Геометрия Лобачевского и ее модели
X. Практическое применение геометрии Лобачевского
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2) Замечание к теореме Пифагора
- 3) Площадь треугольника
X. Практическое применение геометрии Лобачевского.1) Теорема Пифагора.Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство ch c = ch a ·ch b, где a, b - длины катетов, c - длина гипотенузы этого треугольника, а ch x= (гиперболический косинус). Доказательство. Воспользуемся моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа где так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения. Используя формулу Рис. 24
Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы. 2) Замечание к теореме ПифагораН.И.Лобачевским было замечено, что созданная им неевклидова геометрия в бесконечно малом, то есть в первом приближении, совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Проиллюстрируем это на примере теоремы Пифагора. Используя разложение гиперболического косинуса в рядполучим для теоремы Пифагора соотношение Исключая теперь члены низшего порядка, приходим к теореме Пифагора евклидовой геометрии: 3) Площадь треугольникаПодробный вывод формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского приводить не стоит ввиду его сложности (в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии). Рис. 25 Если АВС – треугольник в модели Пуанкре, меры углов А,В и С - α, β и γ соответственно, - мера угла B в треугольнике ABD, а и мера углов B и C в треугольнике BCD. Тогда вследствие этого можно сформулировать теорему Теорема.Для площади треугольника ABC с углами справедлива формула Следствие1.Площадь треугольника плоскости Лобачевского ограничена. Следствие 2.Если дан выпуклый многоугольник с внутренними углами то жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|