Геометрия Лобачевского и ее модели
V. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
V. Аксиома Лобачевского.Параллельные прямые по Лобачевскому.1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского. V*. Пусть а — произвольная прямая, а A — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. рис 1 рис 2 Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1). Условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V. 2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч1 угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD. Имеет место следующий признак параллельности прямых. Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD. Для доказательства теоремы достаточно установить, что, каковы бы ни были точки Р' и Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Возможны три случая: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ. Рассмотрим первые два случая, а) Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' — точка луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q'PQ и QPB, по этому луч h либо лежит внутри угла Q'P'Q, либо совпадает с лучом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, поэтому пересекает и луч Q'Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает луч QD и, следовательно, луч Q'D. Если Q' — точка луча QD, то угол Q'P'B является частью угла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересечения является точкой луча Q'D, так как h не проходит внутри угла QPQ' и поэтому не пересекает отрезок QQ'. б) Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит внутри угла Q'P'P, поэтому h пересекает отрезок PQ' в некоторой точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Так как BPQ' — внешний угол треугольника PP'Q', то PP'Q' < LBPQ', поэтому РР'М < BPQ'. Отсюда следует, что РМ' — внутренний луч угла BPQ'. Следовательно, по доказанному (см. случай а) ) этот луч пересекает луч Q'D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р'М пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M\ и не пересекает сторо ну РМ\ (так как ВРМ1 = BP'M), поэтому по аксиоме Паша прямая Р'М пересекает отрезок Q'М1. Таким образом, луч h пересекает луч Q'D. Чтд. Рис 3 а Рис.3 б Рис. 4 жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|