Энциклопедия в четырех томах научно-редакционный совет

В силу своей философской фундаментальности категории непрерывности и прерывности подробно обсуждаются уже в греческой античности. Факт движения связывает воедино проблемы непрерывности и прерывности пространства, времени и самого движения. В 5 в. до н. э. Зенон Элейский формулирует основные апории, связанные как с дискретной, так и с непрерывной моделями движения. Зенон показал, что континуум не может состоять из бесконечно малых неделимых (из точек), т. к. тогда величина бы складывалась из невеличин, из «нулей», что непонятно, ни из конечных, имеющих величину неделимых, т. к. в этом случае, поскольку неделимых должно быть бесконечное множество (между любыми двумя точками найдется точка), это бесконечное множество конечных величин давало бы бесконечную величину. Проблема структуры континуума представляет собой тот проблемный узел, в котором неразрывно связаны категории непрерывности и прерывности. Причем то или иное понимание континуума в античности обычно истолковывается онтологически и соотносится с космологией.

Античные атомисты (Демокрит, Левкипп, Лукреций и др.) стремятся мыслить всю сферу сущего как своеобразную смесь дискретных элементов (атомов). Но довольно быстро происходит разделение точек зрения физических атомистов, мыслящих атомы неделимыми конечными элементами, и математических атомистов, для которых неделимые не имеют величины (точки). Последний подход успешно использует, в частности, Архимед для нахождения площадей и кубатур тел, ограниченных кривыми и неплоскими поверхностями. Абстрактно математический и физикалнстский подходы еще не слишком рельефно разделены в античной мысли. Так, вопрос о природе треугольника, из которых в «Тимее» Платона складываются многогранники элементов, остается дискуссионным (проблема в том, что здесь из плоскостей складываются трехмерные элементы, т. е., вероятно, имеет место математический атомизм). Для Аристотеля непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель различает следующее по порядку, соприкасающееся и непрерывное. Каждое следующее в этом ряду оказывается спецификацией предыдущего. Существует следующее по порядку, но не соприкасающееся, напр. ряд натуральных чисел; соприкасающееся, но не непрерывное, напр. воздух над поверхностью воды. Для непрерывности необходимо, чтобы границы соприкасающихся совпадали. Для Аристотеля «все непрерывное делимо на части, всегда делимые» (Физика VI, 231Ь 15—17).

Еще острее вопрос о природе континуума обсуждается в средневековой схоластике. Рассматривая его в онтологической плоскости, сторонники и противники континуальной космологии относят другую возможность истолкования в сферу субъективного, только мыслимого (или чувственного). Так, Генрих Гентский утверждал, что существует собственно лишь континуум, а все дискретное, и прежде всего число, получается «отрицанием», через проведение границ в континууме. Николай из Отрекура, наоборот, считал, что хотя чувственно данный континуум и делим до бесконечности, в действительности же континуум состоит из бесконечного числа неделимых частей. Укреплению аристотелевского подхода к континууму служили дискуссии средневековых номиналистов

Традицию физического атомизма — «линию Демокрита» — подхватывает в 16 в. Дж. Бруно. Атомистика же Галилея в 17 в. носит явно математический характер («линия Архимеда»). Тела у Галилея состоят из бесконечно малых атомов и бесконечно малых промежутков между ними, линии строятся из точек, поверхности — из линий и т. д. В философии зрелого Лейбница была дана оригинальная интерпретация соотношения непрерывности и прерывности. Лейбниц разводит непрерывность и прерывность по разным онтологическим сферам. Действительное бытие — дискретно и состоит из неделимых метафизических субстанций — монад. Мир монад не дан непосредственному чувственному восприятию и открывается только размышлением. Непрерывное же является Основной характеристикой лишь феноменального образа Универсума, т. к. он наличествует в представлении монады. В действительности части — «единицы бытия», монады — предшествуют целому. В представлениях же, данных в модусе пространства и времени, целое предшествует частям, на которые это целое можно бесконечно делить. Мир непрерывного не есть мир действительного бытия, а мир лишь возможных отношений. Непрерывны пространство, время и движение. Более того, принцип непрерывности является одним из фундаментальных начал сущего. Лейбниц формулирует принцип непрерывности следующим образом: «Когда случаи (или данные) непрерывно приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы и в соответствующих следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое» (Лейбниц Г. В. Соч. в 4т., т. 1. M., 1982, с. 203— 204). Лейбниц показывает применение этого принципа в математике, физике, теоретической биологии, психологии. Проблему структуры континуума Лейбниц уподоблял проблеме свободы воли («два лабиринта»). При обсуждении обоих мышление сталкивается с бесконечностью: в бесконечность уходит процесс нахождения общей меры для несоизмеримых отрезков (по алгоритму Евклида) и в бесконечность же простирается цепь детерминации лишь по видимости случайных (но на самом деле подчиняющихся совершенной божественной воле) истин факта. Лейбницевской онтологизации границы между непрерывностью и прерывностью не суждено было стать господствующей точкой зрения. Уже X. Вольф и его ученики опять начинают дискуссии о построении континуума из точек. Кант, полностью поддерживая лейбницевский тезис о феноменальности пространства и времени, строит тем не менее континуалистскую динамическую теорию материи. Последняя существенно повлияла на Шеллинга и Гегеля, которые также выдвигали ее против атомистических представлений.

