Геометрия Лобачевского и ее модели
VI. Теорема о существовании параллельных прямых
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
VI. Теорема о существовании параллельных прямых.Теорема 2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD||AB. рис 5 . рис 6. 2. Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую MP, перпендикулярную к прямой MN (рис. 5). Мы предполагаем, что точки Р и В лежат по одну сторону от прямой MN. По лемме 1 прямые MP и NB не пересекаются. Точки отрезка NP разобьем на два класса К1 и К2 по следующему закону. К первому классу отнесем те точки X этого отрезка, которые удовлетворяют условию: луч MX пересекает луч NB, а ко второму классу — все остальные точки отрезка NP. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) предложения Дедекинда. а) Очевидно, N К1 и Р К2. Класс К1 содержит точки, отличные от N, например, точки X пересечения луча МХ1 с отрезком NP, где Х1 — произвольная точка луча NB (рис. 5). Класс K2 содержит точки, отличные от Р. В самом деле, по аксиоме V* существует пря мая MS1, отличная от прямой MP и не пересекающая прямую АВ. Прямая MS2, симметричная прямой MS1 относительно прямой MN, также не пересекает прямую АВ (рис. 5). Одна из прямых MS1 или MS2 проходит внутри угла NMP, поэтому пересекает отрезок NP в некоторой точке Y, принадлежащей классу К2 б) Пусть X — произвольная точка класса К1, отличная от N, а Y — точка второго класса. Тогда N — X — У, так как в противном случае имеем N — Y — X, что означает, что луч MY — внутренний луч угла NMX. Отсюда следует, что луч MY пересекает отрезок NХ1 т. е. У К1. Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сечение. Пусть точка D производит это сечение. Докажем, что D К2. Предположим противное: D К1 . Тогда луч MD пересекает луч NB в некоторой точке D1 (рис. 6). Возьмем на луче NB точку D’1 так, чтобы N — D1— D’1. Луч MD’1 пересекает отрезок DP в некоторой точке D' (рис. 6), которая принадлежит классу K1. Полученный вывод противоречит предложению Дедекинда. Таким образом, D К2. На прямой MD возьмем точку С так, чтобы С — М — D. По теореме 1 CD||AB. Остается доказать, что CD — единственная прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. Пусть, напротив, C’D' — другая прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. По определению параллельных прямых внутренние лучи углов NMD и NMD' пересекают луч NB, поэтому лучи MD, MD' лежат в той же полуплоскости с границей MN, что и луч NB. Отсюда мы приходим к выводу, что либо MD — внутренний луч угла NMD', либо MD' — внутренний луч угла NMD. Но тогда одна из прямых CD или C'Dr пересекает прямую АВ, что противоречит определению параллельности прямых. рис. 7 А N B 3. Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой а две точки А и В так, чтобы А—N — В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 7). В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF — различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ. Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые утлы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а. Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. Для этого обратимся к рисунку 219. На этом рисунке NMD — угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N’M’D’ — угол параллельности' в точке М' относительно прямой а’ , = NMD, x = MN, a/ = N'M'D', x' =M/N/. Докажем, что если х = х’, то = '. Пусть, напротив, / , например а' > . Тогда существует внутренний луч h’ угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h равен . Луч h’ пересекает прямую а' в некоторой точке F’. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F’ так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику M'N'F' (треугольник MNF на рис. 8 не изображен). Так М м рис.8 как NMF = , то лучи MD и MF совпадают. Приходим к выводу, что прямые MD и пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, = ’. Итак, — функция от х: = П (х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П (х) определена для каждого положительного х и что 0 < II (х) < П/2 . Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции: где k — некоторое положительное число. Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между 0 и П/2 . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой. 4. В геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный П/4. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|