Шешуі. болғандықтан, . Онда параболаның фокусы , ал директрисасы болады.
4. Нақты жарты өсі 4, ал фокустары және болатын гиперболаның теңдеуін құрыңыз.
Шешуі. Гипербола теңдеуі онда
Ізделініп отырған гиперболаның канондық теңдеуі:
5. Төбесі координата бас нүктесінде жататын, директриса теңдеуі теңдеуімен берілген парабола теңдеуін құрыңыз.
Шешуі. Есеп шарты бойынша, парабола өсіне қарағанда симметриялы және тармақтары өсінің сол жағында жатады, сондықтан ізделінді теңдеу түрінде болады. Директриса теңдеуінен , ендеше . Парабола теңдеуі:
6. теңдеуімен берілген параболаның фокусының координа-таларын және директриса теңдеуін құрыңыз.
Шешуі: Берілген парабола өсіне қарағанда симметриялы, тармақтары жоғары бағытталған. , , . Демек, фокустың координаталары , ал директриса теңдеуі: .
7. теңдеуімен берілген шеңбердің радиусын және центрінің координаталарын табыңыз.
Шешуі. Теңдеудің сол жағындағы өрнектен толық квадратты бөліп аламыз:
, яғни, .
Шеңбердің центрі радиусы 6.
8. және нүктелерінен өтетін эллипс теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Берілген нүктелердің координаталары эллипс теңдеуін қанағаттандырады.
және .
Жүйенің шешімі: , . Эллипс теңдеуі:
.
9. эллипсінің түзуіне перпендикуляр болатын жанамасының теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Жанама теңдеуін түрінде іздейміз. түзуінің бұрыштық коэффициентін табамыз: , . Екі түзудің перпендикуляр болғандықтан . Олай болса, жанаманың бұрыштық коэффициенті . Жанаманың теңдеуі . Жанасу нүктесінің координаталары төмендегі жүйені қанағаттандырады: бірінші теңдеудегі белгісізінің орнына қоямыз.
.
Соңғы теңдеуді түрлендірсек:
.
Түзу эллипспен бір ғана нүктеде жанасатындықтан, квадрат теңдеудің жалғыз ғана шешімін квадрат теңдеудің дискриминантын нөлге теңестіріп іздейміз.
немесе . Теңдеудің екі шешімі бар: және . Эллипске жанама түзулер:
және .
10. Гиперболаның эксцентритеті . Асимптоталарының арасындағы бұрышты табыңыз.
Шешуі. Гиперболаның асимптоталарының теңдеулері: . . Шарт бойынша .
. Асимптоталарының теңдеулері: және . Арасындағы бұрышы ,
|
