Геометрия Лобачевского и ее модели

Группа IV. Аксиомы непрерывности

жүктеу/скачать 0.51 Mb. бет 7/16 Дата 17.04.2023 өлшемі 0.51 Mb. #472317 түрі Курсовая

Бұл бет үшін навигация:

• Группа V. Аксиома параллельности.

Группа IV. Аксиомы непрерывности. IV1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD — какие-нибудь отрез­ки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2, ..., Ап, таких, что выполняются условия: а) А— А1 —- А2, А1 — А2 — А3, ..., Аn-2 — An-1— Ап б) АА1= А1А2 = ...= = Ап-1Ап = CD; в) А — В — Ап. IV2 (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A1B1;. А2 В2, ..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n, такое, что АпВп < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности. Ясно, что такая точка М единственная. В самом деле, если пред­положить, что точка N, отличная от точки М, также принадлежит каждому из отрезков данной последовательности, то получим АпВп MN при любом п, что противоречит аксиоме. К важнейшим следствиям из аксиом групп I—IV относится теория измерения отрезков и углов. Для обоснования евклидовой теории параллельных Гильберт к аксиомам групп I—IV добавляет еще одну аксиому параллельных прямых. Группа V. Аксиома параллельности. Пусть а — произвольная прямая, а А—точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пере­секающей а, эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида. На основе всех аксиом групп I—V можно построить теорию па­раллельных прямых по Евклиду, доказать теоремы о сумме углов треугольника и выпуклого многоугольника, изучить свойства парал­лелограммов и трапеций, построить теорию подобия и т. д. Заметим еще, что аксиомы групп I—V позволяют обосновать обычную триго­нометрию, изучаемую в средней школе, а также декартову анали­тическую геометрию. В частности, пользуясь теоремой Пифагора, для доказательства которой необходимо использовать аксиому V, вы­водится известная формула для вычисления расстояния между двумя точками по координатам этих точек. Кроме того, доказывается, что плоскость в пространстве определяется уравнением первой сте­пени, а прямая — системой двух уравнений с тремя переменными. Таким образом, предоставляется возможность приложить алгебру к до­казательству теорем геометрии. Отмечу, пользуясь аксиомами групп I—V, мож­но ввести понятия площади многоугольника и объема многогран­ника. Геометрию, построенную на аксиомах групп I—IV, называют абсолютной геометрией. Вышеуказанные теоремы и определения являются теоремами абсолютной геометрии. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу: