РАЗДЕЛ 2. ФИЗИКА МАКРОМИРА

РАЗДЕЛ 2. ФИЗИКА МАКРОМИРА

3. Механическая картина мира

Первая научная картина мира была построена в 18 в. трудами Коперника, Галилея, Кеплера, Ньютона и их последователей, среди которых тоже было немало выдающихся математиков.

Замена небесных сфер Аристотеля кеплеровым движением планет по эллиптическим орбитам выдвинула на передний план вопрос о силах, удерживающих планеты на орбитах. Французский философ и математик Р. Декарт (1596–1650) предположил, что все пространство между телами заполнено тончайшей материей. Вихри этого вещества удерживают планеты на их орбитах, а все взаимодействия передаются путем прямого контакта.

В конце 1600-х годов в научных кругах Англии стали обсуждаться альтернативные теории тяготения. Поскольку было известно, что свет ослабляется пропорционально квадрату расстояния, несколько английских ученых, включая Э. Галлея (1656–1743), Р. Гука (1635–1702) и К. Рена (1632–1723), предположили, что могла бы существовать некая подобная сила взаимного притяжения тел. Ни один из них, однако, не дал математического решения этой проблемы.

В 1684 Галлей посетил И. Ньютона (1643–1727), чтобы обсудить проблему тяготения, и, увидев, что тот близок к ее решению, настоял на ускорении работ. Следующие три года Ньютон при поддержке Галлея почти непрерывно трудился над этой проблемой. Объединив исследования Галилея над падающими на Земле телами и кеплеровы законы планетных движений, Ньютон создал строгую теорию тяготения, действительно объединившую Солнце, Землю и планеты в единую систему.

Ньютон изложил свои открытия в Математических началах натуральной философии (Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687). Все наблюдаемые в Солнечной системе явления выводились в книге Ньютона с математической точностью из нескольких основных принципов и закона всемирного тяготения.

Книга I – математическое описание движения свободного тела под влияние действующих на него сил – утверждает новые принципы механики. Она начинается с определения того, что теперь называют инерцией, массой и импульсом, а затем формулирует три знаменитых ньютоновых закона движения.

Книга II – о движении тел в среде с сопротивлением – в основном опровергает теорию вихрей Декарта.

В Книге III Ньютон применяет свою теорию гравитации фактически ко всем телам Солнечной системы – к планетам, Луне и другим спутникам, к кометам, – для которых имелись точные наблюдения.

Неразрешимое противоречие между понятием о тяготении и действием сил на расстоянии крайне затрудняло распространение теории Ньютона. Тем не менее, в собственной стране он прошел путь от одинокого эксцентричного профессора Тринити-колледжа в Кембридже до президента Лондонского королевского общества (1703–1727). Хотя и медленно, его математические теории пускали корни.

Сам Ньютон не мог объяснить особенностей движения всех членов Солнечной системы. Невозможно было точно аналитически решить задачу о движении уже трех взаимно притягивающихся тел. Даже приближенное ее решение требовало многих месяцев и даже лет кропотливых вычислений. Поколение талантливых континентальных, в первую очередь французских, математиков – таких, как Алекси Клод Клеро (1713–1765), Жан д'Аламбер (1717–1783), Леонард Эйлер (1707–1783), Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) и Пьер Симон Лаплас (1749–1827), – успешно разрешило, в большей или меньшей степени, ряд проблем, касающихся движения тел в Солнечной системе, применяя и развивая ньютонову теорию

Кеплера законы - эмпирические законы, описывающие движение планет вокруг Солнца. Установлены И. Кеплером (J. Kepler) в нач. 17 в. на основе наблюдений положений планет относительно звёзд¹⁵.

Первый К. з. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Второй К. з. Площади, описываемые радиусами-векторами планет, пропорциональны времени.

Третий К.з. Квадраты периодов обращений относятся как кубы их средних расстояний от Солнца.

Первые два К. з. были опубликованы в 1609, третий - в 1619. К. з. сыграли важную роль в установлении И. Ньютоном закона всемирного тяготения. Решение задачи о движении материальной точки, взаимодействующей по этому закону с неподвижной центральной точкой (невозмущённое кеплеровское движение), приводит к формулировке обобщённых К. з.

1. В невозмущённом движении орбита движущейся точки есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

2. В невозмущённом движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, изменяется пропорционально времени.

