точные ответы еще не известны, но ситуация, похоже, следующая.

Чтобы разобраться в каждой из формулировок теории струн, не прибегая к теории возмущений, теоретики во многом опирались на принципы суперсимметрии. В частности, характеристики БПС-состояний, массы и заряды частиц в этих состояниях, однозначно определяются суперсимметрией, и это позволило понять некоторые свойства теории в области сильной связи без необходимости проведения прямых вычислений невообразимой сложности. На самом деле, благодаря пионерским работам Хоровица и Строминджера, а также последующей замечательной работе Польчински, о БПС-состояниях мы знаем даже больше. В частности, нам не только известны их заряды и массы, но имеется ясное представление о том, как эти состояния выглядят. И последнее, возможно, самое удивительное. Некоторые из БПС-состояний — одномерные струны. Другие представляют собой двумерные мембраны. Пока все действующие лица знакомы. И вот — сюрприз: некоторые состояния трехмерны, четырехмерны,... На самом деле диапазон возможных пространственных размерностей включает все значения до девяти включительно. Теория струн или теория, которую сейчас называют М-теорией (какое бы окончательное название ей ни дали), в действительности содержит протяженные объекты целого ряда пространственных измерений. Протяженные трехмерные объекты физики назвали 3-бранами, протяженные четырехмерные — 4-бранами, и так далее до 9-бран (в общем случае для протяженного объекта, имеющего р пространствен-

Глава 12. За рамками струн: в поисках М-теории 207

ных измерений, физики придумали не очень благозвучный термин р-брана). Иногда, используя эту терминологию, струны называют 1-бранами, а мембраны — 2-бранами. Тот факт, что все эти протяженные объекты являются равноправными объектами теории, побудил Пола Таунсенда провозгласить «демократию бран».

Несмотря на «демократию бран», струны, т.е. протяженные одномерные объекты, все-таки уникальны по следующей причине. Физики показали, что массы протяженных объектов любой размерности, кроме одномерных струн, обратно пропорциональны значению соответствующей константы связи струны, если мы работаем в рамках любой из пяти теорий струн на рис. 12.11. Это означает, что в пределе слабой связи во всех пяти формулировках все объекты, кроме струн, будут иметь огромные массы, на порядки превышающие планковскую. Поэтому из формулы Е = тс² следует, что для их рождения потребуются огромные энергии, и они будут оказывать ничтожное влияние на законы физики (но не на все, как будет показано в следующей главе). Однако если двигаться вглубь от полуостровных областей на рис. 12.11, то браны старших размерностей станут легче, и будут играть все более важную роль¹⁴⁾.

Таким образом, следует представлять себе такую картину: в центральной области на рис. 12.11 фундаментальными объектами теории являются не только струны и мембраны, а «браны» различных размерностей, и все они более или менее равноправны. Сейчас у нас нет ясного понимания многих свойств этой богатой теории. Одно мы знаем твердо: при движении от центральной области в сторону любого из полуостровов только струны или свернутые мембраны в обличье струн (рис. 12.7 и 12.8) оказываются достаточно легкими, чтобы сохраниться и привести к известной нам физике — частицам из табл. 1.1 и четырем типам взаимодействий. Подход теории возмущений, который физики использовали почти два десятилетия, был недостаточно гибок для того, чтобы выявить существование протяженных объектов огромной массы и других размерностей. Центральным объектом анализа были струны, и теория получила далеко не демократическое название теории струн. Отметим еще раз, что в этих областях рис. 12.11 для большинства исследований можно с полным основанием пренебречь всеми объектами, кроме струн. По существу, в предыдущих главах этой книги мы так и поступали. Однако сейчас мы видим, что теория оказалась в действительности богаче, чем кто-либо ранее предполагал.

Помогает ли это в неразрешенных вопросах теории струн?

То, что действительно появилось, — это гораздо более глубокое понимание логической структуры и исследовательского диапазона теории струн. До открытий, итог которым подведен на рис. 12.11, поведение каждой теории струн в области сильной связи было полной загадкой. Как на средневековых картах, царство сильной связи было белым пятном, на которое, сообразно фантазии картографа, наносились изображения

208 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

драконов и морских чудовищ. Но сейчас мы видим, что хотя путешествие в это царство может завести нас в неизведанные просторы М-теории, в конце концов мы снова выйдем в курортную зону слабой связи, где говорят на дуальном языке другой теории струн, ранее считавшейся совершенно непохожей.

Дуальность и М-теория объединяют пять теорий струн, подталкивая к важному выводу. Может оказаться и так, что нас больше не поджидают удивительные открытия, сравнимые с описанными выше. Как только картограф обозначил все точки на глобусе Земли, глобус готов, и география исчерпана. Это не означает, что разведка местности в Антарктиде или на необитаемых островах в Микронезии лишены всякой научной или культурной ценности. Это означает лишь, что век географических открытий подошел к концу. И свидетельством тому — отсутствие белых пятен на карте. «Теоретическая карта» на рис. 12.11 имеет для теоретиков, занимающихся струнами, такое же значение. Она покрывает все сферы теории, в которые можно попасть, отправляясь из области любой из пяти формулировок струн. И хотя нам далеко до полного понимания неизведанной М-теории, на карте нет белых пятен. Как и картограф, теоретик может теперь со сдержанным оптимизмом заявить, что весь спектр логически обоснованных теорий, вбирающих в себя все важные открытия прошлого века — специальную и общую теории относительности, квантовую механику, калибровочные теории сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий, суперсимметрию, дополнительные измерения Калуцы и Клейна, — уже нанесен на карту рис. 12.11.

Задача струнного теоретика (возможно, его уже нужно называть М-теоретиком) — показать, что некая точка на теоретической карте рис. 12.11 действительно описывает нашу Вселенную. Чтобы осуществить это, нужно найти исчерпывающие и точные уравнения, решения которых позволили бы поймать эту неуловимую точку на карте, а затем добиться понимания соответствующих физических явлений, достаточного для сравнения с экспериментом. По словам Вит-тена, «понимание того, чем в действительности является М-теория, т. е. какую физику она несет в себе, повлияет на наше понимание природы не менее сильно, чем любое из главных научных потрясений прошлого»¹⁵⁾. В этом суть программы построения объединенной теории в XXI в.