Г. П. Щедровицкий Опыт логического анализа рассуждений

Выводы, полученные в предшествующем пункте, по видимости вступают в противоречие со взглядами подавляющего большинства современных геометров — представителей так называемого «формалистического» понимания, которые считают, что чертежи являются совершенно излишними в геометрическом доказательстве, которое может быть проведено сугубо формально.

Вот что пишет, к примеру, Л.Кутюра:

«Если бы даже построения были безусловно необходимы, они не заключали бы в себе обращения к наглядному представлению. Но они далеко не так необходимы, как это думают на основании «элементов» синтетической геометрии. Искусственный характер доказательств Евклида уже давно подвергался резкой критике, так как эти доказательства опираются на построения, подчас сложные и, по-видимому, произвольные, на нагромождение вспомогательных линий, выходящих за пределы данной фигуры и присоединяющих к ней совершенно посторонние элементы; при виде этого кажется, что прийти от первоначального допущения к заключению мы можем лишь длинными окольными путями и призывая на помощь всю силу способности воображения; подобные доказательства иногда столь окольны, что представляются действительно не связными и правильными рассуждениями, а хитрыми фокусами (Сноска: Таково, например, классическое доказательство теоремы Пифагора, которая походит на игру в складывание разрезанного на кусочки рисунка или китайскую головоломку.) Но, в общем, их можно заменить гораздо более простыми и прямыми доказательствами, основанными на существенных свойствах данной фигуры и чаще всего не требующими ни одной вспомогательной линии» [Кутюра 1913: 240].

Свое понимание Кутюра иллюстрирует примером доказательства, заимствованного из элементарного учебника, который, по его выражению, «не проникнут духом какой-либо системы» и «преследует единственно логическую строгость, наряду с педагогическим порядком и ясностью». Вот это доказательство:

«Если две плоскости взаимно-перпендикулярны, то всякая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярна к другой.

Ибо эту прямую можно рассматривать как линию пересечения первой плоскости с третьей, перпендикулярной к линии пересечения данных (95) и, следовательно, перпендикулярной ко второй (107, 111) [Кутюра 1913: 241]».

«Это доказательство, состоящее из одной фразы, не обращается к помощи каких-либо фактов наглядного представления: оно не сопровождается никакой геометрической фигурой и, как мы видим, не требует никакого построения, — пишет Кутюра. — Оно просто ссылается на три предыдущих предложения и ограничивается сопоставлением и сочетанием их. Чтобы его понять, надо знать эти предложения:

(95) Через точку плоскости, заключающей прямую, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр; и этот перпендикуляр есть линия пересечения данной плоскости и плоскости, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через данную точку.

(107) Две плоскости взаимно перпендикулярны, когда одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой.

(111) Если две пересекающихся плоскости перпендикулярны к одной и той же третьей плоскости, то к ней перпендикулярна и линия их пересечения» [Кутюра 1913: 241].

Затем Л.Кутюра анализирует ход самого доказательства: «Условие теоремы содержит в себе: две взаимно-перпендикулярных плоскости, назовем их P и Q, линию их пересечения, назовем ее D, и прямую Е, перпендикулярную к D в Р. Прямая E (в силу (95)) есть линия пересечения плоскости Р плоскостью R, перпендикулярной к прямой D. Но (в силу (107)) плоскость R, перпендикулярная к прямой D плоскости Q, перпендикулярна к Q. Обе плоскости Р и R перпендикулярны к Q, значит (в силу (111)) линия их пересечения Е перпендикулярна к Q, что и требовалось доказать» (там же).

И далее идут исключительно характерные положения:

«Мы намеренно не делаем чертежа, ибо он совершенно бесполезен. Нет необходимости видеть плоскости P, Q, R и прямые D, Е; достаточно знать, каковы их взаимные отношения и применить к ним, так сказать автоматически, три предложения: (95), (107) и (111). Это — словесное, т.е. формальное доказательство. Можно было бы отнять всякое геометрическое значение у сущностей D, E, P, Q, R, равно как у связывающих их отношений перпендикулярности и принадлежности — рассуждение осталось бы тем же и имело бы ту же силу, раз предполагаются верными три предложения (95), (107), (111). Этот пример показывает, что геометрическое доказательство может (и должно) быть чисто логической дедукцией. Следует прибавить, что рассмотренная нами теорема отнюдь не является корроларием (т.е. непосредственным следствием из другой) и что цитированное доказательство не представляет в названной к книге исключения: в ней большая часть доказательств имеет тот же характер, причем в них так же мало, как и в рассмотренном случае, прибегают к геометрическим изображениям, к построениям» (там же, с. 241-242).

Как же надо относиться ко всем этим рассуждениям Л.Кутюра и аналогичным рассуждениям других представителей «формалистического» направления? Правильно или неправильно оценивается в них характер доказательства в разобранном примере, а вместе с тем и во всей современной геометрии? И если эта оценка правильная, то может ли она служить опровержением сформулированного нами выше вывода относительно характера доказательства в «Началах» Евклида? Все эти вопросы суть лишь формулировки различных частных аспектов одного более общего вопроса, который мы уже ставили выше: какую роль играют словесно-алгебраические выражения в системе геометрии, как они относятся к преобразованиям чертежей?

И чтобы ответить на него, хотя бы в общем виде, надо встать на историческую точку зрения и рассмотреть условия и закономерности формирования формального умозаключения вообще и формального умозаключения в геометрии, в частности.

Начнем с анализа условий формирования любого формального умозаключения. Всякое знание, каким бы опосредствованным по отношению к объекту оно ни было, возникает первоначально как констатация определенного эмпирически выявленного положения дел (в предметной области или в области знаков). Иначе говоря, исходным для каждого типа знаний является описание. Умозаключение вырастает из описания определенного типа. Первоначально та последовательность утверждений, которую мы теперь рассматриваем как силлогистическое или какое-либо иное умозаключение, появляется как случайное (для субъекта) совпадение эмпирически констатированных утверждений. Например, если даны три предмета — А, В и С, то три последовательных сопоставления их между собой дают три эмпирических утверждения вида «А >B», «В >С», «А >С». Или если даны n предметов, то три ряда последовательных сопоставлений (например, атрибутивных и согласования) могут дать три эмпирических утверждения, значимых для этой предметной области, вида: «Все А обладают свойством В», «Все В обладают свойством С», «Все А обладают свойством С». Но многократное сопоставление таких троек утверждений, различающихся по своему предметному содержанию, позволяет вывести (так же эмпирически, т.е. опираясь на анализ существующих утверждений) правило вида: «Если утверждается, что А >В и B >C, то можно утверждать, что А >C», или аналогичное ему правило: «Если утверждается, что все А обладают свойством В и все B обладают свойством С, то можно утверждать, что все A обладают свойством C». Лишь после стихийного выделения (а затем и сознательного формулирования) такого правила впервые становится возможным формальное, или дедуктивное (в традиционном смысле), умозаключение (или вывод) вида: «А есть В, В есть С, следовательно, А есть С». Его заключение «А есть С» получается не на основе констатации, не на основе выявления определенного положения дел в эмпирической действительности, а помимо него — в силу правила. Оно апеллирует не к положению дел, а к общей значимости правила; оно говорит не о том, что есть, а о том, что должно быть. Собственно, поэтому оно и называется формальным. Если изображать движение мысли в этих двух случаях схематически, то это будет выглядеть примерно так:

Таким образом, всякое умозаключение связано, во первых, с потерей на определенном отрезке непосредственной отнесенности к плоскости содержания, во-вторых, с появлением новой плоскости — правила, в соответствии с которым совершается умозаключение.

После этих предварительных замечаний относительно условий появления и строения всякого умозаключения мы можем перейти к анализу специфических особенностей умозаключения в геометрии.

В истоках геометрии, по признанию многих, лежит деятельность измерения. В основе самой операции измерения лежит другое действие — наложение. Поэтому мы должны начать с анализа именно этого действия. Наложение двух объектов друг на друга очень часто осуществляется в процессах труда, когда нужно создать объект — орудие или предмет потребления, — по форме тождественный другому объекту. Первый объект в этой ситуации выступает как предмет труда, второй — как эталон. Такое наложение друг на друга предметов труда и эталонов по сути своей всегда есть приравнивание, или отождествление: если исходный объект — предмет труда — не равен эталону, то первоначально его просто изменяют практически, преобразуют, добиваясь такого равенства; собственно в этом и состоит задача трудового акта. Но затем, в определенных трудовых ситуациях такое наложение объектов друг на друга начинает играть иную роль; оно становится познавательным действием, а его задачей и целью — получение знания вида: предмет труда «равен» (или «не равен») эталону. При этом важно отметить — и это понадобится нам для дальнейшего, — что факт совмещения или несовмещения объектов при наложении, независимо от того, является это действие практическим или познавательным, устанавливается с помощью зрительного, визуального наблюдения.

Осуществляя наложение в предметном плане и фиксируя зрительно, совместились или не совместились накладываемые друг на друга объекты, человек тем самым выделяет (обнаруживает) в объективной действительности новое содержание. Это содержание фиксируется в слове «равно» (или «не равно»). Наглядно-символически эту операцию, т.е. действие наложения и устанавливаемую на его основе связь между словом и объектами, можно изобразить в схеме:

где А и В — накладываемые друг на друга объекты, фигурная скобка обозначает отношение наложения, а () — слово, фиксирующее новое содержание, выделенное посредством наложения, — равенство или неравенство объектов А и В. Такова (в первом приближении) структура одной из операций, лежащих в основе элементарной геометрии. Нам важно здесь подчеркнуть ее «двухплоскостной» характер: объекты А и В, накладываемые друг на друга, лежат в одной, «нижней», плоскости, а слово () — в другой, «верхней», плоскости; элемент верхней плоскости фиксирует, обозначает, отражает то свойство (в широком смысле этого слова), которое обнаруживается в результате определенного действия с элементами «нижней» плоскости. Можно сказать, что элемент () «верхней» плоскости служит заместителем содержания, выделенного посредством действия с объектами «нижней» плоскости. Таково исходное отношение между словесными выражениями, объектами-чертежами и действиями с ними для геометрии.

Но это отношение — лишь исходное. В самой геометрии оно носит существенно иной и значительно более многообразный характер. Возьмем то же действие наложения. В мире объектов мы производим наложение практически; в мире же чертежей геометрии действовать таким образом невозможно — уже хотя бы потому, что чертежи существуют на песке или на листе бумаги. Следовательно, наложение приходится осуществлять в представлении, в «воображаемом» или «подразумеваемом» плане. Но как в таком случае выяснить результат? При подразумеваемом наложении он теряет всю свою определенность: фигуры могут оказаться как равными, так и неравными, и это невозможно выяснить с достаточной степенью точности. Но это означает, что в подразумеваемом плане действие наложения теряет свои смысл и значение в системе человеческой деятельности. Складывается весьма характерное положение: нужно установить равенство или неравенство фигур; единственным способом решения этой задачи является непосредственное наложение фигур друг на друга; но геометрические фигуры в силу особенностей их «материала» нельзя накладывать друг на друга непосредственно; их можно накладывать только в подразумеваемом плане, но такое наложение не решает задачи. Таким образом, возникает разрыв между способом существования объектов и деятельностью, которая может решить возникшую задачу. Этот разрыв должен быть преодолен за счет появления новой деятельности, «подходящей» к способу существования объектов. Человеку приходится искать обходный путь для решения стоящей задачи.

Сделаем «скачок»: оставим в стороне условия реального развития и попробуем решить вопрос, каким может быть этот «обходный путь» в условиях подразумеваемого плана. Здесь нам придется прежде всего согласиться с тем, что ни один собственно объектный способ деятельности не может быть перенесен в подразумеваемый план так, чтобы он в то же время сохранил свою «продуктивность», т.е. давал бы решение исходной задачи. Следовательно, обходный путь должен строиться на переходе к другому, необъектному способу деятельности. Но это может означать только одно: это должна быть деятельность со знаками и в плоскости знаков. В то же время эта деятельность должна быть такой, чтобы посредством нее мы имели бы возможность «выявлять» и «приписывать» объекту то свойство (в разбираемом случае это должно быть равенство или неравенство), которое мы до этого выявляли с помощью объектной операции. Но в плоскости знаков такой деятельностью могут быть лишь формальные переходы по готовым связям знаний ²¹.

Наглядно-символически их можно изобразить в схеме:


 (23)

где А и В — объекты; три точки означают, что в силу определенных особенностей объектов А и В наложение не может быть осуществлено; () — выражение, фиксирующее равенство (или неравенство) объектов А и В; горизонтальная стрелка показывает, что это выражение формально выводится из какого-то другого выражения (), а вертикальная стрелка, — что () приписывается объектам А и В.

Возникает вопрос: что представляют собой свойство  и связь между () и (), позволяющая формально выводить второе из первого; откуда берутся это () и эта связь?

Здесь, еще до начала детального анализа можно с очевидностью утверждать следующее: как выражение (), так и связь между () и () относятся к объектам А и В и были получены раньше, первое — как выражение какого-то другого их свойства, отличного от , вторая — как выражение «необходимой» связи между свойствами  и .

Наглядно-символически в схеме это можно выразить так:

где V-образный знак изображает то действие с объектами А и В, посредством которого выявляется как особое содержание связь () (), знак неизвестного пока сопоставления, состоящий из сплошной и штриховой линий, изображает действие, посредством которого в этих объектах выявляется свойство , вертикальная линия — отношение отнесения знаковых выражений к объектам, вертикальная стрелка — приписывание свойства  объектам А и В, а две вертикальных линии - отношение «необходимой» связи знания ()  () к определенному содержанию, полученному посредством неизвестной пока деятельности с объектами А и В (возможно, что в эту деятельность включены и другие объекты).

Но это, в частности, означает, что с помощью одной лишь формальной деятельности со знаками ни одна объектная задача не может быть решена. Во-первых, само «формальное движение» предполагает в качестве своего обязательного условия наличие «необходимой» связи ()  (), а последняя сама могла быть получена только путем определенной объектной деятельности, вычисляющей саму связь между  и  как особое содержание; во-вторых, условием применения связи ()  () к определенным объектам является обнаружение в них свойства , а это обнаружение точно так же является определенной объектной операцией. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что положение, сформулированное нами выше относительно средств обходного пути решения задачи, является по крайней мере неполным. Уточняя его, мы должны сказать, что обходный путь решения задачи строится на основе перехода, во-первых, к другим видам объектной деятельности, посредством которых устанавливается необходимая связь знания вида ()  () и в заданных объектах обнаруживается свойство (), во-вторых, также к формальным действиям перехода по готовым связям от () к (), позволяющим приписать объектам непосредственно не обнаруженное в них свойство .

После этих замечаний мы можем поставить вопросы более конкретно: что представляет собой свойство ? в каком отношении оно стоит к свойству ? что представляет собой объектная операция, посредством которой свойство  выявляется и фиксируется, и, в частности, может ли она быть осуществлена в подразумеваемом плане?

Чтобы наметить в общих чертах путь решения этих вопросов, рассмотрим более детально само действие наложения друг на друга объектов, к примеру, треугольной формы. Чтобы выяснить, совместились или не совместились эти объекты при наложении, мы смотрим сначала на одну пару их сторон и проверяем, совместились ли они, затем переходим к другой паре сторон и проверяем ее, в заключение проверяем третью пару. Таким образом, уже при обычном практическом действии наложения проверка совмещения (а вместе с тем и само действие наложения) распадается на ряд частных действий, каждое из которых имеет своим предметом не объект в целом, а отдельные его стороны; вместе с тем и сам объект (с точки зрения этой серии действий) выступает уже не как тело или поверхность, а как фигура, составленная из одних линий-сторон. (В этом, между прочим, заложено основание для перехода от объектов к их моделям-чертежам.)

Предположим теперь, что первая пара сторон наших объектов при наложении совместилась, а вторая — нет. Перед человеком, осуществляющим наложение, естественно возникает вопрос: в чем причина этого? От чего зависит или чем определяется то, что вторая пара сторон (при равенстве первой пары сторон) не совместилась? Фактически это означает, что перед человеком встает задача выявить в объектах и сделать предметом специального рассмотрения какие-то новые, дополнительные свойства, от характера которых зависит, произойдет совмещение объектов или нет. В разбираемом случае таких свойств (соответственно причин), определяющих «несовмещение», две: 1) неравенство углов между соответствующими сторонами объектов и 2) (при равенстве углов) неравенство самих сторон. С другой стороны, из многократно повторяющегося опыта выясняется, что, если углы между соответствующими сторонами равны и равны сами стороны, то каждый раз происходит и совмещение третьей пары сторон, а вместе с тем и объектов в целом. Так или примерно так, путем анализа предметно-практического действия наложения и тех действий, которые производят, проверяя, произошло ли совмещение объектов (особенно благодаря анализу тех случаев, когда совмещения нет), приходят к выделению тех свойств, на основании которых, не производя самого наложения, можно судить, произойдет ли совмещение объектов как целых ²².

Мы оставим сейчас в стороне все вопросы о том, как именно фиксируются вновь выделенные «стороны» ²³ — свойства объектов, как обнаруживается и фиксируется в специальных знаках их равенство, как устанавливается необходимый характер связи содержаний этих знаков с прежним признаком равенства объектов в целом, как находится знаковая форма для выражения этой связи и все подобные им (дать обоснованный ответ на все эти вопросы — дело систематического генетического исследования).

В данной связи нам важно дать лишь самую общую схему обходного пути решения задачи и на ее основе постараться дать ответ на поставленные выше вопросы, во-первых, относительно характера свойства , его отношения к свойству , природы операции, посредством которой выявляется , и возможности осуществления ее в подразумеваемом плане, во-вторых, относительно природы словесных рассуждений, входящих в систему геометрии. Для этого нам важно подчеркнуть следующее.

Как показал разобранный пример, действие наложения двух объектов друг на друга — казалось бы одноактное и простое — распадается на ряд следующих друг за другом действий, каждое из которых выявляет особое содержание, фиксируемое в специальном словесном знаке. При этом происходит «анализ» исходных объектов А и В и выделяются определенные их «стороны» a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃ (в данном примере — стороны объектов и углы между этими сторонами). Между знаками, фиксирующими равенство соответствующих «сторон» a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃ — обозначим их как (₁), (₂), (₃), — и знаком , фиксирующим равенство объектов А и В в целом, устанавливается каким-то образом связь (₁, ₂, ₃)  (). После того, как эта связь установлена и закреплена, мы можем решать исходную задачу определения равенства исходных объектов А и В обходным путем: по отдельности устанавливая равенство «сторон» a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃, а затем формально двигаясь по связи (₁, ₂, ₃)  (). При определенных условиях, когда в силу каких-то причин (например, размеров или тяжести объектов, делающих невозможным их перемещение) объекты А и В непосредственно не могут быть наложены друг на друга, обходный путь решения задачи становится единственно возможным. При этом приходится вводить дополнительные «объекты-посредники», выступающие в роли эталонов для тех сторон a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃, которые мы выделили в объектах, и производить уже не три объектных действия наложения, а по меньшей мере шесть. (Надо отметить, что вместе с этим могут появляться и дополнительные действия сопоставления знаковых выражений, связанные со «сведением» эталонов друг к другу или другими подобными же задачами.) Наглядно-символически весь этот процесс обходного решения задачи может быть изображен так:

где a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃ — «стороны» объектов А и В, сопоставляемые друг с другом через сопоставление их с эталонами Э₁, Э₂, Э₃ (в частном случае это может быть один и тот же эталон), вертикально расположенные фигурные скобки изображают сами эти объектно осуществляемые сопоставления с эталонами, горизонтальные линии, попарно связывающие фигурные скобки, изображают сопоставления результатов первых сопоставлений, вертикальные линии, как обычно, связи со знаками, (₁), (₂), (₃) — знаки, фиксирующие содержание, выявленное посредством этих сложных сопоставлений, наклонная линия обозначает объединение свойств, фиксируемых этими знаками, в одно, () — знак, фиксирующий равенство объектов А и В как таковых, горизонтальная стрелка обозначает необходимую связь между ₁₂₃ и (), а вертикальная стрелка вниз от () — приписывание соответствующей характеристики исходным объектам А и В.

