Г. П. Щедровицкий Опыт логического анализа рассуждений

До сих пор, анализируя процесс мышления, скрывающийся за выбранным нами текстом, мы выделяли в так называемые краевые процессы все те отрезки мышления, посредством которых устанавливаются соотношения между исходным математическим отношением (численную величину которого нужно определить) и другими отношениями, в конечном счете уже известными. Мы выделяли их из так называемой основной линии и оставляли без анализа. Однако на этом пути выяснилось, что именно в этих, оставленных без внимания краевых процессах заключено, по-видимому, ядро рассматриваемого процесса мышления, именно они скрывают в себе обращение к содержанию и поэтому, естественно, должны быть проанализированы самым тщательным образом.

Мы предполагали также, что краевые процессы непосредственно между собой не связаны (собственно, это предположение и давало нам право выделять их из основной линии и оставлять пока без внимания) и что поэтому мы можем рассматривать их по отдельности, вне какого-либо определенного порядка. Но какой бы краевой процесс заданного рассуждения мы ни взяли, мы всюду наталкиваемся на одно и то же затруднение общего порядка; точно охарактеризовать это затруднение без введения дополнительных логических понятий трудно, но можно сказать так: применение особых графических средств.

Возьмем в качестве примера самый первый (с точки зрения переведения) краевой процесс — установление соотношения «EH:TH = LT:ST». В тексте Аристарха он выражается одной лаконичной фразой: «Из подобия треугольников SLT и THE следует...». У читателя, подходящего к этому выражению с логической точки зрения и знающего пока только исходную задачу, это выражение сразу же должно вызвать вопрос: какие треугольники? Перед Аристархом две планеты — Солнце и Луна, и он хочет определить отношение их расстояний до Земли. Вот, казалось бы, и все, что объективно дано в ситуации задачи. Откуда же берутся треугольники?

Отвечая на этот вопрос, мы должны принять во внимание, что в дополнение к тому, что дано в ситуации задачи, Аристарх Самосский вводит еще нечто. Это нечто, как мы уже сказали, трудно охарактеризовать: его можно назвать «чертежом», «моделью пространственных соотношений», «системой геометрических фигур» и т.п. Но как бы мы его ни называли, важно, что это нечто является для Аристарха ничуть не менее объективным, чем расстояния «Земля—Солнце» и «Земля—Луна»; поэтому его можно еще назвать «дополнительным объектом». Аристарх как бы «накладывает» созданный людьми объект на объективные пространственные отношения, заданные ему ситуацией задачи, «сопоставляет» созданную людьми систему геометрических фигур с объективными расстояниями «Земля—Солнце», «Земля—Луна» и затем, осуществив это «наложение», или «сопоставление», начинает определенным образом действовать с этой искусственно созданной системой фигур, преобразовывать ее и таким путем решает исходную задачу, относящуюся к расстояниям «Земля—Солнце» и «Земля—Луна». Указанное сопоставление и последующие действия с системой геометрических фигур и являются соответственно тем актом мышления, который необходимо исследовать.

Два основных вопроса, на которые должны быть получены ответы в этом исследовании, суть следующие:

1. Что представляет собой (или чем является) эта система геометрических фигур?

2. Какие процессы мысли осуществляем мы, вводя эту систему фигур и затем оперируя с ее элементами вплоть до того момента, пока не получим решение исходной задачи?

Необходимость дать ответы на эти вопросы заставляет нас обратиться к исследованию геометрии и, если можно так сказать, «геометрического» мышления, т.е. мышления в геометрии и с помощью средств геометрии. Еще раз повторим, что мы никак не можем излагать здесь все или даже все основные ходы этого исследования и вынуждены будем дать лишь основные соображения и выводы из них.

Первый из этих выводов может быть сформулирован так: геометрические чертежи суть одновременно и знаки особого специфического языка, и объекты исследования.

Этот тезис направлен, по существу, против всех существовавших до сего времени концепций. Вплоть до последней четверти ХIX в. исследователи геометрии — философы, логики, историки науки — почти единодушно считали, что изображения фигур или чертежи в геометрическом доказательстве служат только для одной цели — для образования наглядных представлений — и что мышление в геометрии, соответственно, исходит из результатов созерцания этих фигур, «обрабатывает» дальше эти результаты, или, другими словами, что мышление в геометрии строится на основе чувственного созерцания.

Начиная с последней четверти ХIХ века в связи с работами по формализации геометрии, предпринятыми Э.Бельтрами, Г.Грассманом, Ф.Клейном, Д.Пеано, М.Пиери, М.Пашем, Д.Гильбертом и др., философы, логики и математики начали усиленно доказывать обратное — что геометрия вовсе не нуждается в наглядных представлениях, а вместе с тем и в чертежах, что она может и должна быть построена на понятиях, выраженных предельно символически и не нуждающихся для своего образования ни в каких интуитивно-созерцательных моментах. Однако вся их борьба шла прежде всего по линии суммарного отрицания предшествующего тезиса, по линии чистого противоположения, и до самого последнего времени, насколько мы знаем, большинство исследователей не приходило к мысли отказаться от предвзятого взгляда на чертежи как на наглядные представления и поставить вопросы: а чем чертежи являются на самом деле? что они собой представляют? какую роль играли прежде в «геометрическом» мышлении и какую роль играют теперь?

Одной из причин, мешавших такой постановке вопроса, было широкое распространение плоско-сенсуалистического понимания мышления как способа отражения, не непосредственно связанного с объектами, а как бы надстраивающегося над чувственным «наглядным» отражением и, в соответствии с этим, связанного с объектами через посредство чувственного отражения.

Примерно к 30-м – 40-м годам нашего столетия сложилось и получило некоторое распространение представление, что геометрические чертежи суть знаки языка, суть язык, в принципе ничем не отличающийся от языка химических формул, алгебраических уравнений и даже обычного словесного языка ⁹.

Этот взгляд на природу чертежей геометрии является значительным шагом вперед по сравнению с плоско-сенсуалистическим пониманием их как моделей или продуктов наглядного представления (уже хотя бы потому, что по-новому ставит вопрос о строении и характере основных компонентов мышления), и, без сомнения, он правильно отражает какую-то весьма важную сторону действительного положения дел. Но — только одну и, по-видимому, не самую важную, не исходно-определяющую.

В определенном отношении и с определенной точки зрения геометрические чертежи действительно могут выступать и выступают как знаки языка. Обычно, однако, к этому добавляют: как своеобразного языка, как языка особого рода. В чем причина такой всегда присутствующей оговорки? Что скрывается за ней? В чем своеобразие этого языка, или иначе: чем он отличается от других языков?

И здесь, при ответе на этот вопрос, мы вновь сталкиваемся с тем свойством геометрических фигур, которое раньше характеризовалось как их наглядность. Но теперь мы должны рассмотреть и объяснить эту сторону принципиально иначе.

Вдумываясь в проблему с новых позиций, мы прежде всего видим, что тезис о наглядности можно весьма просто понять как трансформированное, извращенное представление одной реальной особенности геометрических фигур. Любые математические, химические или просто словесные символы, взятые сами по себе, также наглядны, как и геометрические чертежи ¹⁰.

Поэтому когда специально говорят о наглядном характере последних и выделяют это как их особое, специфическое свойство, то имеют виду, очевидно, нечто иное, нежели наглядность как таковую. По-видимому, это специфическое свойство геометрических чертежей заключается в том, что они не только обозначают, но и, прежде всего, изображают, если можно так сказать, определенные стороны объектов действительности, т.е. как бы содержат, несут в себе эти свойства; иначе говоря, геометрические чертежи, в отличие от других знаков, в каких-то отношениях, в каких-то содержательных моментах тождественны тем объектам, которые они обозначают, и поэтому в целом ряде случаев могут замещать последние в качестве объектов исследования.

Чтобы сделать эту мысль предельно понятной и отчетливой, воспользуемся следующим примером. Представим себе, что какой-либо человек, желая сообщить другому человеку, сколько у него баранов в стаде, передает последнему мешочек с зернышками проса, количество которых точно соответствует количеству баранов в стаде ¹¹.

В этой ситуации зернышки проса являются не чем иным, как знаками (своеобразного!) языка: не только в этой, но и в целом ряде других ситуаций с их помощью успешно решаются задачи отражения и коммуникации, наличие их дает возможность производить целый ряд практических действий, например, обмен баранов на что-либо другое и т.п. Представим себе далее, что в силу каких-либо обстоятельств такая форма выражения количества баранов в стаде нас уже не устраивает и мы хотим, используя полученный мешочек с просяными зернышками, выразить это количество в форме числа. Для этого мы, естественно, должны будем пересчитать зернышки. Пусть их будет, к примеру, 30. «30» есть тоже знак языка, и притом — своеобразного языка, языка арифметики. Но как знак он существенно отличается от просяных зернышек. С зернышками проса, являющимися знаком количества баранов в стаде, мы действуем во второй ситуации так же, как действовали бы с самими баранами: и тех, и других мы пересчитываем. Но это означает, что совокупность зернышек, несмотря на то, что она является знаком количества баранов в стаде, обладает реально тем же свойством количества, что и совокупность баранов. С числом «30», тоже выражающим количество баранов в стаде и тоже являющимся знаком этого количества, так действовать уже нельзя: его можно складывать с другим числом, можно из него вычитать другое число, его можно умножать, делить, возводить в степень, из него можно извлекать корень, но его нельзя пересчитывать. Это доказывает, что знак «30», взятый сам по себе, не обладает реально количеством, не содержит в себе этого свойства, он только обозначает это количество. Иначе, более строго, этот же вывод можно сформулировать так: с точки зрения действия пересчета мешочек с просяными зернышками является таким же объектом, как и само стадо баранов, а число «30» с точки зрения этого действия пересчета таким «количественным» объектом не является.

