О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной

В отличие от этого, в прикладной математике понятия и утверж­дения часто имеют такой же характер, как в нематематических дис­циплинах и даже в обыденной жизни. Прежде всего, могут приме­няться понятия, вообще не имеющие формального определения или имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью; об этом мы подробнее скажем в § 3. Но даже если применяется, каза­лось бы, чисто математическое понятие, то за ним все время скрыва­ется тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно как бы служит меткой этого объекта и потому включает в себя больше, чем содержится в формальном определении понятия. Например, когда в прикладном исследовании говорится «произвольная функ­ция», то подразумевается «произвольная функция, встречающаяся в данной области приложений» (этим и объясняются различные под­ходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 6) и т. п. (14). Это дает возможность в процессе исследования по мере необходимости привлекать дополнительные сведения о рассматриваемых по­нятиях (см. п. 3.2в)…

Со сказанным непосредственно связан вопрос об интуитивной убе­дительности рассуждения или утверждения. Это, конечно, нефор­мальное понятие и как таковое оно безусловно отвергается чистой математикой при окончательном изложении результата. В то же время в прикладной математике именно интуитивная убедительность является важным критерием правильности; мы вернемся к этому вопросу в § 3. В. В. Налимов (в работе Логические основания прикладной математики. Изд-во Московского ун-та, М., 1971, препринт № 24) писал: «Высказывания, сделанные на математическом языке в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать интуитивной убе­дительностью — это является их обоснованием. Здесь особенно четко проходит линия разграничения между чистой и прикладной математикой». В отличие от этого в строго построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и оста­ется источником, но не конечным критерием истины» [28, с. 316].
9. О различии тенденций в процессе решения. Следующее раз­личие в подходе к решению математической задачи, возникшей из приложений, у чистого математика и у прикладника имеет в зна­чительной мере психологический характер. Чистого математика ин­тересует обычно математический аппарат, применяемый для решения этой задачи, сам по себе, независимо от ее реальной интерпретации. Он склонен максимально возможно обобщить условие задачи, не обращая внимания на то, имеет ли это обобщение физический смысл. Наиболее привлекательными для чистого математика оказываются трудные в математическом отношении задачи и неожиданные, изящ­ные решения, причем соответствующий метод решения может иметь в глазах математика большую ценность, чем сама исходная задача. Поэтому иногда, чтобы получить элегантное решение или просто решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне, постановка задачи видоизменяется так, что ее реальный интерес значительно уменьшается или даже полностью пропадает. Довольно типичной яв­ляется также такая картина: некоторый вопрос, сугубо промежуточ­ный для исходной прикладной задачи, начинает самостоятельно из­учаться на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения теряет всякую связь с исходной задачей. Часто бывает, например, так. Обнаружено, что для некоторого практически важного события А достаточным (но заведомо не необходимым) является признак В. Этот признак изучается самостоятельно, причем по чисто матема­тическим причинам основное внимание привлекают условия С, необходимые (но недостаточные) для В. Далее могут изучаться ус­ловия достаточные для С и т. д. Но в каком отношении эти условия находятся к событию A?

Естественно, что тенденции прикладника в решении математи­ческой задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем «долж­ны быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции чистых математиков.) Главным для него является реальное следствие из этого решения, формальные обобщения не представляют осо­бой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей, прикладник предпочитает не искать элегантное решение («Элегантность — для портных», — сказал по этому поводу А. Эйнштейн (по свидетельству Э. Белла) и не ре­шать произвольную формально близкую задачу, а попытаться так видоизменить математическую формулировку исходной задачи, что­бы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым (см. п. 12). Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической стати­стике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и теорети­ческого направлений. В. В. Налимов пишет по этому поводу [25, с. 4—5]: «Матема­тическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как пра­вило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их логические концеп­ции часто оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне современный математический аппарат, делающий задачи статистики столь привле­кательными для математиков, часто только отпугивает экспериментаторов. С по­зиций экспериментатора нередко наиболее важными и интересными оказываются те аспекты математической статистики, которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными. Математики, занимающиеся разработкой математичес­кой статистики, подчас бывают совсем мало озабочены возможностью практическо­го применения их идей и методов».

Аналогично высказывается Т. Мак Рей по поводу применения математики к проблемам управления предприятиями [26, с. 28] «Если научное управление уда­лится в математическую раковину, оно превратится в отрасль математики, а не управления. В настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом направле­нии».

10. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Уровень строгости различен в различных областях знания и вообще челове­ческой деятельности; он меняется с развитием этих областей, сти­хийно складываясь (в редких случаях более сознательно, например, в математической логике) в связи с их задачами и методами. Это полностью относится и к математике. Общий тезис об относительнос­ти знания проявляется не только в изменении областей познанного и непознанного, но также и в изменении характера самого позна­ния — в том, что признается познанным, какие средства рассуждения при этом допускаются и т. п. Это общее положение при­обретает особенную актуальность при сравнении методов рассуж­дения в чистой и прикладной математике.

Формулировка и доказательства Евклида — эти высшие дости­жения античной строгости и точности — оказались недостаточны­ми в современной чистой математике, хотя уровень их строгости в школьном курсе и сейчас, по-видимому, чрезмерен. Евклид не уточ­нял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся и всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы порядка, аксиому Паша (15), аксиомы непрерывности, Евклид рас­суждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к про­тиворечиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные более чем через две тысячи лет, оказались несущественными при построении античной геометрии, равно как несущественны они в школьном курсе математики.

Математику XVIII в. не приходило в голову, что такое, например, утверждение, как теорема Жордана о том, что простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части, может требовать доказа­тельства. Он свободно обходился без современных уточнений поня­тий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное представ­ление об этих понятиях было вполне достаточно для решения ставив­шихся в то время задач. Вполне достаточно такое наглядное пред­ставление и сейчас для прикладной математики, а также для школы (16).

Подобно этому современная чистая математика, основанная на наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой разу­меющимся»; манипулирует с понятием завершенной бесконечности на основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы ока­зались несущественными при построении грандиозного здания чис­той математики, они, как это выяснилось эмпирически, не приводят к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к тому, что многие их вообще перестали замечать, что и привело к ложному представлению об абсолютной строгости чистой математики.

По этому поводу И. С. Сокольников [27, с. 13] писал: «Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствую­щим вкусом, которому и дано на определенный хронологический пе­риод утверждать меру требовательности в определении степени мате­матической строгости. Плодотворные интуитивные концепции пре­образуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию конце­пций, допускающих определение, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых формально логических процессов, по возможности свободных от противоречий».

Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных разде­лах математики могут быть разные понятия строгости в соответст­вии с традициями и целями этих разделов. Так было в период науч­ного Возрождения с геометрией и математическим анализом, позже ослабленные требования строгости были в теории вероятностей; сейчас различные уровни строгости имеются в математической ло­гике, в основной части чистой математики и, как мы увидим в § 3, в прикладной математике.

Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает также следующее курьезное, конечно, не решающее возражение. В п. 4 была оценена вероятность того, что равенство 2×2 = 4 есть результат арифметической ошибки. Тем же способом можно оце­нить вероятность и того, что все утверждения чистой математики содержат подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же математики положительна.

Математическая логика находится, конечно, на существенно более высоком уровне строгости, чем основная часть чистой мате­матики. Однако и этот уровень не является абсолютным. Более того, чтение вводных глав иных книг по математической логике мо­жет произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело просто в том, что многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в матема­тической логике специально обсуждаются. Но и в логике многое остается «само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигается вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса «рассмотрим», «пусть» и т. п., которые должны быть одинаково по­няты всеми читателями, но насколько универсально понятие «по­нятности»? Однако эти пробелы не мешают математической логике развиваться и успешно решать естественно возникающие в ней про­блемы, многие из которых оказываются существенными для мате­матики в целом.

Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень строгости и весь образ мышления математической логики, несомнен­но, не пригоден для чистой математики в целом, задачи которой выходят за рамки логики, хотя на некоторые из них достижения ло­гики должны существенно повлиять; достаточно вспомнить, напри­мер, выдающиеся результаты о неразрешимости, полученные в последнее время. Так, П.С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма для решения одной из центральных проблем теории групп – так называемой проблемы тождества слов. С.И. Адян установил неразрешимость классической проблемы о построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп, заданных своими образующими и определяющими соотношения между ними, выяснить, изоморфны эти группы или нет. А.А. Марков доказал неразрешимость знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с помощью которого можно было установить, эквивалентны ли топологически (т.е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, полиэдра). Ю.В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о построении алгоритма, позволяющего для любого алгебраического уравнения с любым числом неизвестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет ли это уравнение, по крайней мере, одно целочисленное решение.

И в то же время припоминается волнение и край­нее недоумение слушателей на заседании Московского математиче­ского общества во время доклада по математической логике, когда докладчик заявил: «Все функции непрерывны». Позже, когда вы­яснилось, что он имел в виду конструктивно определенные функции, которые только и признаются конструктивной логикой, волнение утихло. Подумать только, что стало бы с современной чистой мате­матикой, если бы из нее были исключены разрывные функции!

