Г. П. Щедровицкий Опыт логического анализа рассуждений

Курсивом (светлым и полужирным) мы выделили предложения первого типа и выводы из них. В квадратных скобках стоят повторения и замечания от автора, не имеющие прямого отношения к самому ходу рассуждения. Без всяких выделений остались предложения второго типа, описывающие процесс построения.

Если теперь отбросить все выражения в квадратных скобках, то нетрудно заметить, что процесс доказательства теоремы в рассматриваемом случае распадается на две отчетливо обособленные друг от друга части: 1) построение, фиксируемое в словесных выражениях, и 2) выводы, основанные на использовании общих положений того или иного вида.

Какую роль играет каждая из этих частей доказательства? Что представляют собой словесные выражения, составляющие их?

Начнем с анализа построения. Уже при самом поверхностном подходе бросается в глаза, что используемые в ходе доказательства общие положения — «поскольку АВ параллельна СЕ » и т.п. — относятся совсем не к той фигуре, которая задана исходными условиями теоремы, не к треугольнику с продолженной стороной, и, следовательно, чтобы применить их в данном рассуждении, необходимо предварительно превратить эту заданную фигуру в ту, к которой относятся эти положения, или, во всяком случае, как-то сопоставить фигуру, заданную условиями теоремы, с другой фигурой, к которой относятся общие положения, и установить определенные соотношения, позволяющие по отношениям элементов второй определять отношения элементов первой. Эту задачу, собственно, и решает дополнительное построение (так же, как в других случаях ее решает преобразование заданной фигуры в другие). И совершенно очевидно, что если существует различие между фигурой, заданной условиями теоремы, и теми фигурами, к которым относятся имеющиеся у нас общие положения, то мы обязательно должны осуществить преобразование или сопоставление первой фигуры с другими и без этого не сможем доказать теоремы.

При этом для содержания самого процесса мышления часто неважно, как именно мы осуществляем само это преобразование: реально вычерчивая сами фигуры и вспомогательные линии или проделывая это в представлении и словесном описании — при достаточном опыте в первом, второе не так уж трудно. Для содержания процесса мышления, повторяем, важно только, чтобы это преобразование было обязательно осуществлено.

Перейдем теперь к разбору второй части доказательства общих положений и выводов из них.

Уже первый подход к этой части показывает, что и она, в свою очередь, не является однородной, а содержит по крайней мере две различающиеся между собой группы языково-мыслительных структур. К одной должны быть отнесены выражения «поскольку АВ параллельна СЕ и на них пала АС, то накрестлежащие углы ВАС, АСЕ равны между собой» и «поскольку АВ параллельна СЕ и на них пала прямая ВD, то внешний угол ЕCD равен внутреннему и противолежащему АВС» со ссылками на предложение 29, а также выражение «но АСD и АСВ равны двум прямым» со ссылкой на предложение 13. (Мы выделили эти выражения светлым курсивом.) К другой группе должны быть отнесены выражения «Но АСЕ по доказанному равен ВАС; значит, весь угол АСD равен двум внутренним и противолежащим углам ВАС и АВС», «прибавим общий угол АСВ; значит, углы АСD и AСB равны трем углам АВС, ВСА, САВ» со ссылкой на аксиому 2 и, наконец, выражение «{но АСД и АСВ равны двум прямым,} и, значит, АСB, СВА, САВ <вместе равны> двум прямым». Все эти выражения, за исключением выражения, взятого в последнем случае в фигурные скобки, мы выделили полужирным курсивом. Выражение в фигурных скобках, зафиксированное словесно только один раз, фактически участвует в доказательстве два раза в различных группах структур; при «разметке» выражений нам удобней было отнести его к первой группе ¹⁵.

За выражениями, отнесенными нами к первой группе, скрываются совершенно одинаковые с логической точки зрения мыслительные процессы — это применение общего положения к единичным случаям (или, как мы их называем, процессы «соотнесения общего формального знания с единичными объектами»).

