Физика-математика факультеті

1. Егер жЩне векторлары коллинеар болса, онда олардыЈ сЩйкес координаталары пропорционал болады, я“ни

2. жЩне векторлары перпендикуляр болуы Їшін

Жазы›ты›та“ы аффиндік жЩне тік б±рышты координаталар жЇйесі. ТЇзудегі, жазы›ты›та“ы жЩне кеЈістіктегі тік б±рышты координаталар жЇйесі. Кесіндіні берілген ›атынаста бйлу

1. 
   Ба“ыттауыш векторы (тЇзуге параллель), М₀(x₀,y₀) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі болады. Б±л теЈдеуді ›орытып шы“ару Їшін берілген тЇзудіЈ бойынан та“ы бір М(х, у) нЇкте аламыз. Сонда векторы векторына коллинеар. Демек, олардыЈ сЩйкес координаталары пропорционал, я“ни .
   
2. 
   Нормаль векторына перпендикуляр болып, М₀(x₀,y₀) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі A(x-x₀)+B(y-y₀)=0. Б±л теЈдеуді ›орытып шы“ару Їшін берілген тЇзудіЈ бойынан та“ы бір М(х, у) нЇкте аламыз. Сонда векторы векторына перпендикуляр болады, я“ни олардыЈ скаляр кйбейтіндісі нйлге теЈ. Сонда мына теЈдік A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 шы“ады. Б±л ізделінді тЇзудіЈ теЈдеуі.
   
3. 
   Б±рышты› коэффициенті к болып, М₀(x₀,y₀) нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі y-y₀=k(x-x₀). М±ны ›орыту Їшін тЇзудіЈ у=кх+в (1) теЈдеуін алайы›. М₀ нЇкте тЇзу бойында жа›анды›тан, оныЈ координаталары (1) теЈдеуді ›ана“аттандырады, я“ни у₀ =кх₀ +в (2) теЈдігі орындалады. (1) теЈдіктен (2) теЈдікті шегерсек, y-y₀=k(x-x₀) теЈдігі шы“ады. Б±л б±рышты› коэффициенті к болып, М₀(x₀,y₀) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі.
   
4. 
   Берілген екі нЇкте М₁(x₁,y₁) жЩне М₂(x₂,y₂) нЇктелері йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі . М±нда тЇзу бойынан кез келген бір М (х, у) нЇкте аламыз. М₁ нЇктені М жЩне М₂ нЇктелерімен ›осса›, =(х – х₁ , у – у₁), =(х₂ – х₁ , у₂ – у₁), векторлары коллинеар болады. Б±дан ізделінді теЈдеу шы“ады.
   

А₁х+В₁у+С=0, А₂х+В₂у+С=0

Б±рышты› коэффициенттері к₁= , к₂=

Егер d₁  d₂, онда к₁ = к₂.

Егер d₁ d₂, онда к₁ = .

Екі тЇзу арасында“ы б±аыш tg (СтуденттердіЈ йз беттерімен ›орытуына беріледі)..

M(x₀,y₀) нЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы d= (СтуденттердіЈ йз беттерімен ›орытуына беріледі).

у

1. М

r₂

F₁, F₂ – эллипстіЈ фокустары. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0), F₁F₂ = 2c.

с – фокустары ар ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F₁М жЩне F₂М ›ашы›ты›тарын r₁= F₁М, r₂= F₂М деп белгілесек, онда (2) теЈдік мына тЇрде жазылады:
r₁ + r₂ = 2а (2¹)

Екі нЇктені ара ›ашы›ты“ыныЈ формуласы бойынша:

Б±л теЈдеуді тЇрлендіріп, эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін табайы›:

х² -2сх+с²+у² = (а -

х² -2сх+с²+у² =

а²х²+а²у²+а²с²= а⁴ + с²х²,
(а²- с²) х²+а²у²+ = а² ( а² - с²),
а с бол“анды›тан, а² - с² 0 болады, сонды›тан а² - с² в² (3) деп белгілейміз.
Сонда в² х²+а²у²+ = а² в² шы“ады, осыдан (4), м±нда“ы х пен у -
эллипстіЈ бойында“ы кез келген нЇктелердіЈ координаталары, а – эллипстіЈ Їлкен жарты йсі, в – оныЈ кіші жарты йсі. (4) теЈдеу эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуі деп аталады.