Подобным образом уровень строгости и весь образ мышления чистой математики, как уже не раз говорилось (и не раз будет повто­рено в дальнейшем), хотя и применяются в прикладной математике, но не могут ее полностью удовлетворить. Даже когда задача пол­ностью сформулирована на чисто математическом языке, проведе­ние ее исследования на чисто дедуктивном уровне в подавляющем большинстве случаев противоречит принципу оптимальности, ука­занному в п. 1.7, а во многих случаях просто невозможно.

Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но обя­зан выбирать уровень строгости и образ мышления, адекватный решаемым им задачам и принципу оптимальности. Эти уровень стро­гости и образ мышления определяются сочетанием дедуктивных и рациональных рассуждений. К обсуждению последних мы обратим­ся в следующем параграфе.

12. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания различ­ных авторов, непосредственно примыкающие к изложенному материалу, в ос­новном к материалу пп. 8—10 (и частично к § 3).

X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении прикладных задач, в своей полезной книге [28, с. 29—30] пишут: «Инженер или математик прежде всего должен помнить, что он использует математику для описания реального мира. Чистый математик никогда не делает этого, а этому искусству учат редко. Любая последовательность математических символов, которую за­писывает математик-прикладник, является в действительности последователь­ностью физических утверждений. Если бы утверждение было на английском языке, то автор серьезно рассматривал бы, верно оно или нет. Он должен быть таким же скрупулезным в проверке справедливости утверждения, которое он сделал в математических символах.

Главное в данном случае (и оно же является источником больших трудностей) то, что математик-теоретик начинает с формулировки задачи, которую он потом не подвергает сомнению. Его единственной целью на протяжении последующих манипуляций является обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является условным, и если некоторое следствие формулировки задачи не­верно или неприемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой промежуточный шаг в математической аргументации отображает физически не­верное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений из, по-видимому, обоснованной точки зрения, будет, тем не менее, ошибочным.

Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как математичес­кую, так и физическую сторону задачи, связывая одну с другой. Каждая возни­кающая математическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она физике, или вызвана ошибкой в формулировании, или просто является математической трудностью, которую можно избежать другой формулировкой?»

Д. Хорафас [29, с. 13]: «В самом широком плане математику можно разде­лить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с симво­лами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики, ве­дущие исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е. смысловым содержанием теории, связанной с реальным миром». Это и есть схематическое определение чистой и прикладной математики. Мы бы добавили, что при этом здесь дело не в области приложений: прикладная математика изучает мето­ды привлечения неформальных соображений к решению формализованных задач, а конкретной областью приложений определяются классы этих задач и этих со­ображений. Было бы интересно провести сравнительный в этом отношении ана­лиз различных областей приложения математики (механики, физики, химии, тех­ники, биологии, экономики и т. д.). При этом выявятся как специфика этих об­ластей, так и то общее, что характерно для приложения к ним математики.

М. Кац и С. Улам [1, с. 167—168]: «Некоторые из современников Хевисайда критиковали его за использование формальных приемов без ясного понимания их содержания и смысла. Говорят, что в ответ своим критикам Хевисайд как-то сказал: «Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что не понимаю процессов пищеварения?» Подобным образом можно было бы критиковать шести­классника, который учится пользоваться дробями, не понимая лежащей в основе теории.

Мы остановились на этом потому, что здесь хорошо видна одна из сильных (надо было бы сказать «ведущих» и т. п.— Авт.) тенденций современной математи­ки: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой сте­пени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применя­ющий математические методы, вполне может положиться на внутреннюю согла­сованность своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных ре­зультатов с экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользо­ваться рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объ­единить в формальную систему, и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных задач в слу­чаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история произошла с обобщен­ными функциями (п. 6), которые физики ввели и начали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное обоснование.

Г. Ван Трис пишет в предисловии к своей книге [30, с. 11—12]: «Уровень математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой подход с тем, чтобы оби­лием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал удобочитае­мым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель — получить ответ, который соответствует некото­рой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти физичес­кие задачи, в которых правдоподобная (но неадекватная, см. § II.1.—Авт.) математическая модель и корректные математические методы приводят к не­реалистическому решению исходной задачи».

Л. де Бройль [31, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще очевид­ными; следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что содержится неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а сме­лые индукции и оригинальные представления являются источниками высокого прогресса науки».

X. Розенброк и С. Стори [28, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математической строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние зако­ны развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на ма­тематических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком, общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») - это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инже­нер... не позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим успехом таким же образом, как и физические теории, к кото­рым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиома­тический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2 = 4, потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время не возражает против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в ре­зультате».

Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [7, с. 144] в связи с приложениями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения, поз­воляющие решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им изменения не соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в ре­зультате будет затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он дол­жен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех деталях».