3. В невозмущённом эллиптическом движении двух точек произведения квадратов времён обращений на суммы масс центральной и движущейся точек относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Третий закон, в частности, позволяет приближённо определять массы планет, обладающих спутниками. Пусть спутник с массой m₂ обращается по эллипсу с большой полуосью а₂ вокруг планеты с массой m₁, которая, в свою очередь, движется вокруг Солнца по эллиптической орбите с большой полуосью a₁. Тогда если из наблюдений известны значения a₁ и а₂, а также величины периодов обращений планеты вокруг Солнца (Т₁) и спутника вокруг планеты (Т₂), то при условии m₁>m₂ из третьего закона можно определить величину m₁ в единицах массы Солнца m₀:

3.1. Уравнения Гамильтона

В рамках классической механики законы природы выражаются с помощью уравнений Гамильтона: (канонические уравнения механики) - дифференциальных уравнений движения голономной механической системы в канонических переменных, которыми являются s обобщённых координат q_i и s обобщённых импульсов p_i, где s - число степеней свободы системы.

Выведены У. P. Гамильтоном (W. R. Hamilton) в 1834¹⁶. Для составления уравнения Гамильтона надо в качестве характеристической функции системы знать Гамильтона функцию Н(g_i, р_i, t), где t - время. Тогда, если все действующие на систему силы потенциальны, уравнения Гамильтона имеют вид

, , (2.3)
где - пространственные координаты и импульсы соответственно,

а - число степеней свободы системы. Функция Гамильтона

, (2.4)

где - кинетическая, а - потенциальная энергии.

До появления уравнений электродинамики Максвелла эти уравнения представлялись полным сводом законов природы. Начало такому подходу дал в XVIII в. Исаак Ньютон, который сформулировал его следующим образом: «Я … подозреваю, что [всякое явление природы] может быть целиком описано действием определенных сил, посредством которых частицы тел … либо притягиваются друг к другу, связываясь в правильные формы, либо отталкиваются, удаляясь друг от друга».

В XIX в. физик, физиолог и психолог Герман Гельмгольц выразил подобные взгляды следующими словами: «Задачей физики является сведение всех явлений природы к силам притяжения и отталкивания, интенсивность которых зависит от расстояния между материальными телами. Только решив эту задачу, мы можем быть уверены в познаваемости природы». Явлением природы Гельмгольц считал, разумеется, и жизнь.

Трудами создателей механики наблюдение и эксперимент становятся неотъемлемой частью науки. Раньше ручной труд считался уделом рабов. Теперь благодаря эксперименту и его математическому описанию стали считать, что мир состоит из взаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном движении. Все действующие причинно-следственные связи сотворены Богом. Открывая законы функционирования мира, созданные Богом, ученые смогут предсказывать события в будущем. Появляются достаточно совершенные механические приборы: термометры, барометры, логарифмические линейки, маятниковые часы и др.

Часы, подобно компьютерам в XX в. оказались причиной технологического прорыва. Правда, в древности автоматы уже применялись, особенно в Китае. Часы символизировали собой модель мира в целом. Мир считался заведенным Богом, как часы, и дальше функционировал сам по законам Им данным. Такой подход в религии называется деизмом. Подобные взгляды были характерны для Иоганна Кеплера, Рене Декарта, Христиана Вольфа («учителя» М.В. Ломоносова) и др. Из идеи божественного предопределения родилось философское течение детерминизма и редукционизма. Ярким техническим воплощением механического подхода стала вычислительная машина, которую создал Чарльз Беббидж (1792-1871). Его машина производила вычисления быстрее человека, могла играть в шахматы, шашки и др. игры.

В качестве первопричины явлений, по поводу которой И. Ньютон говорил: гипотез не делаю, выступал по-прежнему Бог. Подобная аналогия как бы заимствована из сценического оснащения античной трагедии, в которой в ходе действия мог участвовать «бог из машины», устранявший противоречия, когда они заходили так далеко, что их разрешение становилось, казалось бы, не под силу человеку. Как мы увидим из дальнейшего, наука постепенно отходила от идеи бога и уже в механистическую эпоху не кто иной, как Лаплас, отвечая Наполеону по поводу созданной им модели вселенной, заявил, что гипотеза бога ему не понадобилась. Еще Ньютон, как отмечено выше, заявлял: «Гипотез не делаю». Но так ли это было на самом деле? Исследуя этот вопрос, С.И. Вавилов считал Ньютона мастером гипотез. В чем же дело? Возможно, такое утверждение понадобилось Ньютону, чтобы отмежеваться от т.н. скрытых качеств, приписываемых природе. Он предпочел сведение природных закономерностей к неким принципам. Однако, во-первых, принципы весьма напоминали гипотезы, а во-вторых, не раскрывали причин явлений, отвечая в основном на вопрос «как?», но не «почему?». В самом деле, вопрос о причине тяготения оставался и остается поныне (!) открытым. Ньютон писал: «Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря».