Теорема. ЭллипстіЈ фокусты› ара ›ашы›ты“ы мен жарты йстері мынадай ›атынас бойынша байланысады:

a² = b² + c².
Дэлелдеу: Егер М нЇкте эллипстіЈ вертикаль осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r₁ + r₂ = 2 ( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нЇкте эллипстіЈ горизонталь осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r₁ + r₂ = a – c + a + c. ЭллипстіЈ
ны›тамасы бойынша r₁ + r₂ – ›осынды т±ра›ты шама, ендеше жо“арыда“ы екі теЈдікті теЈестіріп, мынадай теЈдік аламыз:
a² = b² + c² .

Аны›тама. = с/a ›атынас эллипстіЈ эксцентриситеті деп аталады. с < a
бол“анды›тан, < 1 болады.

ЭллипстіЈ тЇрін оныЈ жабайы теЈдеуі бойынша зерттеу.
(4) теЈдеу бойынша эллипстіЈ бірнеше ›асиеттерін аны›тайы›..х=а

х=-а

у

у=в

М₂

В₂

х

А₁

О

1). (4) теЈдеудегі х пен у екінші дЩрежелі бол“анды›тан, ол теЈдеуді М(х;у) нЇктесініЈ координаталарымен ›оса М₁(х;-у), М₂(-х;у), М₃(-х;-у) нЇктелерініЈ де координаталары ›ана“аттандырады.

М₁

М₃

В₁

Ендеше эллипс координат осьтеріне,

Координата басына ›ара“анда симметриялы .

2) у=0 болса, болады, б±дан х =  а. Сонды›тан эллипс ох осін А₁(-а; 0) жЩне А₂(а;0) нЇктелерінде ›ияды. Ал х=0 бол“анда шы“ады да, у= в. Демек, эллипс оу осін В₁(0;-в), В₂(0; в) нЇктелерінде ›ияды. ЭллипстіЈ осьтермен ›иылысу нЇктелері (А₁, А₂, В₁, В₂ ) тйбелері деп аталады.

3) (4) теЈдеуден . Б±дан х  а жЩне у в. Б±дан – а  х  а жЩне –в  у  в. Сййтіп, эллипстіЈ нЇктелері жазы›ты›тыЈ ›абыр“алары 2а жЩне 2в болатын тік тйртб±рышпен шектелген бйлігінде жатады.

r₁ = a – x, r₂ = a + x.

ДЩл осылайша r₂ = a + x.

1. 
   ЭллипстіЈ тйменгі тйбесініЈ координаталары: x = 0; y² = 16; y = -4.
   
2. 
   Сол жа› фокусыныЈ координаталары: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).
   
3. 
   Екі нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі:
   

2c = , сонды›тан a² – b² = c² = Ѕ

Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b =

Сонымен эллипстіЈ теЈдеуі: .

F₁М - F₂М = 2а (5) .

с – фокустары ара ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F₁М жЩне F₂М ›ашы›ты›тарын r₁= F₁М, r₂= F₂М деп белгілесек, онда (5) теЈдік мына тЇрде жазылады:

r₁ – r₂= 2a (5¹)

ГиперболаныЈ бойынан кез келген М(х, у) нЇкте алайы›..

y
M(x, y)

b

r₁

x

a

c

Сонда:

с² – а² = b² деген белгілеме енгіземіз (геометриялы› тЇрдегі б±л шама – кіші жарты ось)

ГиперболаныЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін алды›..

Гипербола фокустарын ›осатын кесіндініЈ ортасына (О нЇктеге), жЩне координат осьтеріне ›ара“анда симметриялы.

2а гиперболаныЈ на›ты йсі деп аталады.

2b гиперболаныЈ жорамал йсі деп аталады.

ГиперболаныЈ ›асиеттерін студенттерге йз беттерімен ›арастыру“а тапсырылады.