Чтобы придать этому положению действительно правильный смысл, необходимо сделать еще несколько уточняющих замечаний.

1. Положение о том, что просяные зернышки с точки зрения познавательной деятельности являются такими же объектами, как и замещаемые ими бараны, нисколько не противоречит положению о том, что совокупности этих зернышек являются каждый раз знаками определенных количеств баранов. Будучи с точки зрения операции пересчета такими же объектами, как и сами бараны, просяные зернышки во многих других отношениях существенно отличаются от баранов (их, например, можно носить в мешочке за поясом, чего нельзя сделать с баранами, изменение количества просяных зернышек в мешочке в принципе всецело зависит от человека, в то время как количество баранов в стаде часто меняется независимо от воли человека и т.п.), и это обстоятельство служит тем основанием, которое позволяет сделать зернышки проса знаками баранов, несмотря на их тождество как определенных, реальных количеств. Поскольку зернышки проса — это не бараны, действие их пересчета, если рассматривать его в ситуации, где нас интересуют именно бараны, само по себе, вне той замещающей функции, которую эти зернышки выполняют по отношению к баранам определенного стада, является совершенно бессмысленным, никчемным. Другими словами, в заданной ситуации нас совершенно не интересуют зернышки проса сами по себе, и мы интересуемся вопросом, сколько их в мешочке, только для того, чтобы таким путем узнать, сколько в стаде баранов. Таким образом, действие пересчета просяных зернышек в описанной ситуации имеет смысл только в связи с действием замещения зернышками проса самих баранов, только в структуре более сложной деятельности, включающей замещение.

Но это означает, что действие пересчета зернышек проса в ситуации, когда нас интересуют бараны, оставаясь по способу выполнения тем же самым действием, что и пересчет самих баранов, действием, направленным на предметы реальной совокупности и оперирующим непосредственно с этими предметами, по функции своей является другим действием, нежели пересчет самих баранов, — действием, направленным на объекты-заместители. Поэтому такое действие пересчета, учитывая его функцию, можно назвать «замещающим».

Резюмируя изложенное выше, можно сказать так: если с точки зрения характера деятельности пересчета, взятой изолированно, зернышки проса в мешочке являются такими же объектами, как и сами бараны, то с точки зрения какой-то более широкой структуры деятельности, с точки зрения ее задачи, а вместе с тем и с точки зрения места или функции данного действия пересчета в структуре этой более сложной деятельности зернышки проса уже не являются такими же объектами, как и сами бараны, они уже не равноправны с последними, а являются только объектами-заместителями, объектами-моделями. Поэтому о них нельзя говорить просто как об объектах, а следует говорить как об объектах-заместителях, как об «объектах-знаках». Вместе с тем и о деятельности, направленной на объекты-заместители, несмотря на неизменность самого способа деятельности, надо говорить уже не как об обычной деятельности с объектами, а как о замещающей деятельности.

2. Сравнивая две формы выражения определенного количества — другое такое же количество и число — и выяснив, что к числу не может быть приложена специфическая деятельность пересчета, мы сделали вывод, что, следовательно, оно не обладает свойством «количественности», или, что то же, не является реальным количественным объектом. В этой связи могут возразить, что существует другая деятельность, к примеру, сложение или умножение, в контексте которой число выступает как «представитель» и «носитель» количества как такового и, следовательно, с точки зрения этой деятельности есть такой же количественный объект, как и совокупность зернышек проса или бараны.

Но такая мысль была бы ложной, так как просяные зернышки или баранов в стаде нельзя ни складывать (в точном смысле этого слова и этого действия), ни умножать. Таким образом, с точки зрения операций сложения или умножения число, к примеру, «30» действительно выступает как представитель количества, но сами эти операции не могут быть приложены к реальным объектам, и поэтому числа и объекты с точки зрения этой деятельности оказываются отнюдь не тождественными.

Одним из следствий этого вывода должно быть различение двух типов деятельности: 1) «объектной» и 2) «необъектной», или собственно «знаковой». Именно на основе этого различения типов деятельности должно производиться одно из различений возможных заместителей объектов, или, если принять иную терминологию, знаков. Замещение объектов знаками может осуществляться как в связи с одной, так и в связи с другой деятельностью, но характер знаков в этих случаях будет различным: при объектной деятельности заместители должны быть тождественны объектам в отношении выделяемого свойства, при необъектной деятельности этого тождества не требуется. Первый вид заместителей в контексте этого различения мы будем называть «знаками-моделями», второй вид — «знаками-символами».

В более общем виде этот же вывод может быть сформулирован так: одно и то же объективное содержание может быть выражено в различных знаках — в зависимости от того, какую задачу решает это выражение и в какую систему действий оно в связи с этим включено. Когда знаки выступают в качестве моделей, то они чаще всего включены в объектную деятельность; но они могут быть и символами, и тогда это значит, что существует система особых, необъектных действий, которая и делает возможным замещение объектов совсем не похожими на них знаками — символами ¹².

После разбора этого примера, вводя ряд новых понятий, мы можем вернуться к вопросу о роли чертежей в «геометрическом» мышлении и выразить основную мысль, высказанную выше — что геометрические фигуры и чертежи в каком-то отношении сами являются объектами, — несколько иначе. Теперь мы скажем, что геометрические фигуры и чертежи в ряде случаев, т.е. по отношению к целому ряду операций, являются знаками-моделями реальных тел и объективных пространственных отношений между ними.

Но эта функция — не единственная из тех, в которых выступают фигуры или чертежи в системе науки геометрии, и не основная. Можно, конечно, предположить, к примеру, такую систему отражения действительности, в которой чертежи являются единственным видом знаков и к ним применяется только одна операция, устанавливающая их подобие. В такой системе отражения чертежи или фигуры были бы только знаками-моделями реальных объектов и ничем иным. Но в действительной науке геометрии чертежи отнюдь не являются единственными знаками. Рядом с ними мы видим знаки по крайней мере еще двух видов: 1) обычные словесные знаки и 2) алгебраические знаки. А если в дополнение к этому мы возьмем также и приложения геометрии, то должны будем принять во внимание и еще один вид знаков — арифметические.

Указанное обстоятельство неимоверно усложняет всю картину и сразу же заставляет нас поставить принципиальный вопрос: можно ли рассматривать все эти четыре языка — чертежей, словесный, алгебраический, арифметический — как лежащие наряду друг с другом (а следовательно, как непосредственно относящиеся к реальным объектам и пространственным отношениям между ними) или, может быть, между этими языками существует своя иерархия отношений и одни из них относятся к объектам непосредственно, а другие через посредство первых? От ответа на этот вопрос зависит очень многое в нашем понимании природы «геометрического» мышления» и мышления вообще.

Анализ рассуждений, содержащих решение конкретных задач с помощью методов элементарной геометрии, показывает, что это отношение может быть как одним, так и другим. Например, при получении целого ряда алгебраически выраженных соотношений, связывающих количественные характеристики элементов различных геометрических фигур, мы совсем не обращаемся к реальным телам и пространственным отношениям между ними; в этом случае в качестве объектов рассмотрения перед нами выступают исключительно одни геометрические фигуры. Здесь, следовательно, мы имеем отношение второго типа.

Когда же, используя геометрический чертеж и алгебраические соотношения, полученные на его основе, мы наряду с ними используем также числовые значения различных величин, полученные непосредственно из измерения каких-либо объектов или расстояний между ними, то сами эти алгебраические соотношения выступают в отнесении непосредственно к объектам. Здесь, следовательно, имеет место первое отношение: все языки как бы непосредственно относятся к самим физическим объектам.

Другими словами, когда условия задачи содержат определенные числовые значения, то это есть способ непосредственного описания объектов, по отношению к которому чертежи, используемые в процессе решения задачи, суть не что иное, как побочные, вспомогательные модели, также непосредственно относящиеся к реальным объектам и, следовательно, лежащие как бы наряду с числовыми знаками. Благодаря наличию числовых знаков, алгебраические соотношения, полученные из анализа чертежей, приобретают относительную самостоятельность по отношению к последним, и их начинают относить к реальным объектам через посредство числовых значений, минуя чертежи.