Пространство и время в механике Ньютона были отделены друг от друга, т.е. существовали независимо, и рассматривались как абсолютные. И это несмотря на то, что, как было показано самим Ньютоном, никакому событию нельзя приписывать абсолютного положения в пространстве, ибо законы движения одинаковы в инерциальных системах. Но это противоречило идее абсолютного Бога, и Ньютон оставил в силе абсолютное пространство (существовавшее еще у Аристотеля), а также абсолютное время.

3.2. Основные положения механической картины мира.

Время считается обратимым (так построены уравнения)

Все процессы детерминированы

Пространство и время абсолютны и не связаны с движением тел

Все формы движения материи редуцируются к механическому движению

Принцип дальнодействия: силы распространяются в пустом пространстве мгновенно.

Известный персидский поэт средневековья Омар Хайам свои гениальные предчувствия на тему детерминизма неоднократно облекал в поэтическую форму:

В детстве ходим за истиной к учителям,

После — ходят за истиной к нашим дверям.

Где же истина? Мы появились из капли.

Станем — прахом. Вот смысл этой сказки, Хайям.

«Недостатки» механической картины мира.

1.Отсутствие причин притяжения тел.

2.Силы (притяжения) учтены только радиальные.

3.Неясно, что есть масса сама по себе, а не в «отношениях».

Итак, механическая картина мира описывается системой уравнений и имеет предсказательную силу. В силу этого при детальном рассмотрении какого-либо явления принято говорить о его «механизме». Задачи механики обусловили существенный прогресс в математике, хотя математика по своей сути не является естественной наукой. Открытие дифференциального и интегрального исчислений находилось в тесной связи с задачами механики и оптики. Впрочем, по такому поводу было бы уместно говорить о духе времени, который влиял на творчество многих ученых. Тем более что Лаплас, Пуассон, Гамильтон разработали математический аппарат, выходящий за рамки потребностей механики. Вспомним, например, понятие потенциала. Математики чутко улавливали дух времени.

Система уравнений – это хорошо. Но где же, спросите вы, собственно физика? Да и в чем она проявляется? Количественные соотношения – это скорее по ведомству математики. А где же качественные? А то, чего доброго, некоторые современные философы совсем уж примут физику за бескачественную науку! Да и можно ли двигать физику вперед на основе одних лишь математических моделей? Ведь прогресс в естественных науках не обходится без изобретений. А изобретения в физике не делаются, как правило, на основе математических соотношений. Нужны качественные рассуждения, важные для постановки эксперимента, которые и делают физику самостоятельной наукой. Без них невозможно делать изобретения, т.к. трудно сформулировать противоречия, которые должны разрешать изобретения.

П. Эренфест писал: «Физика проста, но неуловима». Впрочем, так ли уж неуловима? Для прояснения этого вопроса, рассмотрим на качественном уровне одну довольно простую модель механического движения.

3.3. Система Земля - Луна

Эта наиболее близкая к нам планетная система была предметом пристального внимания И. Ньютона на протяжении многих лет. То, что удалось сделать в этом отношении, его не вполне удовлетворило. Один из аспектов проблемы указанных небесных тел, который нам не удалось найти изложенным в доступной форме, будет описан ниже.

Закон всемирного тяготения описывает форму орбиты планеты и само ее (орбиты) существование. А как объяснить тот факт, что Луна, например, повернута к Земле одной своей стороной? Вот тут-то важно понять явление сначала качественно, создать физическую модель явления, а на ее основе можно строить и модель математическую. Попробуем предложить некую качественную модель движения Луны, имея в виду поставленную задачу. Это заодно продолжит уже начатую нами линию «физика на пальцах», достаточно популярную в физике, причем не только элементарной.
1

2

Рис. 2.1. Монеты в исходном положении

Возьмем две монеты одинакового достоинства, имеющие, следовательно, одинаковые диаметры. На рис. 1 показано их исходное положение. Из рисунка видно, что обе монеты ориентированы (об этом говорит направление стрелки) одинаково. Теперь заставим монету 1 катиться по монете 2 без скольжения так, чтобы монета прошла путь в половину окружности по монете 2. Спрашивается, в каком положении окажется монета 2 относительно своей начальной угловой ориентации? Нетрудно непосредственно, опытным путем убедиться, что эта ориентация отражена на рис. 5, то есть она совпадает с исходной.

