Финансовая математика

Мультиплициттайтын көбейткіш

жүктеу/скачать 229.5 Kb.

бет	5/7
Дата	19.02.2024
өлшемі	229.5 Kb.
	#492470

1 2 3 4 5 6 7

1 дәріс АЖҚМ

Мультиплициттайтын көбейткіш

n\ i	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	1,093	1,125	1,158	1,191	1,225	1,260	1,295	1,331	1,368
4	1,126	1,170	1,216	1,262	1,311	1,360	1,412	1,464	1,518
5	1,159	1,217	1,276	1,338	1,403	1,469	1,539	1,611	1,685
6	1,194	1,265	1,340	1,419	1,501	1,587	1,677	1,772	1,870
7	1,230	1,316	1,407	1,504	1,606	1,714	1,828	1,949	2,076
8	1,267	1,369	1,477	1,594	1,718	1,851	1,993	2,144	2,305
9	1,305	1,423	1,551	1,689	1,838	1,999	2,172	2,358	2,558
10	1,344	1,480	1,629	1,791	1,967	2,159	2,367	2,594	2,839

Есептеулерді жеңілдету үшін дисконттайтын көбейткіштердің кестесі де қолданылады.

Дисконттайтын көбейткіш жылдық і пайыз бойынша банкке салынған бастапқы соманың арттырылған n-шы жылдың соңында соманың үлесін көрсетеді:
.

D(n, i) шамасын бір ақша бірлігінің і пайыз мөлшері бойынша n жылдан кейін болатын келтірілген немесе қазіргі құны деп те атайды.
Осылай, D(5, 8) = 0,681. Төменде 2 < п < 11, 2 < і < 12 үшін дисконттайтын көбейткіштердің кестесінен үзінді берілген. Үлкен көлемді кестелер 2- қосымшада келтірілген.
Дисконттайтын көбейткіштер

n\ i	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	0,915	0,889	0,864	0,840	0,816	0,794	0,772	0,751	0,731
4	0,888	0,855	0,823	0,772	0,763	0,735	0,708	0,683	0,659
5	0,863	0,822	0,784	0,747	0,713	0,681	0,650	0,621	0,593
6	0,837	0,790	0,746	0,705	0,666	0,630	0,596	0,564	0,535
7	0,813	0,760	0,711	0,665	0,623	0,538	0,547	0,513	0,482
8	0,789	0,731	0,677	0,627	0,582	0,540	0,502	0,467	0,434
9	0,766	0,703	0,645	0,592	0,544	0,500	0,460	0,424	0,391
10	0,744	0,676	0,614	0,558	0,508	0,463	0,442	0,386	0,352

1.5. Жай және күрделі пайыздарды ұстап қалу
Әлдекім банктен 1000 рубль көлемінде қарыз сұрады. Оған банкир айтады: "Мархабат. Бізде бір жылдық пайыздық келiсiм 10%, дәл қазір біз сізден 100 рубль ұстап қаламыз. Сондықтан қазіргі алатыныңыз 900 рубль болады. Бірақ бір жылдан кейін сіз толық 1000 рубльді қайтарасыз". Осындай операцияны пайыздарды ұстап қалу деп атайды. Бұл операциядағы барлық жағдай тек қана банкирге пайдалы. Біріншіден, пайыздар ұстап алынып қойылған. Екіншіден, банкке арналған пайдалылығы аталған 10%-дан үлкен.
Шындығында, операцияның банк үшін пайдалылығы . Сондықтан осы сияқты операцияны, ақырғы сомадан пайыздарды ұстап қалу, несие берушілер жиі-жиі қолданады.
Нақтылы мерзімге (вексельдің номиналы) ақшалай соманы төлеуге борышты нақты уақытында қайтаруға берген міндеттеме қолхат вексель деп аталады. Вексельдік есеп – банктердің жиі пайдаланатын жағдайы. Ол дисконтпен бірге вексельді төлеуді, яғни номинал жеңілдікпен төлеуді білдіреді.
Мысал 7. Банк сатып алуға жарты жыл қалған мерзімінде вексельді оның номиналындағы 70%-на ескерді. Банкке арналған операцияның пайдалылығы қандай? Вексельдің номиналы N болсын, онда банк вексельді иемденушіге 0,7N төледі жылдық пайыздардағы N (жарты жылдан кейін абсолюттік табыс) операцияның табыстылығы , яғни 43% тең (ал жылдық пайыз бойынша ол 104,5% береді – бұдан әрі 6-ші тарауды қараңыз).
Пайыздарды ұстап қалу сонымен бірге жай және күрделі пайыздар бойынша жүргізілуі мүмкін. Алдымен жай пайыздарды ұстап қалуды қарап шығайық. Ұстап қалу пайыз мөлшері d (үлес) болсын, сонда жыл сайын белгілі бір шама ақырлы Р сомасының d үлесі болатын шама ұсталынады. Сондықтан, егер қарыз n жылға берілетін болса, онда ndP сомасы ұстап қалынады және ұстап қалудан кейін қалған сомасы P_n= P – ndP = P(1 – nd).
Ұстап қалудан қалған сомасы кемімелі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Егер ұстап қалу жағдайы күрделі пайыздар бойынша өтсе, онда жыл сайын алдыңғы сомадан d үлесі ұсталынады, демек қалған сома P = P(1–d)ⁿ болады. Ұстап қалудан қалған сомасы кемімелі геометриялық прогрессияны құрайды.
Мысал 8. 800 сомадан 4% пайыз мөлшері бойынша ұстап қалынады. Қалған сомаларды есептеңіз.

Ұстап қалудың аралықтары	-4	-3	-2	-1		0
Жай пайыздар	- 672	704	736	768		800
	(арифметикалық прогрессия)
Күрделі пайыздар	679,5	707,8	737,3		768		800
	(геометриялық прогрессия)

Егер уақыт аралықтары бірліктен ұзындау болса, онда жай пайыздардың ұстап қалуы күрделі пайыздарға қарағанда соманы баяу азайтады (§ 3 қараңыз).

Есептеулерді жеңілдету үшін күрделі пайыздарды ұстап қалуда дисконт көбейткіштері қолданылады.
Дисконттық көбейткіш соманың күрделі пайыз бойынша d-пайыз мөлшерімен n аралық мерзімінде қанша рет азаятынын көрсетеді:
Dis(n, d) = (1 – d)ⁿ.

Сондай-ақ бір ақша бірлігінен n периодта d пайыз мөлшері бойынша күрделі пайыздар ұсталынса, онда сол ақша бірлігі Dis(n, d) шамасына дейін азаяды деуге болады.

Пайыздарды ұстап қалудың қолдану облысы шектелген – ол аралықтардың саны екі-үштен көп жағдайда сирек қолдалынады. Төменде 0 < n < 4, 2 < n <12 үшін дисконттық көбейткіштер Dis(n, і) кестесінен үзінді берілген.
Дисконтық көбейткіштері

n\ i	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	0,970	0,960	0,950	0,940	0,930	0,920	0,910	0,900	0,890
2	0,941	0,922	0,903	0,884	0,865	0,828	0,828	0,810	0,792
3	0,913	0,885	0,857	0,831	0,804	0,779	0,754	0,729	0,705

Пайыздарды ұстап қалу амалы пайыздарды қосып есептеу амалына ұксайды:

пайыздарды қосып есептеу: егер қазір S соманы салса, онда бір жылдан соң ол S(l + і) тең болады;
пайыздарды ұстап қалу: клиенттен бір жылдан кейін S соманы алу үшін, оған қазір S(1 – d) беру қажет.
1.6. Уақытындағы ақшалай сомалардың эквиваленттігі.
Математикалық дисконттау.
Егер S(T)=s(t)(1+i)⁽^T^-^t⁾ болса, онда T мезетіндегі S(T) мен t мезетіндегі s(t) ақшалай сомалар і – салыстыру пайыз мөлшері бойынша экивалентті сомалар деп аталады. Егер T > t болса, онда s(t) сомасы і күрделі пайыз мөлшері бойынша арттырылып, T мезетінде S(T) сомаға айналып кетеді. Алайда T кіші t-дан болады деп есептеуге болады, онда S(T) сомасы і күрделі пайыз мөлшері бойынша арттырылып, t мезетінде s(t) сомаға айналып кетеді. Алдыңғы көрсетілген формулада айтылған бұл екі жағдайды да автоматты түрде ескереді. Сонымен бірге басқаша айтуға да болады: T > t болғанда S(T) мен s(t) сомалардың эквиваленттігінің мағынасы бойынша бұрынғыға жылжығанда әрбір аралығында есе төмендеген S(T) сомасы t мезетінде сомаға түрлендіріледі. Осындай келешек соманы қазіргі мезетіне қайта санауды оны келтіру немесе оның қазіргі шамасын табу деп атайды. Кез келген уақыттарда ақшалай сомалардың салыстыруының формуласы математикалық дисконттау деп аталады.
Мысал 9. 6% пайыз мөлшерімен берілген екі соманын қазіргі $1000 немесе 8 жылдан кейінгі $2000 қайсысы артық көрінетін болады?
Ш е ш у і. Алдымен 6% пайыз мөлшері бойынша 8 жылдан кейінгі $2000-дың қазіргі шамасын табайық. Дисконттық көбейткіштер кестесі бойынша D(8, 6) = 0,627 табамыз. Сонымен, А = 1254 > 1000. Сондықтан, 8 жылдан кейінгі $2000 соманы артықтау көруі кажет.
1.7. Номиналды және тиімді пайыз мөлшерлері
Шарт бойынша жылдық пайыз мөлшері і=12% болса да, кейбір клиенттердің талаптары бойынша банк оларға пайыздарды тоқсан бойынша қосып есептейді деп болжайық. Егер тоқсан бойынша күрделі пайыздарды схемамен қосып есептесе , онда бір жылда f = (1+0,03)⁴ = 1,1255 аламыз (мультиплициттайтын көбейткіш кестесіне қарап М (4, 3) = 1,126 табуға болады). f = 12,6% – тиімді пайыз мөлшері, ал жарияланған 12% – номинал пайыз мөлшері деп аталады. Жоғарыда айтылған нәтиже бойынша пайыз мөлшері шартпен салыстырғанда артық болғандықтан, банк ондай әрекетке бармайды. Осындай жағдайдағы ең жақсы шешім – 3% жай пайыз мөлшерімен тоқсан бойынша есептеу.
Жалпы жағдайда есептеулерді шартта белгілеу үшін және т.с.с. пайдаланатын пайыз мөлшері номиналды деп, ал мұнда шыққан нақты пайыз мөлшері тиімді пайыз мөлшері деп аталады.
Номинал жылдық пайыз мөлшері і болсын, ал күрделі пайыздар жылына m рет пайыз мөлшері бойынша қосып есептелсін. Онда тиімді f жылдық пайыз мөлшері теңдеу арқылы есептеп, бұдан табамыз.
Егер күрделі пайыздарды жылына m рет қосып есептеу қажет болса, онда жылдың аяғында керек f пайыз мөлшерін алу үшін t пайыз мөлшері қандай болуы қажет? белгілі теңдеуі, бұдан шығады.

жүктеу/скачать 229.5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7