Анализ рассуждений в собственно науке геометрии, напротив, приводит к выводу, что там фигуры и чертежи являются единственными «истинными» объектами и что обычный словесный язык и язык алгебраических соотношений (языка арифметики там в принципе нет; такие числа, как , образуют особый случай) относятся только к ним. Дело в том, что понятие знака фиксирует функциональное свойство, и поэтому геометрические чертежи (как, в принципе, и все другое) являются знаками лишь до тех пор, пока они находятся во взаимосвязи замещения или обозначения и рассматриваются, соответственно, как ее элементы ¹³.

Но такое отношение существует, фактически, только за пределами собственно науки геометрии, именно, при решении практических задач «с помощью геометрии». В самой науке геометрии нет никаких других объектов, кроме самих фигур. Но зато эти фигуры являются «истинными» объектами, т.е. тем, что можно дальше анализировать и расчленять, подобно тому, как в разбиравшемся выше «арифметическом» примере «истинными» объектами по отношению к действию пересчета могли стать зерна проса, и подобно тому, как в современной теоретической арифметике «истинным» объектом является натуральный ряд чисел. Иначе можно сказать, что в собственно геометрии чертежи как бы «противостоят» обычным словесным и алгебраическим знакам в качестве объектов как таковых.

Сделанные выше выводы о том, что чертежи или фигуры в «геометрическом» мышлении» могут выступать по меньшей мере в двух различных функциях — как знаки-модели и как объекты, поднимают еще целый ряд сложных и принципиальных вопросов.

Какие свойства геометрических фигур определяются тем обстоятельством, что они суть знаки (иными словами, какие требования предъявляет к фигурам или чертежам это обстоятельство) ¹⁴?

Каким образом осуществляется анализ геометрических фигур как объектов? Что представляет собой этот анализ: а) как анализ объектов вообще, б) как анализ специфических объектов?

В каком отношении друг к другу находятся указанные две функции? Насколько анализ геометрических фигур как объектов зависит от того обстоятельства, что они являются (в другой связи) знаками?

Какое место в системе общественной трудовой деятельности занимает геометрия с ее искусственными «знаковыми» объектами?

Обосновывая тезис о том, что чертежи геометрии являются одновременно как знаками-моделями определенной действительности, так и объектами исследования, мы вместе с тем, фактически, пришли и к другому исключительно важному выводу: тексты такого типа, как разбираемый нами, содержат целый ряд различных и относительно замкнутых языков. Причем важно, что эти языки лежат не в одном ряду, а образуют как бы различные «слои» текста; элементы одного языка, например языка чертежей, могут выступать в роли объектов, описываемых с помощью других языков.

Последующие выводы, к которым мы приходим продолжая этот анализ, таковы.

3. Процессы мышления, приводящие к образованию новых знаний в геометрии, обязательно имеют двухплоскостную структуру и захватывают по меньшей мере два языка; один выступает как образующий плоскость объектов, и в нем осуществляется свое, содержательное движение, а другой — как образующий плоскость знаковой формы, и в нем содержательные преобразования замещаются и фиксируются.

4. Плоскость знаковой формы сама неоднородна: она содержит, с одной стороны, описания преобразований в плоскости содержания, а с другой, — фрагменты чисто формальных систем, внутри которых движение идет без обращения к содержанию, в соответствии с определенными общими правилами.
13.

Правильность этих выводов может быть без труда подтверждена на эмпирическом материале. Уже самого поверхностного взгляда на употребляемые в геометрии предложения обычного словесного языка достаточно, чтобы заметить, что они бывают по меньшей мере двоякого типа. Одни составляют логические связи вида «А есть В» или «Если А, то В», имеющие самостоятельное значение и используемые в дальнейшем в качестве общих положений (сюда относятся формулировки теорем, а также некоторые из общих понятий и постулатов Евклида). Предложения другого типа — это описания действий с геометрическими фигурами, построений и их преобразований. Они не являются общими положениями и относятся к определенным единичным построениям или преобразованиям.

Приведем в качестве примера доказательство предложения 32 первой книги «Начала Евклида» [Евклид 1948: 43-44].

«Во всяком треугольнике по продолжении одной из сторон внешний угол равен двум внутренним и противолежащим, и внутренние три угла треугольника <вместе> — равны двум прямым.

Пусть треугольник будет АВС, продолжим одну его сторону ВС до D; [я утверждаю, что внешний угол АСD равен двум внутренним и противолежащим САВ, АВС и что внутренние три угла треугольника АВС, ВСА, САВ <вместе> равны двум прямым.

Действительно,] проведем через точку С прямую СЕ, параллельную АВ. И поскольку АВ параллельна СЕ и на них пала АС, то накрестлежащие угли ВАС, АСЕ равны между собой (предложение 29).