Получается, что, пройдя половину окружности по монете 1, монета 2 повернулась на полный оборот вокруг своей оси. Как такое могло произойти? Ситуацию поясняет рис. 6. Теперь монета 1 не имеет возможности вращаться вокруг собственного центра, а может совершать вращательное движение только вокруг центра монеты 2. После прохождения полуокружности монеты 2 монета 1 оказывается в угловом отношении повернута относительно своего исходного положения не на угол 360 градусов, как раньше (рис. 5), а на угол 180 градусов. При этом монета 1 все время повернута к монете 2 одной стороной. Это объясняет и предыдущий результат. Там монета не только вращалась вокруг центра монеты 2, но и катилась по этой монете, что позволило ей вращаться вдвое быстрее, чем в случае, представленном на рис. 6.

2

1

Рис. 2.2. Монеты в конечном положении

1

1

2

2

а б

Рис. 2.3. Движение монеты 1 с закрепленной осью, вращающейся относительно центра монеты 2. Монета 1 не совершает качения по окружности монеты 2.
Как применить, спросите вы, рассмотренный пример к движению Луны? Что в этом случае может выполнять роль фиксатора оси вращения, не позволившего монете 1 (аналогу Луны) вращаться вокруг собственной оси? Ответ таков. Жесткой связи в движении планет, конечно, нет, но аналог жесткой связи возможен. Им может послужить несовпадение центра масс Луны с ее геометрическим центром. Конечно, несовпадение центра масс с геометрическим центром легче ожидать от тела менее правильной геометрической формы. И такие тела в Солнечной системе существуют. Это Фобос и Деймос – спутники Марса, которые тоже повернуты одной стороной к центральному телу.

Физическая модель предложена. Что же остается на долю математической модели? Ей придется заняться расчетом необходимой величины эксцентриситета Луны, т.е. отклонения центра масс от геометрического центра нашего небесного спутника. И если величина эксцентриситета окажется в разумных пределах, то наша качественная модель подтвердится количественно и, тем самым, получит окончательное право на существование. Для превращения предложенной модели из качественной гипотезы в количественную теорию необходимо рассчитать, хватит ли известного из других наблюдений эксцентриситета Луны (Луна вытянута по направлению к Земле под влиянием притяжения последней) для реализации всего явления односторонней «повернутости» Луны к Земле. Следует отметить в заключение, что автор пока не нашел в литературе другого простого объяснения явления «односторонности» в движении Луны.

3.4. Детерминизм и отклонения от него

Классическая механика, о которой шла речь до сих пор, однозначно выводит следствие из причины и демонстрирует детерминизм (причинно-следственную связь). Однако, как это было замечено на примере закона обратных квадратов, могут существовать предельные случаи, в которых содержится некий намек, что процессы могут происходить и не так. Попробуем найти указание на выход за пределы детерминизма внутри самой классической механики.

Математические трудности начинаются здесь при рассмотрении проблемы многих тел (больше двух). Рассмотрим поэтому качественно так называемую бильярдную проблему. В решетку из жестко закрепленных шаров влетает шар, обладающий определенной (по направлению и величине) начальной скоростью. Испытав несколько столкновений, он вылетает из системы с некой (изменившейся по сравнению с начальной) скоростью. Зафиксируем эту конечную скорость и попробуем повторить эксперимент. Как можно более тщательно соблюдем начальные и граничные условия и убедимся, что на выходе значение скорости повторить не удается. Более того, разброс от эксперимента к эксперименту очень большой, так что говорить в этом опыте о причинно-следственной связи становится затруднительным. В данном случае это связано с тем, что ничтожно малое отклонение в начальных и граничных условиях на входе приводит к большим изменениям на выходе системы. И хотя причинно-следственная связь качественно и прослеживается, практически реализовать ее крайне сложно, если вообще возможно.

Рис. 2.4. Пример, иллюстрирующий простой детерминизм (и отклонение от него). Движущийся шар отскакивает от упругой поверхности других (неподвижных) шаров бесконечной решетки. Самое незначительное отклонение от начальной траектории заметно усиливается при многократных соударениях, нарастая с каждым соударением.

Для того чтобы предсказать траекторию движения шара, мы должны знать первоначальное направление его движения с колоссальной точностью. Если шар движется со скоростью 100 км/час, то чтобы последовательно предсказать его путь в течение часа, нам надо знать изначальное направление его движения (в градусах) с точностью в два миллиона знаков после запятой. Для записи такого числа потребовалось бы более 700 страниц. А если учесть еще и движение шаров, например, их колебания относительно положений равновесия, задача станет еще менее обозримой. Сказанное нам пригодится при рассмотрении явлений микромира, где нередко приходится учитывать огромное число частиц.

жүктеу/скачать 2.8 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: