Ф со пгу 18. 2/06 Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі

1. Тасымалдың сызықтық теңдеуінің шешуі полярлық жүйеде берілген координаттар (r, φ): шенелген аймақта ізделеді. Есептің математикалық қаулысын қалыптастыру және оның шешімінің бөлінуінің айырымдық сұлбасын құру:

А) айқындалған;

Б) айқындалған емес.

2. Айқындалған емес айырымдық сұлбаны пайдалану арқылы тасымалдың бірөлшемді сызықтық теңдеуі үшін аралас есептер шешімінің блок-сұлбасын құрастыру.

3. } при тікбұрышында жылуөткізгіштік теңдеуі үшін есеп шығару.

Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік есептердің дербес жағдайында, яғни шекараның есептелінетін облысының байламында шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:

Онда шекаралық жалпы жағдайының үшінші ретінің (2.7), (2.8) теңдеуі, түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады, сонда келесі өрнек түрінде беріледі:

Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).

Жаңа уақыттық қабатқа алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның көмегімен аламыз:

Яғни, алғашқы ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты есептелінеді, содан соң шекарадағы мәндер анықталады.

Белгісіз соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық есепті аламыз:

Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра теңдеуінің үш-диагональді матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі және белгісіз сұлбаны қолданған кезде осыған ұқсас болады.

Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.

Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:

Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.

Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.

Мысалы 2.1.

Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды

(2.21)-(2.24) Шешімі.

Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):

Егер,бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)

Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):

(2.26)

. (2.27)

Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):

Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)

Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысында екеуі белгісіз болады:

(2.28)

(2.29)

Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).

1. Тасымалдың сызықтық теңдеуінің шешуі полярлық жүйеде берілген координаттар (r, φ): шенелген аймақта ізделеді. Есептің математикалық қаулысын қалыптастыру және оның шешімінің бөлінуінің айырымдық сұлбасын құру:

А) айқындалған;

Б) айқындалған емес.

2. Айқындалған емес айырымдық сұлбаны пайдалану арқылы тасымалдың бірөлшемді сызықтық теңдеуі үшін аралас есептер шешімінің блок-сұлбасын құрастыру.

3. } онда тікбұрышында жылуөткізгіштік теңдеуі үшін есеп шығару.

Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады (диффузия).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады

Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе

Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе

Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.

Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе

(2.7)

(2.8)

Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).

Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады

Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.

Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.

2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері.Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω _hτ

Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).

Екі қабатты уақытты енгіземіз:

t^k=kτ -дың астындағы, u(x_j,t^k) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (x_j,t⁰)=ψ(x_j)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және t^k+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(x_jj,t^k+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.

2.1(сурет). Соңғы әр түрлі тор

(2.1.)-(2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні.

(2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы үшін

(2.1.)-(2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық операторлардың орнына ауыстырамыз.(«Сандық дифференциалдау» тақырыбын қараймыз),

(2.13)

(2.14)

(2.13) формуланы аламыз. (2.1.)-(2.4)-не (2.13),(2.14) қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма

j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей (2.15) байланысында анықталады. (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.

Егер (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,

(2.16)

онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.

Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын САТЖ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл САТЖ формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді.

1. Айқындалмаған сұлба бойынша бірөлшемді толқынды теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

2. Айқындалмаған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

3. Айқындалған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

Айқын схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:

Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында ψ₁(t) және ψ₂(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік : мұндағы һ,τ-қадамдар.-сетканың байламдарындағы функцияның мәндері.Сондықтан,

Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық теңдеулер жүйесін табамыз.Шекаралық шарттан

Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды.Олар айқынсыз схемалар деген атқа ие.Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады.Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.

Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі табылған және жоғарғы,байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.
Тапсырма:

1. Айқындалған сұлба бойынша бірөлшемді толқынды теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

2. Айқындалған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

3. Айқындалған сұлба бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

Үшінші алғашқы-шеткі есепке арналған айқындалған ақырлы-айырымдқы сұлбаны көшіріп жазу.

Шешімі.

мұнда .

Шекаралық шарттарды бірінші рет бойынша жуықтатамыз:

. Нәтижесінде жаңа уақыттық қабатқа ауысу келесі алгоритм бойынша ұсынылады:

Осылайша, алдымен жаңа уақыттық қабаттағы ішкі түйіндердегі u ізделетін функцияның мәні есептеледі, одан кейін шекаралық шарттардың жуықтатуынан шеткі түйіндердегі функцияның мәнін табады. Есептеу үрдісін біржолата аяқтау үшін бастапқы шартқа сүйене отырып анықтаймыз, ізделінетін функцияның мәні екі алғашқы уақытша қабаттарда

Уақыттың бастапқы сәтінде мәні дәл анықталады:

Егер уақыт бойынша алғашқы реттің жуақтатуын пайдалансақ, онда жоғарыда көрсетілгендей,

аламыз. Жуықтатудың ретін жоғарылату үшін Тейлор ретіне t=0 аймағына уақыт бойынша дәл шешімінде жіктейміз:

мұнда, алғашқа теңдеуге сәйкес

Салмағы бар схемалар жиыны. Энергетикалық тепе-теңдік. Бір өлшемді жылу өткізгіш теңдеуін дискреттеу. Шаблондары. Айырымдылық аппроксимация реті. Орнықтылықты Фурье әдісімен зерттеу. Бастапқы-шекаралық есептері. Алты нүктелік схемалар жиыны. Айқындалған және айқындалмаған схемалары. Кранк-Николсон схемасы. Аппроксимация реті, орнықтылығы. Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемалары. Дюфонт және Франкель схемалары. Аппроксимация реті,орнықтылығы. Салмағы бар схемалары. Аппроксимация қателігі және орнықтылығы. Симметриялы және симметриялы емес схемалары. Бастапқы берілген бойынша орнықтылығы. Оң жағы бойынша орнықтылығы.

Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе

Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе

Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.

Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе

(2.7)

(2.8)

Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).

Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады

Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.

Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.

2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері. Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану. Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω _hτ

Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).

Екі қабатты уақытты енгіземіз:

t^k=kτ -дың астындағы, u(x_j,t^k) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (x_j,t⁰)=ψ(x_j)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және t^k+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(x_jj,t^k+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.