Но весь этот обходный путь решения задачи, изображенный на схеме, относится к тому случаю, когда мы имеем дело с объектами и устанавливаем равенство их «сторон» путем фактического наложения этих «сторон» друг на друга или эталонов на эти «стороны». Когда же мы переходим в сферу геометрии, где объектами оперирования являются чертежи-знаки, замещающие реальные объекты, тогда (по соображениям, которые мы уже излагали выше) фактическое, реально осуществляемое наложение становится невозможным: его надо осуществлять в представлении, подразумеваемым образом. Но при таком способе осуществления наложения становится неопределенным его результат. Следовательно, в собственно геометрии нельзя определять характеристики ₁₂₃ а приходится предполагать, что они уже определены, т.е. полагать действия наложения уже произведенными, а содержание выявленным, причем, выявленным именно таким, какое требуется связью ₁₂₃)  Но это означает, что равенство элементов a₁ и b₁, a₂ и b₂, a₃ и b₃ становится условием движения в собственно геометрии. Таким образом, в общих чертах мы отвечаем на вопрос относительно взаимоотношения свойств  и  и характера операции, вычленяющей . Свойства  (так как их всегда оказывается несколько) представляют собой свойства, обязательно или «необходимо» обнаруживающиеся в отношениях между «сторонами», накладываемых друг на друга объектов, тогда, когда имеется налицо свойство , характеризующее отношение между объектами в целом. В то же время свойства  являются такими, что наличие их обусловливает и наличие свойства . Операции, посредством которых выявляются свойства , насколько показывает разобранный пример, не могут быть осуществлены в подразумеваемом плане; поэтому они не могут осуществляться в собственно геометрии, и их результат предполагается уже данным.

Но отсюда непосредственно вытекает другое важное следствие, характеризующее собственно геометрию и являющееся частью ответа на поставленный выше вопрос относительно природы словесных рассуждений, входящих в систему геометрии. Действительно, если знания (₁), (₂), (₃), фиксирующие равенство определенных элементов чертежа (эти элементы на языке геометрии выражают определенные «стороны» объектов), становятся условием движения в собственно геометрии и предполагаются уже данными, то само это геометрическое движение сводится лишь к фиксации в представлении последовательности осуществления подразумеваемых действий, или, иначе, последовательности привлечения в рассуждении знаний (₁), (₂), (₃). Но если таких действий длинный ряд, то фиксировать его в чисто предметном представлении просто невозможно; к этому добавляется необходимость сообщать об этой последовательности подразумеваемых действий другим; таким образом возникает словесное описание.

Этот вывод, хотя он и сделан на основе очень грубого анализа, исключительно важен. Он позволяет объяснить появление в геометрии словесных описаний действий, осуществляемых в подразумеваемом плане, и показывает необходимость их появления.

Остается не совсем выясненным вопрос о роли и значении для геометрии другого вида словесных выражений, именно, выражений вида  а вместе с тем не получен еще ответ на вопрос о правомерности точки зрения Л.Кутюра и других представителей формалистического направления. Чтобы осветить эту сторону дела, необходимо вернуться к анализу обходного пути решения задач. Выше мы уже сказали, что новые объектные действия, к которым переходят от прежних при формировании какого-либо обходного пути решения задачи, должны соответствовать способу существования объектов. Если этого нет и объектная деятельность, необходимая для обнаружения свойств группы , точно так же «не подходит» к способу существования объектов А и В, как и деятельность, приводящая к , то уже разобранная схема обходного пути может быть применена вновь столько раз, сколько это необходимо, пока не будет достигнут переход к «подходящей» объектной деятельности.

В схеме это выразится примерно так:


где А и В исходные объекты, знак, состоящий из сплошной и штриховой линий, изображает сложную систему действий, посредством которой выявляются определенные характеристики отношений между «сторонами» объектов А и В (или в геометрии — элементами соответствующих этим объектам чертежей), ( — языковое выражение, фиксирующее эти характеристики, () — характеристика отношения объектов А и В, которую надо получить по условиям исходной задачи, ()...() — «промежуточные» языковые выражения, позволяющие формально вывести () из (, горизонтальные стрелки обозначают «необходимые» связи между этими языковыми выражениями, V-образные знаки изображают сложные действия с объектами А, В и другими, посредством которых эти необходимые связи выявляются как особые содержания, вертикальные двойные штриховые линии обозначают связи между этими содержаниями и фиксирующими их языковыми формами вида (  (), наконец, вертикальная стрелка, идущая вниз от (), обозначает «приписывание» формально выведенного свойства объектам А и В.

Проанализируем некоторые аспекты содержания, выражаемого этой схемой. На основе всего разобранного выше можно утверждать, что какой бы длины ни были цепи формального выведения, они в своем конечном пункте предполагают в качестве обязательного условия определенную объектную деятельность. Это зафиксировано на схеме знаком сопоставления, приводящего к выражению (). Но, как и в более простых случаях, эта деятельность лежит за границами собственно геометрии: в последней просто предполагается, что эта деятельность уже осуществлена и нужный результат получен.

Кроме того, обязательным условием появления самой этой цепи формального выведения является сложная система действий, с помощью которой выделяются и фиксируются как особое содержание сами связи между (), () ... (), (). Поскольку в выделении этих связей и состоит специфическая задача геометрии, постольку действия, с помощью которых это выделение осуществляется, должны, очевидно, входить в ее собственную систему. Выше, при разборе доказательств некоторых предложений из «Начал» Евклида мы показали, что эти действия представляют собой прежде всего преобразования чертежей, осуществляемые реально (например, с помощью циркуля и линейки) или в подразумеваемом плане (часто с помощью словесного описания). Фактически, они строятся по такой же схеме, как и любой другой процесс решения задачи: отдельные шаги в преобразовании чертежей фиксируются в связях знания, а последовательность и связь этих шагов определяют последовательность и связь структур знания.