Общие положения, используемые в этом процессе, имеют структуру вида «если А есть B, то С есть D» (или, что то же самое, «если А обладает свойством В, то С обладает свойством D»), а суть самого процесса состоит в том, что у определенных элементов объекта, удовлетворяющих признаку А, эмпирически обнаруживают свойство В, а затем, опираясь на логическую связь общего положения, приписывают другим определенным элементам этого единичного объекта, удовлетворяющим признаку С, свойство D. Уже по внешней языковой форме соответствующих мест доказательства, в том числе по языковой форме самих этих выражений, без труда можно убедиться, что два первых выражения рассматриваемой группы имеют именно такую логическую структуру: наличие у определенных элементов А объектов этих выражений свойства В (к примеру в первом из этих случаев — параллельность линий АВ и СD, пересекаемых линией ВD) определяется «операционально», построением («проведем через точку С прямую СЕ, параллельную АВ»), точно так же определяется наличие свойства С у других элементов (углы ВАС и АСЕ — накрестлежащие), а свойство D (равенство) им приписывается. Но и третье выражение, несмотря на свою кажущуюся особенность, фактически ничем не отличается от двух первых. Различие в языковой форме между ним и двумя первыми выражениями является чисто внешним и возникло за счет сокращения речи. Если это сокращение устранить, то третье выражение примет, фактически, тот же самый характерный вид: «Поскольку СА — прямая, восставленная на прямой ВD, то образованные ею углы АСD и АСВ <вместе равны> двум прямым», — «скрывающий» эмпирическое операциональное выявление элементов и свойств А, B, C в заданном чертеже- объекте и приписывание его элементам С свойств D.

Таким образом, суть мыслительных процессов, фиксируемых тремя выделенными выражениями, состоит в применении общего положения к единичным объектам и в приписывании этим единичным объектам свойств, которые были уже зафиксированы у соответствующего класса объектов. В эти процессы, как показал анализ, вопреки мнению представителей формалистического направления, входят в качестве необходимого элемента операциональные моменты, связанные с обращением к объектам-чертежам и с определенными действиями по отношению к этим объектам — построением или предметно-чувственным сравнением. И до тех пор, пока мы не осуществим этих действий с объектами-чертежами, мы не можем применять к ним общих положений.

Рассмотрим в дополнение к этому процессы, приводящие к самим этим общим положениям, к примеру доказательство предложения 29 (см. [Евклид 1950: 41-42]). Так же, как и в доказательстве предложения 32, в нем можно выделить две части: 1) преобразования заданных фигур и их элементов, производимые либо путем геометрических построений, либо путем арифметико-алгебраических операций, и 2) использование уже готовых, полученных ранее общих положений (в частности ссылки на постулат 5 и предложения 15 и 13) и выводы на их основе. Но доказательства предложений 15 и 13, в свою очередь, содержат определенные преобразования заданных фигур и их элементов (там же, с. 28–29, 26–27). Таким образом, получается, что и та часть доказательства предложения 32, которая выражается непосредственно общим положением, в неявном, скрытом виде содержит определенные, производимые на чертежах преобразования и сопоставления.

Таким образом, выясняется, что доказательство теоремы в геометрии Евклида обязательно содержит в себе специфические действия с чертежами — и не только в той части, в которой эти действия явны, но и в той, которая, казалось бы, свободна от них и состоит исключительно из готовых словесных формулировок.

Такой вывод тотчас же поднимает «обратные» вопросы: а какую роль тогда играют эти словесные выражения? зачем они нужны? почему прибегают к их помощи? и т.п. Но прежде чем попробовать ответить на них, рассмотрим другую группу словесных выражений второй части доказательства.

На первый взгляд, представляется (особенно для человека, который современные способы и формы мышления воспринимает как единственно возможные и всегда существовавшие), что это чисто формальное преобразование величин, осуществляемое в соответствии с правилами алгебры (или теоретической арифметики) и что если представить их в строгой алгебраической форме, то это станет очевидным. Попробуем это сделать со всей возможной полнотой и строгостью. Первое словесное выражение примет вид:

(1) ECD=ABC

(2) ACE=BAC

(3) ACE+EC=ABC+BAC

(4) ACE+ECD=ACD

(5) ACD=ABC+BAC;

второе выражение примет вид:

(1) ACD=ABC+BAC

(2) ACD+ACB=ABC+BAC+ACB;

а третье, соответственно, примет вид:

(1) ACD+ACB=ABC+BAC+ACB

(2) ACD+ACB=2d

(3) ABC+BAC+ACB=2d.

Если в первом выражении рассматривать (1), (2), (3) как одно преобразование, а (3), (4) и (5) как другое ¹⁶, и при этом предположить, что исходные предложения каждого из этих преобразований в отдельности заданы и рассмотрение способа получения их не входит в задачу исследования, то, действительно, можно будет согласиться с тем, что эта часть доказательства носит формальный характер и подчиняется соответствующим алгебраическим (или теоретико-арифметическим) аксиомам.

Однако, чтобы этот вывод имел какое-либо значение, необходимо одновременно выяснить: 1) носили ли они у Евклида такой характер, какой получили при алгебраическом представлении, и 2) можно ли в контексте решаемой нами задачи рассматривать эти преобразования по отдельности, безотносительно к общей линии доказательства?.

Обращаясь к Евклиду, нетрудно заметить, что для него эти преобразования не имели одинакового смысла и значения. Начать хотя бы с того, что второе выражение начинается с особой фразы «прибавим общий угол АСВ...» и содержит ссылку на аксиому (или общее понятие) 2, а первое выражение, хотя, казалось бы, скрывающийся за ним процесс мысли тоже состоит в прибавлении равных количеств к равным, не содержит такой фразы и такой ссылки на аксиому, хотя как первое по порядку именно оно должно было бы их содержать. Это различие можно объяснить только в том случае, если мы будем рассматривать эти словесные выражения одновременно с чертежами и, в частности, учтем особую роль исходного чертежа, который со всеми своими элементами и сторонами выступает как исходный объект, подлежащий исследованию как актуально существующий независимо от деятельности исследователя и в этом отношении существенно отличается от всего того, что исследователь создает в дальнейшем в ходе геометрических преобразований. При таком подходе представляется вполне естественным, что Евклид в первом случае не говорит о прибавлении углов АСЕ и ЕСD друг к кругу, так как оба они вместе суть с самого начала один угол АСD, заданный исходным чертежом, а во втором говорит о таком прибавлении, так как АСD и АСВ на исходном чертеже — разные углы.

Между прочим, только такой подход к анализу этой части доказательства дает возможность понять происхождение соотношения (4) в алгебраическом представлении первого выражения. В то время как все другие исходные соотношения приведенных выше преобразований логически выводятся на основе других рассуждений и поэтому при раздельном рассмотрении этих преобразований без особой ошибки могут рассматриваться как заданные, соотношение (4) разрушает такой подход. При алгебраическом представлении этой части доказательства мы должны либо рассматривать его как определение ACD, что противоречит смыслу всего анализируемого рассуждения, либо искать ему особое основание. Но никакого логически-формального основания для него нет, и поэтому нам остается только одно — обращение к чертежу и ссылка на операциональный (по-видимому, чувственно-предметный) переход от чертежа к словесному выражению.
14.

Другим доказательством того, что рассматриваемые словесные выражения у Евклида теснейшим образом связаны о чертежами и, в частности, с действиями по отношению к этим чертежам, служит то обстоятельство, что аксиомы (или общие понятия) первой книги «Начал» (на одну из которых имеется ссылка в рассматриваемом рассуждении) имеют своим предметом не числа и не алгебраические величины, а геометрические объекты — линии, углы, площади и т.п.

В этом отношении исключительно характерна аксиома 7: «И совмещающиеся друг с другом равны между собой». Фактически, она представляет собой операциональное определение абстракции «равно» (и соответственно «не равно») при оперировании геометрическими чертежами и только по отношению к ним имеет смысл. «Равенство Евклид всегда понимает в смысле равновеликости, — пишет Д.Д.Мордухай-Болтовский. — <...> Евклид хотел сказать <...>, что площади двух совпадающих при наложении фигур равны» [Мордухай-Болтовский 1948: 250-251] ¹⁷.

Уже одна эта характеристика аксиомы 7 достаточно подтверждает выдвинутое нами положение. Но не в меньшей степени его подтверждают и другие аксиомы:

«1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые ¹⁸ будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой» [Евклид 1948: 15].