В русской философии на рубеже 19—20 вв. возникает противостояние «культу непрерывности», связанное с именем математика и философа Н. В. Бугаева. Бугаев разработал систему миросозерцания, основанную на принципе разрывности как фундаментальном принципе мироздания ("аритмологияЛ В математике этому принципу соответствует теория разрывных функций, в философии — особый тип монадологии, развитый Бугаевым. Аритмологическое мировоззрение отрицает мир как сплошность, зависящую только от самой себя и постижимую в понятиях непрерывности и детерминизма. В мире есть свобода, откровение, творчество, разрывы непрерывности — как раз те «зияния», которые отвергает принцип не-

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕРЫВНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ.

В силу большей, чем в современности, зависимости от онтологии математика античности не слишком отделяет свою точку зрения на непрерывность и прерывность от физики и математики. Дискретное — как число — и непрерывное — «величина» (т. е. континуальная пространственная величина) — мыслятся раздельно и несводимы одна к другой. Числом занимается арифметика, величинами — геометрия, и познавательный статус первой, согласно платоновско-пифагорейской традиции, выше, чем второй. Средневековье углубляет дискуссию о соотношении непрерывности и прерывности, вводя новые важные логические дистинкции (напр., категории синкатегорематической и категоруматической бесконечности, тесно связанные с проблемой деления континуума). С изобретением в 17 в. дифференциального и интегрального исчислений проблема арифметизации континуума становится все более насущной. Однако положительного решения ее пришлось ждать вплоть до 2-й пол. 19 в., когда появились арифметические конструкции действительного числа К. Вейерштрасса, Ш. Мере, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Все эти конструкции существенно использовали актуальную бесконечность. Кантор попытался в рамках созданной им теории множеств оценить мощность арифметических моделей континуума. Мощность множества натуральных чисел («счетного множества») обозначалась им через Sg («алеф» — первая буква древнееврейского алфавита). Тогда, согласно теоремам теории множеств, мощность арифметического континуума будет 2^s0.

Кантор выдвинул предположение («континуум — гипотеза»), что мощность континуума является наименьшей из следующих за Ко мощностей, т. е.

2^s"=^

Доказательство континуум-гипотезы означало бы, что континуум в некотором обобщенном смысле может быть «исчислен» или «сложен из точек». Эту гипотезу, однако, не удалось доказать ни Кантору, ни его последователям. В 1963 П. Коэн показал, что континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории множеств, опирающейся на систему аксиом Цермело—Френкеля.

В более же широком смысле понятие непрерывности определяется в сегодняшней математике формально, в рамках топологии. Через аксиоматически вводимое понятие близости точек («окрестность точки») можно определить понятия предельного перехода и непрерывности функций. Т. о- возникают самые различные топологические пространства, моделирующие всевозможные типы непрерывности (включая и дискретную топологию). В то же время существует целый ряд нестандартных моделей континуума: конструкции Э. Л. Брауэра и Е Вейля в рамках интуиционистской математики, специальные модели в альтернативных (неканторовских) теориях множеств, в «нестандартном анализе» А. Робинсона.

Взаимосоотнесенность свойств непрерывности и прерывности ярко проявилась в 20 в. в квантовой физике. Классические представления о движении частицы и волны пришлось заменить представлением о сосуществовании корпускулярных

НЕПРОТИВЛЕНИЕ ЗЛУ — нравственное требование, непосредственно выраженное в Христовой заповеди «Не противься злому» (Мф. 5:39) и сформировавшееся в процессе перехода от талиона к золотому правилу нравственности. В Нагорной проповеди оно и сформулировано в прямой оппозиции талиону; в ней заповедуются непротивление злу в собственном смысле слова, безграничная щедрость и великодушие (Мф. 5:40—41); ею опосредованы заповеди любви, прощения, любви к врагам и др. Как таковая заповедь непротивления злу содержательно сочетается с провозглашаемым блаженством изгоняемых за правду и поносимых за веру (Мф. 5:10— 11). Утверждаемая в Евангелии заповедь непротивления злу представляет собой один из вариантов этого требования (или принципа), различные версии которого отражают указанное нормативное движение в нравственном развитии человечества.

В иудейскую традицию идея непротивления злу входит в период после вавилонского пленения в виде требования благоволения врагам (Пр. 24:19, 21). Однако доброе отношение к врагу мыслится лишь как средство поборения его: благородством и добрыми поступками враг унижается; возмездие же остается в руках Бога, и оно оказывается тем более неотвратимым, чем последовательнее человек сам от него воздерживается. У злодея нет будущности (Пр. 25:20), благоволя врагу, человек усугубляет его вину и заслуживает вознаграждения Господа: «Ибо делая сие, ты собираешь горящие угли на голову его, и Господь воздаст тебе» (Пр. 25:22). Даже если принять комментарий Феофана Затворника к аналогичному тексту апостола Павла (Рим. 12:20), показывающий, что т. о. указывается не на косвенное вреждение — посредством Бога,— а на раскаяние, вызываемое у злодея добрым отношением, и тем самьм добром воспитывается добро,— используемая метафора («горящие угли на голову его») вполне соответствует духу талиона с его мотивами угрозы, возмездия и безусловной враждебности к врагу. Этот же стандарт отношения предпо-

Близкую точку зрения проводит платоновский Сократ: не следует, вопреки мнению большинства, отвечать несправедливостью на несправедливость, поскольку несправедливость никогда недопустима (Критон 49Ьс), но не следует потому, что за несправедливость строже всего спросят в Аиде; иными словами, мотив деяния оказывается себялюбивым. Что же касается отношения к врагам, то, по Сократу, всеми силами стремясь искупить собственное преступление или преступление близких, следует, наоборот, утаивать преступления врагов, дабы сполна воздалось им после смерти (Горгий 48 la, 525a). Ни о каком благоволении как таковом к врагу не идет речи, но подспудно задается стандарт таких отношений, которые практически утверждают принцип личного и непосредственного непротивления злу.

На основе этого формируется убеждение в необходимости бескорыстного непротивления злодействуя справедливости к врагу Уже в шумерских текстах встречается утверждение о необходимости благоволения к злодею, при этом доброе отношение к человеку, совершающему злодеяние, рассматривается как средство приобщения злодея к добру. Точно такой же смысл добродеяния недобрым указывается в даосизме: добрым отношением к злодею воспитывается добродетель («Дао де цзин», 49). Позиция Конфуция в этом плане была другой: на вопрос «Правильно ли отвечать добром на зло?» он указывал, что добром отвечают на добро,— на зло же отвечают справедливостью («Лунь Юй», 14,34); такой ответ мог предполагать непротивление злу, но не непременно. В римском стоицизме, в частности у Сенеки, высказывается идея, вполне созвучная золотому правилу: инициативным отношением к другому задается стандарт человеческих отношений вообще.

В целом аналогичны и наставления апостола Павла (Рим. 12:17—18). Хотя у него и прорывается ветхозаветное понимание («дайте место гневу Божию...», благоволя врагу, «ты соберешь ему на голову горящие уголья» — Рим. 12:19,20), главным оказывается другое: «Не будь побежден злом, но побеждай зло добром» (Рим. 12:21; ср. 1 Фее. 5:15). В последующей богословской и философской мысли в этом русле неоднократно высказывались аргументы относительно того, что ответным злом умножается зло, а ненависть увеличивается взаимной ненавистью.

Заповедь непротивления злу может быть существенно уточнена дополнением в той формулировке, которая встречается у Павла: «Не противьтесь злу силой». Речь не идет о том, чтобы попустительствовать злу, не противясь ему; противиться следует не с помощью силы (т. е. ответного зла), а с помощью добра и любви. Л. Н. Толстой настолько был уверен в очевидности именно такой трактовки заповеди непротивления злу, что'приписывал ее евангельскому Христу (см. Толстовство).

М. Вебер в очерке «Политика как призвание и профессия» настаивал на том, что заповедь «Не противостоять злу насилием» невозможна для политика. И. А. Ильин в книге «О сопротив.тши злу силой» в полемике с Толстым утверждал приоритетность принципа безусловного противостояния злу по отношению к принципу ненасилия.

Лит.: Ea.iyA. Учение о христианском непротивлении злу насилием. М., 1908; To.icmou Л. Н. В чем моя вера? [IV].— Полн. собр. соч. в 90 т.,
т. 23, М., 1928—1958; Ильин И. А. О сопротивлении злу силой.— Собр. соч.в 10т.,т.5.М., 1995, с. 31-221.

Р. Г. Апресян

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ТЕОРИИ - см. Металогика. Непротиворечия закон, Паранепротчворечивая логика.

НЕПРОТИВОРЕЧИЯ ЗАКОН —один из основных принципов логического рассуждения, согласно которому два взаимнопротиворечащих высказывания не могут быть одновременно истинными, т. е. одно из них должно быть ложным.

Формулировка этого закона восходит к софистам. Аристотель формулирует непротиворечия закон прежде всего как универсальный принцип бытия, наиболее достоверный из всех начал: «...невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении» (Met. IV, 3 1005b 20—21). Однако у Аристотеля имеется и не онтологическая, а чисто логическая формулировка закона непротиворечия: «...наиболее достоверное положение — это то, что противолежащие друг другу высказывания не могут быть вместе истинными» (там же. IV, 7 101 lb 13—14). Аристотель представил семь «доказательств» незаменимости этого закона.

В современной логике закон непротиворечия может формулироваться как для высказываний, так и для предикатов, Как на семантическом, так и на синтаксическом уровне; его формулировки модифицируются в связи с особенностями рассматриваемых логических систем. В общем случае на уровне логики высказываний закон непротиворечия есть тождественно истинная (или доказуемая) формула вида -i(A & -А): неверно, что А и в то же время не-А. В классической и интуиционистской логике предикатов общезначима и доказуема формула вида -^Зх(А(х) & -А(х)). Этой формуле соответствует принцип: одна и та же вещь не может обладать некоторым свойством и в то же время не обладать им.

Нарушение закона непротиворечия приводит к тому, что в большинстве хорошо известных логических исчислений доказуема любая формула, сформулированная на языке этого исчисления, и тогда такая логика не представляет никакого интереса. Однако, несмотря на такую фундаментальность закона непротиворечия, его значимость в 1910 одновременно и независимо друг от друга была поставлена под сомнение русским логиком Н. А. Васильевым и польским логиком Я. Лукасевичем. Первый предпринял попытки построения системы логики, отказываясь от онтологического смысла этого закона; второй подверг серьезной критике все «доказательства» закона непротиворечия у Аристотеля. В итоге к концу века получили развитие паранепротиворечише логики, в которых закон непротиворечия не имеет места, и тем не менее в таких логических системах не доказуемо все что угодно.

Лит.: Аристотель. Соч., т. 1—4. М., 1976—1984; Васильев ff. А. Воображаемая логика: Избранные труды. М., 1989; Черч А. Введение в математическую логику. М., I960; Lukasiewicz. J. On the principle of contradiction in Aristotle.— «Review of Metaphaysics», 1971, v. 24.

В. А. Смирнов, А. С. Карпенко

Соч.: Вопрос о смысле жизни в учении новозаветного Откровения.— «Православный собеседник», 1895, №6, 7; О цели образования.— Там же, 1898, № 2; Вера и знание с точки зрения гносеологии. Казань, 1913.