На схеме этот процесс будет выглядеть примерно так:







E F I K

где E, F, I, K — определенные объекты-чертежи, знак «ворот»  изображает какие-то сложные действия по преобразованию их (или сопоставлению друг с другом),  — «необходимые» связи свойств, а двойные горизонтальные стрелки изображают переходы от одних «необходимых» связей к другим, осуществляемые на основе и с помощью преобразований чертежей.

Нам в этой связи особенно важно подчеркнуть, что основание для перехода от  к  и далее к  лежит в преобразовании чертежей. Если мы возьмем к примеру доказательство предложения 32 из «Начал» Евклида, то связь  будет изображать само это предложение («во всяком треугольнике по продолжении одной из сторон внешний угол равен двум внутренним и противоположным, и внутренние три угла треугольника <вместе> равны двум прямым» [Евклид 1948: 43]), связь  будет изображать предложение 29 («прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы <вместе> равны двум прямым» [Евклид 1948: 41]), а i  K — определенные построения, преобразующие исходный треугольник, о котором идет речь в предложении 32, в более сложную фигуру, к которой можно применить знание, выраженное в предложении 29 ²⁴.

Именно так, как мы уже выяснили на анализе конкретных примеров, вырабатываются новые «необходимые» связи у Евклида, и именно эта особенность способа их получения определяет характер и способ всей организации геометрии как науки, ее систему.

Но здесь вполне закономерно поставить вопрос: насколько единственной и необходимой является такая система организации геометрии? И ответ, в принципе, может быть только отрицательным.

После того, как предложения  ... получены, их структурам, не меняя в общем и целом содержания самих предложении, можно придать такой вид и одновременно найти такие правила преобразования структур друг в друга, что мы получим «непрерывную» систему из всех имеющихся предложений, допускающую, теперь уже на основании иных принципов, все те переходы, какие были получены ранее на основе преобразования чертежей. Для этого надо, во-первых, изменить точку зрения на некоторые предложения — начать рассматривать их не как полученные путем анализа реальных явлений и реальных действий по отношению к предметам, а как предложения, допущенные гипотетически, без доказательств (так называемые «предметные аксиомы геометрии») ²⁵, во-вторых, принять определенные правила преобразования предложений  друг в друга (так называемые «логические аксиомы», или логические правила умозаключений), наконец, можно для достижения «непрерывности» ввести какие-то дополнительные содержательные «необходимые» связи вида 

Тогда та же самая цепь «необходимых» связей знания, которая первоначально была получена на основе преобразования чертежей, примет вид:

(f, k, l...) (f, k, l...) (f, k, l...)

   (28)

''''''

По-видимому, именно в таком преобразовании системы организации и заключалась одна из основных линий развития евклидовой геометрии, начиная с античных комментаторов и вплоть до «Оснований геометрии» Д.Гильберта. Первоначально в системе объектно-чертежной геометрии появлялись отдельные фрагменты таких цепей «формального выведения»; они еще не образовывали замкнутой, «непрерывной системы», а состояли лишь из связок в два-четыре предложения и то и дело перемежались с преобразованиями чертежей; последние дополняли их, перебрасывая мост между отдельными связками предложений, и только вместе, в единстве, те и другие «движения» образовывали «непрерывную» систему геометрии. Получалось нечто вроде «двухплоскостной», «двухэтажной» структуры, в которой движение шло то по законам преобразования чертежей (с одновременным дублированием этого движения в словесно-алгебраической форме), то по законам только формального выведения в одной лишь плоскости словесно-алгебраических выражений. Схематически это будет выглядеть примерно так:

Но — и это нам особенно важно здесь подчеркнуть — внутри словесно-алгебраических фрагментов движение было одноплоскостным и подчинялась одним лишь логическим правилам выведения. Такое положение мы находим уже у Евклида. В дальнейшем удельный вес словесно-алгебраических фрагментов все более возрастает, все большее число предложений принимает структуру, необходимую для чисто формального выведения, все отчетливее формулируются принципы формального подхода. Этот процесс можно явственно наблюдать по различным изложениям геометрии в XVIII–XIX столетиях. Наконец, в последней четверти ХIХ в. «строго формальное», или, как стали говорить, аксиоматическое построение геометрии становится основным лозунгом работы геометров. Появляется целый ряд систем аксиоматического изложения евклидовой геометрии — М.Паша, Д.Пеано, Дж.Веронезе, М.Пиэри, Д.Гильберта и др.

Идеалом для системы геометрии становится система абсолютно замкнутого формального исчисления, в котором структуры предложений имеют совершенно единообразный характер и получаются друг из друга путем чисто формальных преобразований в соответствии с правилами этого исчисления. Вот как, в частности, характеризует задачу своей работы сам Гильберт:

«Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от обычных формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки:

 & V — (x) (Ex)

(следует, если — то) (и) (или, либо) (не) (все) (существует)

в которой каждая посылка, т.е. соответствующие формулы

каждый раз является либо аксиомой, либо совпадает с полученной ранее из доказательства формулой, или получается из такой формулы с помощью подстановки...

Доказуемые теоремы, т.е. формулы, получающиеся при этом способе, являются отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику» [Гильберт 1948: 366-367].

Затем Гильберт излагает принятые им логические правила, или аксиомы, явные определения и аксиомы рекурсии и добавляет: «В моей теории содержательные выводы заменены внешними действиями, подчиняющимися определенным правилам; тем самым аксиоматический метод получает ту надежность и законченность, которая для него доступна и в которой он нуждается для того, чтобы служить основным средством теоретических изысканий» (там же, с. 369).

Эту характеристику полезно сравнить с не менее резкой характеристикой Н.К.Рашевского, опубликованной через 32 года после доклада Д.Гильберта:

«Предложения математики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул без всякого участия словесных выражений. Процессы логического мышления заменяются манипуляциями с такого рода формулами по строго очерченным правилам, а именно: из формул, уже построенных, разрешается чисто механически, по точно указанным рецептам составлять новые формулы, и это заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного предложения другое. Таким образом, и математическое, и логическое содержание исследуемого отдела математики предстает перед нами в виде цепи формул. Эта цепь начинается с формул, изображающих математические и логические аксиомы, и может быть неограниченно продолжаема путем механического составления новых формул. Нам нет при этом надобности понимать, какое математическое содержание записано под видом той или иной формулы; нас интересует лишь формула сама по себе как вполне конкретная и обозримая конечная комбинация знаков» [Рашевский 1960: 96] ²⁶.

Мы не можем сейчас входить в обсуждение вопроса о том, насколько точно и строго удалось Гильберту достичь желаемого идеала (с точки зрения принципов развиваемой нами содержательной логики многое выглядит совершенно иначе, нежели с точки зрения самих геометров и традиционных исследований по обоснованию геометрии ²⁷), но в принципе такое преобразование системы геометрии вполне возможно, поскольку имеют дело с уже готовыми, наработанными предложениями и стоит задача лишь по-новому организовать их в систему.

Кстати, здесь весьма характерно, что таких систем организации может быть очень много. Уже система Пеано, по определению Кутюра, была «логически безупречной» [Кутюра 1913: 161], хотя при целом ряде преимуществ, и не обладала достаточной логической общностью. Теория Пиэри, по выражению того же Кутюра, даже в сравнении с работами Гильберта, содержала «самый глубокий анализ принципов геометрии» (там же, с. 165-166). Примерно так же, с весьма относительных и односторонних позиций, оценивают в настоящее время и систему Гильберта: «Наиболее удачную, глубоко продуманную систему аксиом предложил Гильберт в своем сочинении “Основания геометрии”. Эта книга выдержала длительное испытание временем, и в наши дни после ряда поправок система Гильберта остается наиболее целесообразной.

Приведенные характеристики достаточно отчетливо подтверждают наш тезис о том, что в аксиоматических построениях геометрии речь идет о способах организации уже готового знания — множества геометрических предложений, а не о реконструкции способов образования или способов получения этих предложений.

Таким образом, мы пришли к ответу на поставленный выше вопрос относительно роли словесно-алгебраических выражений в «геометрическом» мышлении, причем, что очень важно, к ответу, учитывающему историческое развитие геометрии.

Сначала простейшие словесно-алгебраические выражения вида «равно», «неравно», «параллельно», «перпендикулярно» и т.п. возникают как средство и форма фиксации содержаний, выделенных путем определенных сопоставлений объектов-чертежей. Отношение между объектами-чертежами, связанными между собой отношениями сопоставлениями, и словесными выражениями может быть представлено как отношение между двумя различными плоскостями; геометрия, в силу этого, имеет двухплоскостную структуру. При этом основную часть, ядро и сердцевину геометрии составляют объекты-чертежи, поскольку «геометрическое движение» в этот период осуществляется только в форме сопоставления и преобразования чертежей; словесно-алгебраические выражения носят «вторичный» характер: они не являются «оперативной» частью геометрии. Структуру геометрии как системы образуют отношения сопоставления чертежей; эти отношения и составляют «единицы» нижней плоскости геометрии; словесно-алгебраические выражения разрозненны и являются элементами системы только за счет своих связей с единицами нижней плоскости.

Особый «чертежный» характер объектов геометрии, невозможность фактически накладывать их друг на друга делает необходимым анализ самих способов сопоставления объектов между собой. В результате этого анализа и разложения деятельности с объектами и учета тех «сторон» объектов, на которые она непосредственно направлена, появляются сложные словесно-алгебраические выражения вида () (), содержащие «необходимые» связи между свойствами и соответственно знаками свойств. Благодаря этому в геометрии становится возможным другой вид движения: формальный переход по связям между элементами словесно-алгебраических выражений.

На основе сопоставления и преобразования объектов-чертежей словесно-алгебраические выражения развертываются в сложные цепи вида ...  Движение по этим цепям, поскольку они уже сложились, может осуществляться без обращения к чертежам, по особым правилам, которые специально формулируются как логические правила умозаключения. Геометрия по-прежнему сохраняет двуплоскостную структуру, и в каждой плоскости существует свой вид движения: в нижней — содержательное движение, осуществляющееся в виде сопоставления и преобразования объектов-чертежей ²⁸, в верхней — формальное движение, осуществляющееся в виде переходов по готовым цепям выражений, которые подчиняются логическим правилам.