ГиперболаныЈ екі асимптотасы болады жЩне олар теЈдеулері ар›ылы беріледі.

с² – а² = b² екеніні ескерсек:

Егер а = b, = болса, онда гипербола теЈбЇйірлі (теЈ ›абыр“алы) деп аталады.

y

a/e d

0 a F₁ x

OF₁ = c. Геометриялы› кескінедемеден мыналарды жазу“а болады:

a/ e + d = x, сонды›тан d = x – a/ e. (x – c)² + y² = r²

ГиперболаныЈ канонды› теЈдеуінен: , с учетом b² = c² – a²:

Сонда с/a = бол“анды›тан, r = x – a.

ГиперболаныЈ сол жа›та“ы тарма“ы Їшін дЩлелдеме осы тЩріздес.

Эллипс Їшін : c² = a² – b².

Гипербола Їшін: c² = a² + b².

ГиперболаныЈ теЈдеуі: .

Гипербола Їшін: c² = a² + b² = 16, = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.
Сонда - гиперболаныЈ теЈдеуі болады.

Парабола жЩне оныЈ ›асиеттері
Аны›тама. Парабола деп фокусы деп аталатын нЇктеден ара ›ашы›ты“ы центрі ар›ылы йтпейтін директрисасы деп аталатын берілген тЇзуден бірдей ара ›ашы›ты›та болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаныЈ ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)

Геометриялы› кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4
y² = 2px (*)
x = -p/2 - директрисаныЈ теЈдеуі.
ПараболаныЈ ›асиеттері:

1. 
   (*) теЈдеудегі у ж±п дЩрежелі бол“анды›тан, парабола Ох йсіне ›ара“анда симметриялы, Ох йсі параболаныЈ симметрия йсі болады.
   
2. 
   р0 бол“анды›тан, (*) теЈдеуден х0. Сонды›тан, парабола Оу йсініЈ оЈ жа“ында орналасады.
   
3. 
   х  0 бол“анда, у  0. Демек, парабола координат басы ар›ылы йтеді.
   
4. 
   х шектеусіз йскен сайын у-тіЈ модулі де шектеусіз йседі. О(0; 0) нЇкте параболаныЈ тйбесі , ’М  г М нЇктесініЈ фокальды› радиусыболады.
   

y² = - 2px , х² = 2pу, х² = - 2pу (р0 ) теЈдеулері де параболаларды аны›тайды.

r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y² = 16; y = 4. Ізделінді нЇктелер: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

1. 
   Берілген М₀(x₀, y₀, z₀) нЇкте ар›ылы йтіп, =(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазы›ты›тыЈ теЈдеуі
   

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

2. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуі, м±нда“ы А, В, С коэффициенттерініЈ кемінде біреу нйлге теЈ емес, жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы =(A,B,C) нормаль векторы.

3. Жазы›ты›тыЈ нормаль теЈдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуін нормалан“ан теЈдеуіне келтіру Їшін, оны нормалаушы кйбейткішіне кйбейту ›ажет. Егер D 0 , болса, онда б±л кйбейткіштіЈ таЈбасы D- ніЈ таЈбасына ›арама – ›арсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда - ныЈ таЈбасы ретінде екі таЈбаныЈ кез келгеніЈ алу“а болады, я“ни Ax+By+Cz=0 теЈдеудіЈ сол жа“ын векторыныЈ ±зынды“ына бйлеміз.

М₁(x₁ ,y₁ ,z₁), М₂(x₂ ,y₂ ,z₂), М₃(x₃ ,y₃ ,z₃) Їш нЇктеден йтетіЈ жазы›ты›тыЈ теЈдеуі аны›тауыш ар›ылы табылады


Кеістіктегі аналитикалы› геометрия
КеЈістікте тЇзудіЈ теЈдеуі
Жазы›ты›та“ы тЩрізді кеЈістікте де кез келген сызы› координаталары ›андай да бір таЈдалып алын“ан координат системасында F(x, y, z) = 0 (1) теЈдеуін ›ана“аттандыратын нЇктелер жиыны ретінде аны›талады.

(1) теЈдеу кеЈістіктегі сызы›тыЈ теЈдеуі болады.

Сонымен ›атар кеЈістікте сызы› бас›аша да аны›талуы мЇмкін. Оны Щр›асысы ›андай да бір теЈдеумен берілген екі беттіЈ ›иылысу сызы“ы деп ›арау“а болады.

Айталы› F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – L сызы“ы бойынша ›иылысатын беттердіЈ теЈдеулері болсын.

Сонда теЈдеулер жЇйесін кеЈістіктегі сызы›тыЈ теЈдеуі деп атайды.

КеЈістікте нЇкте мен ба“ыттаушы векторы ар›ылы берілген тЇзудіЈ теЈдеуі

ТЇзу бойынан кез келген М₀(x₀, y₀, z₀) жЩне M(x, y, z) нЇктелерін аламыз..

z
M₁

M₀

x
Б±л нЇктелердіЈ радиус- векторларын и ар›ылы белгілейік, сонда - = .

Б±л теЈдеуді тЇзудіЈ кез келген нЇктесініЈ координаталары ›ана“аттандыратынды›тан, (2) теЈдеу тЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі болады.

Б±л жЇйені тЇрлендіріп t параметрге теЈестіру ар›ылы кеЈістіктегі тЇзудіЈ канонды› (жабайы) теЈдеуін аламыз:

ТЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі канонды› теЈдеуден шы“ады. Айталы› бізге тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі берілсін. (1). Осыны t параметрге теЈестіреміз. Сонда:

Б±дан мынаны аламыз: m : n : p = cos : cos : cos.

m, n, p сандары тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенттері деп аталады. - нйлдік емес вектор бол“анды›тан, m, n и p бір уа›ытта нйлге теЈ бола алмайды, алайда б±л сандардыЈ біреу не екуі нйлге теЈ болуы мЇмкін. Б±л жа“дайда тЇзудіЈ теЈдеуінен сЩйкес алымдарын нйлге теЈестіруге тура келеді.

КеЈістікте екі нЇкте ар›ылы йтетін т±зудіЈ теЈдеуі

Сонымен ›атар М₁ нЇкте Їшін мынаны жазамыз:

Осы теЈдеулерді біріктіп шешу ар›ылы мынаны аламыз:

ТЇзуді екі жазы›ты›тыЈтыЈ ›иылысу ар›ылы былай аны›талады: . Б±лардыЈ нормаль ваекторларыныЈ координаталары былайша аны›талады: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂);

ТЇзудіЈ ба“ыттауыш векторы , векторларына перпендикуляр. Сонда = x  .
Жазы›ты› векторлы› формада тймендегі теЈдеу ар›ылы берілуі мЇмкін:

 + D = 0, где

- жазы›ты›тыЈ нормалі; -Жазы›ты›тыЈ кез келген нЇктесініЈ радиус - векторы.

Айталы› кеЈістікте екі жазы›ты› берілсін:  + D₁ = 0 и  + D₂ = 0,нормаль векторлардыЈ координаталары:: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Ол Їшін тЇзудіЈ кез келген нЇктесін жЩне m, n, p сандарын табады.

Сонда тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі:

ТЇзудіЈ теЈдеуін канонды› (жабайы) тЇрге кеклтір.

Жо“арыда“ы екі жазы›ты›тыЈ ›иылысуы ар›ылы берілген т±зудіЈ кез келген нЇктесін табу Їшін z = 0 деп аламыз.Сонда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Сонымен: A(-1; 3; 0).

ТЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы: .
Сонымен:
Жазы›ты›тар арасында“ы б±рыш

₁

 0

КеЈістіктегі екі жазы›ты› арасында“ы  б±рыш осы жазы›ты›тардыЈ нормаль векторларыныЈ арасында“ы ₁ б±рышпен мынадай ›атынаста болады:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, я“ни cos = cos₁.

Сонымен жазы›ты›тар арасында“ы б±рыш тймендегі формула бойынша аны›талады:

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.63 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: