Математическое описание транспортного потока

2.3. Математическое описание транспортного потока

Основы математического моделирования закономерностей дорож­ного движения были заложены в 1912 г. русским ученым, профессором Г. Д. Дубелиром. Первая попытка обобщить математические исследо­вания транспортных потоков и представить их в виде самостоятельно­го раздела прикладной математики была сделана Ф. Хейтом. Дальней­шие исследования и разработки в этой области нашли отражение в ра­ботах многих зарубежных и отечественных ученых.

Известные и нашедшие практическое применение в организации дорожного движения математические модели можно разделить на две группы в зависимости от подхода: детерминированные и вероятност­ные (стохастические).

К детерминированным относятся модели, в основе которых лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, напри­мер, скоростью и дистанцией между автомобилями в потоке. При этом принимается, что все автомобили удалены друг от друга на одинаковое расстояние.

Стохастические модели отличаются большей объективностью. В них транспортный поток рассматривается как вероятностный (случайный) процесс. Например, распределение временных интервалов между ав­томобилями в потоке может приниматься не строго определенным, а случайным.

Детерминированные модели. Простейшей математической моделью, описывающей поток автомобилей, является так называемая упрощен­ная динамическая модель. Ее применяют для определения максималь­но возможной интенсивности движения по одной полосе дороги N_{a max} при скорости v_a:

,

(2.2)

При измерении скорости в километрах в час, а динамического габа­рита в метрах формула (2.2) является выражением для определения про­пускной способности полосы

.

(2.3)

Рассмотрим три применяемых разными авторами подхода к опре­делению динамического габарита L_Д

1. 
   При расчете исходя из минимальной теоретической дистанции безопасности принимают абсолютно равными тормозные свойства пары автомобилей и учитывают только время реакции t_р ведомого во­дителя. Тогда , а уравнение (2.2) приобретает линейный характер. В этом случае возможная интенсивность транспортного по­тока не имеет предела по мере увеличения скорости. Однако это не со­ответствует реальным характеристикам водителей и приводит к завы­шению возможной интенсивности потока. Здесь главную роль играет практическое значительное увеличение t_p при высоких скоростях.
   
2. 
   При расчете на "полную безопасность" исходят из того, что ди­станция d должна быть равна полному остановочному пути ведомого автомобиля S_o2. Тогда динамический габарит
   

,

3. Наиболее реальный подход основан на той предпосылке, что при расчете дистанции безопасности d надо учитывать разницу тормозных путей (или замедлений) автомобилей, так как "лидер" в процессе тор­можения также перемещается на расстояние, равное своему тормозно­му пути. Более детально это будет рассмотрено в подразделе 2.5.

В результате изучения транспортных потоков высокой плотности и специальных экспериментов, проведенных американскими специали­стами, была предложена теория "следования за лидером", математи­ческим выражением которой является микроскопическая модель транс­портного потока. Микроскопической ее называют потому, что она рас­сматривает элемент потока – пару следующих друг за другом автомо­билей. Особенностью этой модели является то, что в ней отражены за­кономерности комплекса ВАДС и, в частности, психологический ас­пект управления автомобилями. Он заключается в том, что при движе­нии в плотном транспортном потоке действия водителя обусловлены изменениями скорости лидирующего (ведущего) автомобиля и дистан­ции до него в данный момент.

Экспериментальная проверка основного уравнения осуществлялась несколькими учеными методом натурного имитационного эксперимен­та с помощью двух автомобилей, оборудованных аппаратурой для из­мерения значений параметров уравнения. Дистанцию между автомо­билями определяли киносъемкой или специальной амортизирующей лебедкой, которая связывала оба автомобиля. Однако такой экспери­мент уже в своей постановке содержит известную искусственность, ис­кажающую реальный процесс. Это заключается, прежде всего, в специ­альном подборе водителей, автомобилей и задании определенного ре­жима движения. Кроме того, относительно малое число замеров не по­зволяет охватить все многообразие ситуаций, возникающих в реальном транспортном потоке. Дорожные условия и общая транспортная ситу­ация рассматриваются в данной модели не в качестве отдельных пара­метров, а как проявляющиеся в значении скорости движения. Уравне­ние теории следования за лидером описывает взаимодействие между автомобилями с учетом реакции водителя на изменения в транспорт­ном потоке, называемые стимулами.