Многие комментаторы нового времени считают их родоначальницами системы арифметических аксиом. Так характеризует их, в частности, и Д.Д.Мордухай-Болтовский (там же, с. 247). С нашей точки зрения, не может быть большей исторической ошибки. Дело в том, что все эти аксиомы в равной мере бессмысленны как по отношению к числам, так и по отношению к величинам. Между прочим, и в комментариях у Мордухай-Болтовского одной страницей дальше, после того как он характеризует эти аксиомы как родоначальницы арифметических аксиом, следует место, которое полностью опровергает какую-либо возможность такой их трактовки. Он пишет:

«В системе Гильберта первая евклидова аксиома исчезла как арифметическая, но остается как геометрическая аксиома группы конгруэнтности, если

то

AB  AB

Равенство чисел есть тождество чисел, и поэтому аксиома 1 в числах ничего не выражает (курсив мой. — Г.Щ.).

То же следует сказать и о 2-й евклидовой аксиоме; она не выражает больше, чем аксиома 1 сочетания.

5-я отпала как следствие 2-й, а 6-я заменилась более общей, которая в системе Гильберта сводится к 5-й.

Таким образом только 4-я осталась в современной системе ¹⁹.

Законов счета Евклид не рассматривал» (там же, стр. 248).

Принципиально такую же характеристику в отношении применимости аксиом 1-6 к величинам дает Л.Кутюра:

«Прежде всего надо установить существенное различие между величиной и количеством. Величина есть абстрактное количество, количество есть конкретная величина; первая есть то, что мы называем состоянием величины, второе — сам предмет, которому мы приписываем это состояние. Эти два понятия постоянно смешивают в речи и на практике, подобно тому, как вообще смешивают конкретный и абстрактный смысл одного и того же термина. Поэтому особенно полезно их тщательно различать; и это различение имеет огромное теоретическое значение. В самом деле, часто считают, что величины могут быть как равными, так и неравными (это даже один из обычнейших способов определения величины); с логической же точки зрения, различные величины не могут быть равными; то, что обычно называют равными величинами, суть равные количества, то есть количества, имеющие одну и ту же величину. <...> Две величины не могут быть равными, но лишь тождественными (это положение вполне отвечает аналогичному положению в арифметике о том, что нет равных чисел, а есть одно и то же число, воплощенное в различные собрания). Следовательно, две различные величины необходимо не равны; и это отношение неравенства служит для характеристики величин одного и того же рода: две величины — одного и того же рода, когда про одну из них можно сказать, что она больше или меньше другой» [Кутюра 1913: 88-90].

И затем Кутюра формулирует пять аксиом [Кутюра 1913: 90], необходимых для построения теории величин. Четыре из них характеризуют взаимоотношения внутри формы теории:

I. Ни одна величина не больше и не меньше самой себя.

II. Из двух различных величин А и В, либо А > В, либо A < В.

III. Если А > В, то В < А.

IV. Если А > B и B > C, то А > C,

а пятая аксиома — отношение формы к содержанию:

V. Две различные величины одного и того же рода не могут сосуществовать в одних и тех же отношениях к одним и тем же терминам.

По поводу последней аксиомы — этот момент исключительно важен и будет использован нами в дальнейших выводах — Л.Кутюра пишет следующее:

«<Последнюю аксиому> можно назвать принципом тождества неразличимых в применении к величинам. <...> Иначе говоря, так как величины, конкретизированные в пространстве и времени, называются количествами, то одно и то же количество не может соответствовать двум различным величинам одного и того же рода; или еще: отношение количества к соответственной величине однозначно; каждое количество одноименно определяет соответственную величину, что вполне понятно, ибо величина извлечена из количества путем абстракции» (там же, с. 90-91).

Мы оставляем сейчас в стороне разбор всего приведенного фрагмента из книги Кутюра и анализ его логического смысла и значения и хотим подчеркнуть только один момент: в нем убедительно показано, что аксиомы 1—6, которыми пользовался Евклид, не могут относиться к величинам (а также и к числам). Но Евклид пользовался ими и, следовательно, предметом его «Начал» являются не числа и не величины, а нечто другое. Этим другим, по выражению Кутюра, — и здесь мы должны обратить особое внимание на первую и последнюю часть приведенного фрагмента — должны быть величины, конкретизированные в пространстве и времени, количества, сами предметы, которым мы приписываем эти величины. А в геометрии Евклида такими конкретными количествами или предметами (точнее, объектами) могут быть только геометрические фигуры или чертежи.