Цепи словесно-алгебраических выражений становятся относительно самостоятельными и относительно замкнутыми фрагментами системы геометрии. Но если брать систему геометрии как целое, то главными и основными в ней остаются пока все же действия с чертежами: именно они связывают между собой фрагменты формальных переходов в одно целое, именно они образуют «скелет» системы геометрии.

Наличие нескольких плоскостей и нескольких различных видов мыслительного движения, причудливо переплетающихся друг с другом, необходимость то и дело переходить с одной плоскости на другую, от одного вида движения к другому, создают, естественно, целый ряд затруднений при использовании геометрии для решения практических задач. Это обстоятельство стимулирует работу, направленную на то, чтобы преобразовать систему геометрии как целое, исключить из нее содержательное (а поэтому более трудное) движение в плоскости чертежей и оставить одно лишь формальное движение по цепям словесно-алгебраических выражений. Решение этой задачи знаменует собой превращение геометрии в замкнутое словесно-алгебраическое исчисление. Вместе с тем исчезает одна из ее плоскостей — плоскость содержательных преобразований.

Но было бы ошибкой сделать отсюда вывод, что геометрия становится одноплоскостной системой. Мы уже видели выше, что осуществление формального умозаключения предполагает определенные правила деятельности, и эти правила должны быть сформулированы в специальном языке, надстраивающимся над первым, формализуемым языком, и образующим в силу этого вторую плоскость системы. Потеряв нижнюю содержательную плоскость, на которую она «опиралась», формальная система приобретает другую, верхнюю — плоскость правил, к которой она как бы «подвешивается». Система по-прежнему остается двухплоскостной, хотя характер этих плоскостей существенным образом меняется.

Именно на это преобразование системы геометрии опирался Л.Кутюра, полемизируя с И.Кантом, именно это он имел в виду, говоря, что геометрия не нуждается ни в каких фигурах, ни в каких построениях, она просто ссылается на предыдущие предложения и ограничивается сопоставлением и сочетанием их. «Реконструкция геометрии не есть просто идеальная возможность, а факт получивший воплощение в трудах современных геометров, — писал он в другом месте. — Итак, отныне установлено, что геометрические доказательства являются (то есть могут и должны быть ²⁹) аналитическими и что вся геометрия может и должна быть логически выведена из каких-нибудь двух десятков постулатов» [Кутюра 1913: 251].

И как мы убедились из предыдущего анализа, нельзя сказать, что он неправ. Это было бы неверно, ибо современная система геометрии имеет именно такой характер, о котором говорит Кутюра. Но зато мы можем сказать, что все приведенные утверждения Кутюра, вся его полемика не имеют смысла. И мы будем иметь полное право сказать это, так как вся полемика Кутюра глубоко антиисторична, она совершенно не принимает во внимание того факта, что мышление в геометрии исторически развивается и при этом претерпевает такие изменения, которые в самом существенном меняют как его характер и структуру, так и характер всей системы геометрического знания. Кутюра совершенно не учитывает, что одно дело — процессы первоначальной выработки какого-либо общего положения в геометрии: они, в конечном счете, всегда опираются на знаки-модели, на определенные фигуры, чертежи, и предполагает определенные содержательные действия по преобразованию и сопоставлению их; другое дело — применение этих общих, уже выработанных и словесно сформулированных положений к единичным случаям; здесь преобразования и сопоставления чертежей в самом этом процессе применения общих положений элиминированы, но сохраняются в скрытой форме, в ссылках на другие теоремы, излагающие способ получения этих положений; наконец, третье, существенно отличающееся от первого и второго, — новый способ организации и систематического изложения всей совокупности имеющихся знаний. Он связан с выработкой совершенно новых исходных знаний (аксиом, постулатов) и новых логических операций перехода от одних предложений к другим; вместе с тем этот процесс есть процесс перехода от системы с n языками к системе с n 1, n 2 ... и, в предельном случае, одним унифицированным языком, подчиняющимся определенным правилам образования и преобразования. Именно этих различий, возникающих в ходе развития мышления, не учитывал Кутюра, а поэтому его полемика с Кантом и все оценки характера «геометрии вообще» не имеют смысла, являются, фактически, беспредметными: нужно было устранить историческую ограниченность точки зрения Канта, указав на развитие геометрии, изменение ее структуры и методов, а вместо этого Кутюра выдвинул другую, столь же антиисторическую, а поэтому неизбежно одностороннюю и (в применении ко всей геометрии) неправильную точку зрения.

Заканчивая обсуждение вопросов этого круга, мы можем сформулировать пятый вывод в плане непосредственно интересующих нас проблем: мышление в геометрии (и тем более мышление с помощью средств геометрии) обязательно имеет двухплоскостное строение; анализ его предполагает различение объектов и знаков, соответственно, плоскости содержания и плоскости знаковой формы — познавательных действий с объектами и действий со знаками, соответственно, движений в плоскости содержания и движений в плоскости знаковой формы; движения в плоскости знаковой формы в каких-то частях процесса мышления могут осуществляться относительно независимо от движения в содержании, как формальные движения, но всякий целостный процесс мысли должен содержать в качестве основной и определяющей части движение в содержании.