К моделям, рассматривающим поток в целом и называемым макро­скопическими, относят, например, модели гидродинамической теории.

Наиболее известны две из них, основанные на использовании анало­гии в поведении транспортного потока и потока жидкости. Первая ос­нована на уравнении неразрывности, которое обусловливает постоян­ство количества жидкости при ее протекании по водостоку, и в обозна­чениях, принятых для транспортного потока, в результате преобразо­ваний и упрощений характеризуется зависимостью:

,

Вторая гидродинамическая модель использует известное из гидрав­лики понятие о потенциале давления жидкости и предполагает, что дви­жение автомобиля выражается в виде функции некоторого потенциала давления, зависящего от дорожных условий, состояния окружающей среды и психофизиологического состояния водителя.

,

(2.4)

Практически для целей управления движением более необходимо располагать данными о характере распределения временных интервалов между следующими друг за другом транспортными средствами. Если появление автомобилей характеризуется распределением (2.4), то интер­валы между автомобилями распределены по экспоненциальному закону

,

Следует заметить, что в транспортном потоке физически невозмож­но появление интервалов, меньших, чем соответствующие длине ти­пичного транспортного средства (например, 4 – 5 м для потока легко­вых автомобилей). Поэтому более правильным для описания распре­деления временных интервалов оказывается использование модели смещенного экспоненциального закона:

,

Движение транспортных средств по дорогам в потоке большой ин­тенсивности и особенно в зоне пересечений может быть рассмотрено на основе теории массового обслуживания. Задачи, решаемые с помо­щью этой теории, обычно сводятся к определению максимального числа "заявок", а также определению очереди в системе по истечении опре­деленного промежутка времени. Применительно к транспортной зада­че это означает возможность определения пропускной способности пересечения, задержек автомобилей и возникающих перед перекрест­ком очередей. Под "заявкой" понимают появление в сечении дороги одного транспортного средства.

При анализе закономерностей дорожного движения, а также при решении практических задач ОДД возникает необходимость исполь­зования взаимозависимостей характеристик транспортного потока. Взаимосвязь интенсивности, скорости и плотности потока на одной по­лосе дороги графически может быть изображена в виде так называемой основной диаграммы транспортного потока (рис. 2.8), отражающей за­висимость

,

Рис. 2.8. Основная диаграмма транспортного потока: Z– Коэффициент (уровень) загрузки

Резкое торможение потока (находящегося в режиме, соответствую­щем точке А) и переход его в результате торможений к состоянию по скорости и плотности в соответствующее, например, точке В положе­ние вызывает так называемую "ударную волну" (показана пунктиром АВ), распространяющуюся навстречу направлению потока со скорос­тью, характеризуемой тангенсом угла B. "Ударная волна" является, в частности, источником возникновения попутных цепных столкнове­ний, типичных для плотных транспортных потоков.

В точках 0 и q_{a max} интенсивность движения N_a = 0, т. е. соответ­ственно на дороге нет транспортных средств или поток находится в со­стоянии затора (неподвижности).

Радиус-вектор, проведенный из точки 0 в направлении любой точ­ки на кривой (например, А или В), характеризующей N_a, определяет значение средней скорости потока .

На графике (см. рис. 2.8) показаны для примера две точки, харак­терные: А – для устойчивого движения транспортного потока; В – для неустойчивого, приближающегося к заторовому состоянию потока. Угол наклона радиус-вектора в первой точке а₁ = 60° (tg α= 1,77), а во второй а₂ = 15° (tg α = 0,26). Скорость в точке В(~9,9 км/ч) меньше, чем в точке А (~ 67 км/ч), в 6,8 раза.

Необходимо, однако, отметить, что основная диаграмма не может отразить всю сложность процессов, происходящих в транспортном по­токе, и характеризует его надежно лишь при однородном составе и нор­мальном состоянии дороги и внешней среды. При изменении состоя­ния покрытия, условий видимости для водителей, состава потока, вер­тикального и горизонтального профилей дороги изменяется характер диаграммы. Диаграмма транспортного потока может быть построена и в других координатах, например v_a – q_a и N_a – v_a.