Таким образом, по всем перечисленным выше признакам три выделенных нами, казалось бы, чисто словесных и формальных выражения, на самом деле у Евклида теснейшим образом связаны с чертежами и являются фактически лишь описаниями, сопровождающими геометрические преобразования чертежей. Именно такой смысл и значение имеет фраза в начале второго выражения: «прибавим общий угол АСВ»; она описывает действие, которое должно быть произведено, хотя и в подразумеваемом плане, но именно с углом и именно геометрическим, «чертежным» способом. А в первом выражении нет такой фразы, потому что углы АСЕ и ЕСD не нужно прибавлять друг к другу, так как они с самого начала составляли один угол АСD и получились в результате «условного», если можно так сказать, разбиения его на части линией ЕС.

Но последнее замечание совершенно по-новому освещает мыслительную деятельность, скрывающуюся за первым из разбираемых выражений. Ведь если сначала в чертеже был задан угол АСD и с помощью построения мы разбили его на два — АСЕ и ЕСD, а затем, вновь объединяя эти углы, решаем задачу, то буквально напрашивается вопрос: а не связаны ли между собой эти действия — разбиение угла АСD на части и обратное объединение этих частей — в одно неразрывное целое? Не определяется ли предшествующее действие разбиения последующим действием объединения и не составляют ли они оба лишь элементы или стороны одного какого-то мыслительного действия, которое необходимо должно рассматриваться как одно целое и как одно целое в своей структуре и механизмах определяется какими-то другими действиями? И ставя так вопрос, мы переходим, фактически, к обсуждению того самого вопроса, который вторым был сформулирован выше: можно ли рассматривать выделенную группу словесных преобразований саму по себе, безотносительно к общей линии и структуре всего доказательства? Ведь если на первый вопрос мы ответим утвердительно: да, выделенные действия разбиения заданного угла на части и объединения этих частей в одно целое надо рассматривать как органически связанные элементы одного процесса мышления, ибо при разбиении уже заранее имелось в виду, предполагалось такое и именно такое объединение, — то это будет означать вместе с тем, что мы отрицательно отвечаем на второй, более общий вопрос: словесную часть доказательства теоремы в «Началах» Евклида вне чертежей и действий с ними нельзя рассматривать не только как целостное, самостоятельно осуществляемое доказательство, но даже как относительно самостоятельную часть целостного доказательства.

К этому выводу примыкает, далее, еще одно соображение. Поставим вопрос: какие элементы рассуждения в доказательстве дают нам возможность получить новые положения, новые знания? Та часть доказательства, которая содержит ссылки на другие предложения, как мы уже выяснили, является применением уже готовых, выработанных общих положений к единичным случаям. Сами по себе эти процессы мысли не дают ничего нового для системы геометрического знания. Новое, как мы уже видели из предшествующего анализа, получается за счет построений, связанных с этими процессами мысли, за счет преобразований исходных геометрических объектов к новому виду. Но и другая часть словесного рассуждения в доказательстве, взятая сама по себе, как мы только что выяснили, тоже не содержит ничего нового, так как является лишь «обратным процессом возвращения» к исходному объекту. И здесь точно так же новое возникает, фактически, только благодаря построениям, производящим исходное расчленение. Если к этому добавить, что и каждое из общих предложений, применяемых в ходе доказательства, имеет за собой определенные геометрические построения, то мы придем к выводу, что для того, чтобы раскрыть действительное ядро и сердцевину процессов, приводящих к этим общим предложениям, необходимо проанализировать ту последовательность собственно геометрических, «чертежных» преобразований и сопоставлений, которая скрывается за всем рядом этих предложений ²⁰.

Эти соображения также подтверждают тот общий вывод, что словесную часть доказательства теоремы в «Началах» Евклида нельзя отделять от чертежей и действий с ними.